Тема 11. Задачи на свойства графиков функций

11.09 График модуля

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на свойства графиков функций

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#72022

На рисунке изображены графики функций $f(x)= a|x− b|+ c.$ Найдите наибольшее значение $x,$ при котором $f(x)= −5.$

$xy110$

Источники: Авторское Бабаев

Показать ответ и решение

Заметим, что $f(x)$ — функция «галочка» с вершиной в точке $(b;c).$ Из рисунка видим, что $c= 7,$ а $b =2,5,$ например, в силу симметрии точек $(1;3)$ и $(4;3)$ относительно прямой $x =2,5.$

Коэффициент $a$ найдём, рассмотрев точки $(2,5;7)$ и $(4;3).$ Эти точки находятся в области, где модуль раскрывается положительно, и поэтому

a = 3-− 7-= − 8 4− 2,5 3

Также это можно трактовать как то, что при $x> 2,5$ функция убывает на 8 при увеличении аргумента на 3. Заметим, что искомое значение -5 достигается, если из 3 отнять 8. А значение 3 получается при $x =4.$ Тогда при $x = 7$ функция будет равна -5. Причем $x= 4$ — наибольшее значение аргумента, где достигается это значение, так как второе такое же значение будет достигаться в симметричной точке, которая находится при $x < 2,5.$

Ответ: 7

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#32194

На рисунке изображена часть графика функции $f(x)= k|x|+ b.$ Найдите $f (10).$

$xy110$

Показать ответ и решение

Решим задачу методом подстановки. График функции $f(x)$ проходит через точки $(− 2;4)$ и $(−7;2)$ . Если график функции проходит через какую-то точку, то ее координаты обращают уравнение функции в верное равенство, значит, мы имеем систему:

({ ({ ({ ({ 4 =f(−2) ⇔ 4= k⋅|− 2|+b ⇔ 4= 2k+ b ⇔ k = −0,4 (2 =f(−7) ( 2= k⋅|− 7|+b (2= 7k+ b (b =4,8

Теперь мы восстановили функию $f(x)$ , она имеет вид

f(x)= −0,4|x|+4,8 ⇒ f(10)= −0,4⋅|10|+ 4,8 =− 4+4,8= 0,8

Ответ: 0,8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#20568

На рисунке изображен график функции $f(x)= a|x− b|+c.$ Найдите $f(− 8).$

$xy110$

Показать ответ и решение

На рисунке изображен «уголок модуля» — график функции

f(x)= a|x − b|+ c

Коэффициент $a$ отвечает за угол наклона прямых, содержащих ветви графика. Он равен тангенсу угла наклона правой ветви.

Коэффициент $b$ отвечает за сдвиг вершины уголка по оси $Ox$ , он равен координате вершины уголка модуля по оси абсцисс. Коэффициент $c$ отвечает за сдвиг вершины уголка по оси $Oy$ , он равен координате вершины уголка модуля по оси ординат.

На рисунке видно, что правая ветвь графика проходит через точки $(−1;1)$ и $(1;6)$ . Если прямая проходит через точки $(x1;y1)$ и $(x2;y2)$ , то тангенс угла ее наклона равен

y1− y2 1 − 6 5 tgα = x1−-x2 ⇒ a= −1−-1-= 2

Вершина уголка модуля находится в точке $(− 1;1)$ , значит, $b= −1$ и $c =1$ .

Тогда

f(x) = 5⋅|x + 1|+ 1 ⇒ f(−8)= 5⋅|− 8+ 1|+ 1 = 35-+ 1= 18,5 2 2 2

Ответ: 18,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#20569

На рисунке изображен график функции $f(x) =a|x− b|+c.$ Найдите $f(12).$

$xy110$

Показать ответ и решение

На рисунке изображен «уголок модуля» — график функции

f(x)= a|x − b|+ c

На рисунке видно, что правая ветвь графика проходит через точки $(4;7)$ и $(6;1)$ . Если прямая проходит через точки $(x1;y1)$ и $(x2;y2)$ , то тангенс угла ее наклона равен

y1− y2 7− 1 tgα = x1−-x2 ⇒ a = 4−-6 = − 3

Вершина уголка модуля находится в точке $(4;7)$ , значит, $b= 4$ и $c= 7$ .

Тогда

f(x)= −3 ⋅|x− 4|+ 7 ⇒ f(12) =− 3⋅|12 − 4|+ 7= −24 +7 = −17

Ответ: -17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#20703

На рисунке изображен график функции $f(x) =a|x− b|+c.$ Найдите $f(15).$

$xy110$

Показать ответ и решение

На рисунке изображен «уголок модуля» — график функции

f(x)= a|x − b|+ c

Коэффициент $b$ отвечает за сдвиг вершины уголка по оси $Ox,$ он равен координате вершины уголка модуля по оси абсцисс.

Коэффициент $c$ отвечает за сдвиг вершины уголка по оси $Oy,$ он равен координате вершины уголка модуля по оси ординат.

На рисунке видно, что правая ветвь графика проходит через точки $(2;2)$ и $(4;5).$ Если прямая проходит через точки $(x1;y1)$ и $(x2;y2),$ то тангенс угла ее наклона равен

tgα= y1− y2 ⇒ a= 2-− 5 = 3 x1− x2 2 − 4 2

Вершина уголка модуля находится в точке $(2;2),$ значит, $b= 2$ и $c= 2.$ Тогда

f(x)= 3⋅|x − 2|+ 2 ⇒ f(15)= 3⋅|15− 2|+ 2 = 39+ 2= 21,5 2 2 2

Ответ: 21,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#20704

На рисунке изображен график функции $f(x) = a|x− b|+ c.$ Найдите $f(−10).$

$xy110$

Показать ответ и решение

На рисунке изображен «уголок модуля» — график функции

f(x)= a|x − b|+ c

Коэффициент $b$ отвечает за сдвиг вершины уголка по оси $Ox.$ Он равен координате вершины уголка модуля по оси абсцисс.

Коэффициент $c$ отвечает за сдвиг вершины уголка по оси $Oy.$ Он равен координате вершины уголка модуля по оси ординат.

На рисунке видно, что правая ветвь графика проходит через точки $(−1;4)$ и $(2;2).$ Если прямая проходит через точки $(x1;y1)$ и $(x2;y2),$ то тангенс угла ее наклона равен

tgα = y1−-y2 ⇒ a = -4−-2-= − 2 x1− x2 −1 − 2 3

Вершина уголка модуля находится в точке $(− 1;4),$ значит, $b= −1$ и $c =4.$

Значит, уравнение уголка модуля имеет вид

2 f(x) =− 3 ⋅|x+ 1|+ 4

Тогда окончательно получаем

2 18 f(−10)= − 3 ⋅|− 10+ 1|+4 =−-3 + 4 =− 2

Ответ: -2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#23591

На рисунке изображен график функции $f(x) =a|x− b|+c.$ Найдите $f(18).$

$xy110$

Показать ответ и решение

На рисунке видно, что вершина «уголка» модуля имеет координаты $(3;2).$ Также по картинке видно, что ветви уголка направлены вниз, значит, функция имеет вид

f(x)= a|x − 3|+ 2

При этом $a <0.$ По картинке видно, что в точке $x= − 2$ значение функции равно 0. Для того, чтобы попасть в точку $(−2;0)$ из вершины с координатами $(3;2),$ нужно сместиться на 5 влево и на 2 вниз. Тогда понятно, что перед нами график функции $y = − 25|x|,$ вершину которого сместили из точки $(0;0)$ в точку $(3;2).$ Значит, теперь мы полностью восстановили нашу функцию, она имеет вид

2 f(x) =− 5 ⋅|x− 3|+ 2

Тогда окончательно имеем:

2 30 f(18)= −5 ⋅|18− 3|+ 2= −-5 +2 = −4

Ответ: -4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#52262

На рисунке изображены графики функций $f(x)= ax + |bx+ c|+d,$ где $b> 0.$ Найдите $ab− cd.$

$xy110$

Показать ответ и решение

Заметим, что у графика этой функции есть «точка перегиба», где меняется угол наклона. Ровно в этой точке значения модуля функции $f(x)$ равно нулю. Раскроем модуль:

{ax+ bx+ c+ d, bx+ c≥ 0 f(x)= ax− bx+ d− c, bx+ c< 0.

А теперь определим уравнение каждой части графика по двум точкам.

$∙$ Рассмотрим часть $bx+ c≥ 0.$ Здесь есть две точки $(2;−2)$ и $(4;3)$ . Подставим их в уравнение прямой $y = kx +b0$ , чтобы найти коэффициенты:

{−2 = 2k + b0 {2k =5 {k =2,5 3= 4k+ b ⇔ b = 3− 4k ⇔ b = −7. 0 0 0

Также помним, что при $bx+ c≥ 0$ $f(x)= (a +b)x+ c+ d,$ то есть $2,5= a+ b,$ $− 7 = c+ d.$

$∙$ Рассмотрим часть $bx+ c< 0.$ Здесь есть две точки $(0;−3)$ и $(2;− 2)$ (формально эта точка к этому промежутку не относится, но при это эта точка лежит на «левой» прямой). Подставим их в уравнение прямой $y = kx+ b0$ , чтобы найти коэффициенты:

{ { −2= 2k+ b0 ⇔ b0 = −3 −3= b0 k = 0,5.

Также помним, что при $bx+ c< 0$ $f(x)= (a − b)x− c+ d,$ то есть $0,5= a− b,$ $− 3 = −c+ d.$

Вместе с вышеимеющимися уравнениями из разбора первого случая можно составить две системы:

{ { a+ b= 2,5 d +c =− 7 a− b= 0,5 d − c =− 3,

решая каждую из которой получим, что $a = 1,5,$ $b =1,$ $c= −2,$ $d =− 5.$ Тогда $ab− cd =1,5⋅1 − (−2)⋅(−5)= − 8,5.$

Ответ: -8,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#52263

На рисунке изображены графики функций $f(x)= ax + |bx+ c|+d,$ где $b> 0.$ Найдите $ad− bc.$

$xy110$

Показать ответ и решение

{ax+ bx+ c+ d, bx+ c≥ 0 f(x)= ax− bx+ d− c, bx+ c< 0.

А теперь определим уравнение каждой части графика по двум точкам.

$∙$ Рассмотрим часть $bx+ c≥ 0.$ Здесь есть две точки $(−1;−3)$ и $(0;−2)$ . Подставим их в уравнение прямой $y = kx+ b0$ , чтобы найти коэффициенты:

{− 3= −k + b0 {b0 = −2 − 2= 0k+ b0 ⇔ k = 1.

Также помним, что при $bx+ c≥ 0$ $f (x)= (a+ b)x + c+ d,$ то есть $1= a+ b,$ $− 2 = c+ d.$

$∙$ Рассмотрим часть $bx+ c< 0.$ Здесь есть две точки $(−2;−1)$ и $(−1;−3)$ (формально эта точка к этому промежутку не относится, но при это эта точка лежит на «левой» прямой). Подставим их в уравнение прямой $y = kx+ b0$ , чтобы найти коэффициенты:

{ { −3= − k+ b0 ⇔ k = −2 −1= − 2k+ b0 b0 = − 5.

Также помним, что при $bx+ c< 0$ $f(x)= (a − b)x− c+ d,$ то есть $− 2 = a− b,$ $− 5= −c +d.$

Вместе с вышеимеющимися уравнениями из разбора первого случая можно составить две системы:

{ { a+ b= 1 d+ c= − 2 a− b= −2 d− c= − 5,

решая каждую из которой получим, что $a = −0,5,$ $b= 1,5,$ $c= 1,5,$ $d = −3,5.$ Тогда $ad− bc= −0,5⋅(−3,5)− 1,5⋅1,5= − 0,5.$

Ответ: -0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#52264

На рисунке изображены графики функций $f(x)= ax + |bx+ c|+d,$ где $b> 0.$ Найдите $a+ b+ c+ d.$

$xy110$

Показать ответ и решение

Заметим, что у графика этой функции есть «точка перегиба», где меняется угол наклона. Ровно в этой точке значения модуля функции $f(x)$ равно нулю. На графике это точка $x= − 4,$ то есть при $x ≥ −4$ модуль у функции раскроется положительно и $f(x)= ax+ bx+ c+ d.$ Тогда, чтобы найти искомое выражение, достаточно найти $f(1),$ ведь $f(1) =a + b+c +d.$ На графике видно, что $f(1)= −3.$

Ответ: -3

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел