Прочие прототипы —Каталог задач по ЕГЭ - Информатика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#5984

В салоне цветов есть возможность упаковать букет в прозрачную плёнку, цветную (в наличии есть $5$ цветов) или крафт. Также к заказу можно добавить красивую открытку (в наличии $3$ различных типа). Влад зашёл в салон и хочет сделать заказ. Ему надо выбрать упаковку и открытку. Сколькими способами он может это сделать?

Показать ответ и решение

Влад может выбрать одну из $7$ упаковок (крафт, прозрачная или цветная пленка). К каждой из $7$ упаковок можно выбрать одну из $3$ открыток. К первой упаковке можно выбрать $3$ открытки. Сколько открыток можно выбрать ко второй упаковке? Тоже $3$ . А к третьей? Тоже $3$ ! Как и ко всем остальным упаковкам. Тогда общее количество способов выбрать упаковску и открытку равно $7 ⋅ 3 = 21$ .

Ответ: 21

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#5985

Саша и Петя играют в компьютерную игру и находятся в одной команде. Каждому нужно выбрать одного из трёх героев (мага, лучника, рыцаря), а также оружие для них (по одному оружию для каждого игрока). Команда не может состоять из двух одинаковых героев. В игре существует 5 посохов (для мага), 7 луков (для лучника), 10 мечей (для рыцаря). Сколько существует способов создать команду (если выбрано два героя, и у каждого есть оружие)?

Показать ответ и решение

Рассмотрим 3 случая:
1) Первый игрок выбирает мага. Он может выбрать один из 5 посохов 5 способами. Второй игрок может выбрать лучника или рыцаря. Лучник может выбрать один из 7 луков (7 способов), рыцарь - один из 10 мечей (10 способов). Для каждого способа первого игрока есть $7 + 10 = 17$ (по правилу суммы, так как нельзя одновременно выбрать и лук и меч) способов второго. Следовательно, количество способов создать команду, если первый игрок выбрал мага, равно $5 ⋅ 17 = 85$ .
2) Первый игрок выбирает лучника. Он может сделать это 7 способами (для каждого лука есть один способ). Второй игрок должен выбрать мага или рыцаря и соответствующее оружие (по правилу суммы он может сделать это $5 + 10 = 15$ способами, так как нельзя одновременно выбрать и мага и рыцаря). Для каждого способа первого игрока есть 15 способов второго. Следовательно, количество способов создать команду, если первый игрок выбрал лучника: $7 ⋅ 15 = 105$
3) Первый игрок выбирает рыцаря. Он может сделать это 10 способами (для каждого меча есть один способ). Второй игрок должен выбрать лучника или мага и соответствующее оружие (это можно сделать $7 + 5 = 12$ способами). Для каждого способа первого игрока есть 12 способов второго. Следовательно, количество способов создать команду, если первый игрок выбрал рыцаря: $10 ⋅ 12 = 120.$
Следовательно, общее количество способов создать команду: $85 + 105 + 120 = 310$

Ответ: 310

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#6214

Илья составляет пары слов. Первое $3$ -буквенное слово состоит из букв Р, А, К, а второе $4$ -буквенное из букв К, Р, А, Б. Каждая из букв слов может встречаться в них любое количество раз или не встречаться совсем, причём второе слово должно начинаться с буквы К. Сколько различных пар слов может составить Илья?

Показать ответ и решение

В первом слове на каждое из 3 мест в слове можно поставить любую из 3 различных букв. Значит первое слово можно составить $3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 27$ способами. Во втором слове на первое место Илья ставит букву К, а на каждое из 3 оставшихся мест в слове он может поставить любую из 4 различных букв. Значит второе слово можно составить $1 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 64$ способами.

Представим, что первые слова — чашки, а вторые слова — блюдца. Сколько различных вариаций кружка+чашка можно составить?

Можно составить $27 ⋅ 64 = 1728$ различных пар слов (блюдец с чашкой).

Ответ: 1728

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#6217

Сколько существует различных двоичных кодов длиной 6 символов, содержащих 4 единицы? Двоичный код обязательно начинается с единицы.

Показать ответ и решение

Первой в двоичном коде стоит единица. Необходимо найти количество вариантов поставить k = 3 недостающие единицы на n = 5 оставшихся мест в коде. Сделать это можно $C35 = (5−53!)!⋅3! = 4⋅25= 10$ способами. Значит всего существует 10 различных искомых кодов.

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#6218

Сколько существует различных двоичных кодов длиной 7 символов, содержащих 3 единицы? Двоичный код обязательно начинается с единицы.

Показать ответ и решение

Первой в двоичном коде стоит единица. Необходимо найти количество вариантов поставить k = 2 недостающие единицы на n = 6 оставшихся мест в коде. Сделать это можно $C26 = (6−62!)!⋅2! = 5⋅26= 15$ способами. Значит всего существует 15 различных искомых кодов.

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#6219

Сколько существует различных троичных кодов длиной 5 символов, содержащих 1 единицу и 2 двойки? Троичный код обязательно начинается с единицы.

Показать ответ и решение

Первым символом в троичном коде является единица. Необходимо найти количество вариантов поставить k = 2 недостающие цифры на n = 4 оставшихся места в коде. Сделать это можно $C2 = ---4!---= 3⋅4-= 6 4 (4−2)!⋅2! 2$ способами. Значит всего существует 6 различных искомых кодов.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#6331

Сколько существует различных пятеричных кодов длиной 6 символов, содержащих 3 двойки? Пятеричный код код обязательно начинается с двух единиц.

Показать ответ и решение

Первым и вторым символом в пятеричном коде являются единицы. Три символа займут двойки, значит есть 4 варианта расстановки последней цифры: (на месте звёздочки может быть любая пятеричная цифра)

11 ∗ 222 112 ∗ 22 1122 ∗ 2 11222∗

На место * можно поставить 4 символа: 0, 1, 3, 4, потому что нам нужно ровно 3 двойки, следовательно, мы не можем использовать её, потому что тогда их количество в коде может стать равно 4. Количество вариаций одного кода, допустим, первого, равно: $1 ⋅ 1 ⋅ 4 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 4$ . Всего таких кодов, чьи вариации не пересекаются, 4 (смотри таблицу), следовательно ответ: $4 ⋅ 4 = 16$ .

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#6680

Саша пришёл к Пете в гости, положил на стол 50 кусочков красной и 30 кусочков синей бумаги соответственно и попросил выбрать из них один. Сколько существует способов выбрать кусочек бумаги? Все кусочки различны.

Показать ответ и решение

Петя может выбрать либо красный кусочек, либо синий, то есть один из 50 кусочков красной бумаги или один из 30 кусочков синей. По правилу суммы количество способов сделать это равно $50 + 30 = 80$ .

Ответ: 80

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#6681

Саша и Петя сидят за столом друг напротив друга. На столе лежит 50 кусочков из красной и 50 кусочков синей бумаги. Саша выбрал один кусочек, убрал его со стола, и попросил Петю сделать тоже убрать один кусочек. Сколько способов убрать кусочек бумаги со стола есть у Пети, если он не хочет выбирать кусочек того же цвета, что и Саша?

Показать ответ и решение

Если Саша взял один кусочек красной бумаги, то Петя возьмет кусочек синего цвета (один из 50). Если Саша взял один кусочек синей бумаги, то Петя возьмет кусочек красной цвета (один из 50). В любом случае у Пети будет 50 способов выбрать кусочек бумаги.

Ответ: 50

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#6682

Саша выбрал 2 буквы (А, Б) и составляет различные слова, состоящие из 2 букв. Сколько способов составить слово есть у Саши? Буквы могут повторяться.

Показать ответ и решение

Есть 2 способа выбрать первую букву (А или Б) и 2 способа выбрать вторую (снова А или Б). Для каждой первой буквы есть 2 способа выбрать вторую. Следовательно, общее количество возможных способов равно $2 ⋅ 2 = 4.$

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#6683

Саша выбрал $5$ букв (А, Б, В, Г, Д) и составляет различные слова, состоящие из $2$ букв. Сколько способов составить слово есть у Саши? Буквы могут повторяться.

Показать ответ и решение

Есть $5$ способов выбрать первую букву (А, Б, В, Г или Д) и $5$ способов выбрать вторую букву (снова А, Б, В, Г или Д). Для любой первой буквы есть $5$ способов выбрать вторую букву. Следовательно, общее количество возможных способов равно $5 ⋅ 5 = 25.$

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#7287

Сколько существует различных двоичных кодов длиной 5 символов, содержащих 3 единицы? Двоичный код обязательно начинается с единицы.

Показать ответ и решение

Первой в двоичном коде стоит единица. Необходимо найти количество вариантов поставить k = 2 недостающие единицы на n = 4 оставшихся места в коде. Сделать это можно $C24 = (4−4!2)!⋅2! = 3⋅24-= 6$ способами. Значит всего существует 6 различных искомых кодов.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#7288

Сколько существует различных двоичных кодов длиной 8 символов, содержащих 5 единиц? Двоичный код обязательно начинается и заканчивается единицей.

Показать ответ и решение

Первым и последним символом в двоичном коде является единица. Необходимо найти количество вариантов поставить k = 3 недостающие единицы на n = 6 оставшихся мест в коде. Сделать это можно $C3 = ---6!---= 4⋅5⋅6-= 20 6 (6−3)!⋅3! 6$ способами. Значит всего существует 20 различных искомых кодов.

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#7289

Сколько существует различных двоичных кодов длиной 7 символов, содержащих 2 единицы? Двоичный код обязательно начинается с единицы.

Показать ответ и решение

Первым символом в двоичном коде является единица. Необходимо найти количество вариантов поставить k = 1 недостающую единицу на n = 6 оставшихся мест в коде. Сделать это можно $C1 = ---6!---= 6 = 6 6 (6−1)!⋅1! 1$ способами. Значит всего существует 6 различных искомых кодов.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#7290

Сколько существует различных двоичных кодов длиной 10 символов, содержащих 5 единиц? Двоичный код обязательно начинается и заканчивается единицей.

Показать ответ и решение

Первым и последним символом в двоичном коде является единица. Необходимо найти количество вариантов поставить k = 3 недостающие единицы на n = 8 оставшихся мест в коде. Сделать это можно $C3 = ---8!---= 6⋅7⋅8-= 56 8 (8−3)!⋅3! 6$ способами. Значит всего существует 56 различных искомых кодов.

Ответ: 56

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#7291

Сколько существует различных пятеричных кодов длиной 6 символов, содержащих 3 двойки? Пятеричный код код обязательно начинается с двух единиц.

Показать ответ и решение

Первым и вторым символом в пятеричном коде являются единицы. Необходимо найти количество вариантов поставить k = 3 недостающие цифры на n = 4 оставшихся места в коде. Сделать это можно $C3 = --4!---= 4= 4 4 (4−3)!⋅3! 1$ способами. Значит всего существует 4 различных искомых кода.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#7298

Ксюша составляет пары чисел, используя цифры от $2$ до $7.$ Первое число состоит из $3$ цифр, а второе — из $4.$ Цифры в каждом из чисел могут использоваться любое количество раз, причём оба числа не могут начинаться с чётной цифры. Сколько различных пар чисел Ксюша может составить?

Показать ответ и решение

В первом числе друг может на первую позицию поставить одну из $3$ нечётных цифр, а на каждое остальное место — любую из $6$ цифр. Значит первое число можно составить $3 ⋅ 6 ⋅ 6 = 108$ различными способами. Во втором числе на первой позиции может стоять любая из $3$ нечётных цифр, а на каждое остальное место можно поставить любую из $6$ цифр. Значит второе число можно составить $3 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 648$ различными способами.

Представим, что первые числа — чашки, а вторые числа — блюдца. Сколько различных вариаций блюдце + чашка можно составить?

Можно составить $108 ⋅ 648 = 69984$ различных пар чисел (блюдец с чашкой).

Ответ: 69984

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#7299

В базе данных есть 30000 записей. Какое минимальное количество бит потребуется для кодирования номера одной записи?

Показать ответ и решение

Бит может принимать 2 значения, для кодирования номера потребуется такое количество бит, чтобы можно было закодировать 30000 символов.

14 бит: $214 = 16384 < 30000$ — не подходит, слишком мало символов можно закодировать.

15 бит: $15 2 = 32768 ≥ 30000$ — подходит, можно закодировать достаточное количество символов.

Значит для кодирования номера одной записи потребуется 15 бит.

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#7300

Калькулятор может хранить числа от $0$ до $1000$ включительно. Какое минимальное количество бит потребуется для кодирования одного из этих чисел?

Показать ответ и решение

Бит может принимать $2$ значения, для кодирования одного из чисел потребуется такое количество бит, чтобы можно было закодировать $1001$ символ (ведь от $0$ до $1000$ включительно всего $1001$ число).

$9$ бит: $9 2 = 512 < 1001$ — не подходит, слишком мало символов можно закодировать.

$10$ бит: $10 2 = 1024 ≥ 1001$ — подходит, можно закодировать достаточное количество символов.

Значит для кодирования одного из чисел потребуется $10$ бит.

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#7301

Друг записал 70 чисел, неподходящих врагам. Какое минимальное количество бит потребуется для кодирования одного из этих чисел?

Показать ответ и решение

Бит может принимать 2 значения, для кодирования одного из чисел потребуется такое количество бит, чтобы можно было закодировать 70 символов.

6 бит: $26 = 64 < 70$ — не подходит, слишком мало символов можно закодировать.

7 бит: $7 2 = 128 ≥ 70$ — подходит, можно закодировать достаточное количество символов.

Значит для кодирования одного из чисел потребуется 7 бит.

Ответ: 7

8.04 Прочие прототипы