Тема 6. Решение уравнений

6.10 Задачи повышенного уровня сложности

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#855

Найдите положительный корень уравнения

2 2 2 (x + 1) − 6x − 1 = 0

Показать ответ и решение

Сделаем замену: $2 x + 1 = t$ . Тогда $2 x = t− 1$ и уравнение примет вид:

2 2 t − 6(t − 1) − 1 = 0 ⇔ t − 6t+ 5 = 0

По теореме Виета корнями являются числа $t = 5$ и $t = 1,$ следовательно,

⌊ [ 2 [ 2 [ x = 0 x + 1 = 1 ⇔ x = 0 ⇔ x = 0 ⇔ |⌈x = 2 x2 + 1 = 5 x2 − 4 = 0 (x − 2)(x +2) = 0 x = − 2

Следовательно, положительный корень – это $x = 2$ .

Ответ: 2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#857

Решите уравнение. В ответ укажите сумму квадратов корней уравнения, если они есть, и $0$ , если уравнение не имеет корней.

√- 2 √ -- √ -- 5x − 13x− 20 = 0

Показать ответ и решение

Так как $√- √-- D = 13+ 4 ⋅ 5 ⋅ 20 = 13+ 40 = 53 > 0,$ то уравнение имеет корни.

1 способ.

Пусть $a$ и $b$ – корни уравнения. Тогда $√13 a+ b = √--- 5$ и $√20- ab = −-√--. 5$

(√ --)2 ( √ --) 2 2 2 2 2 2 2 -√13 -√20 13 a + b = a +2ab + b − 2ab = (a+ b) − 2ab ⇒ a + b = 5 − 2⋅ − 5 = 5 + 4 = 6,6

2 способ.

Корни уравнения

√13-− √53 √13-+ √53 x1 = ----√----- и x2 = ----√----- 2 5 2 5

Тогда

( √13 − √53-)2 13 − 2√13√53-+ 53 x21 = ----√----- = ----------------- 2 5 20 ( √13 +√53-)2 13 + 2√13√53-+ 53 x22 = ----√----- = ----------------- 2 5 √ --√ -- 20 √--√ -- 2 2 13-−-2-13--53-+-53 13-+-2-13--53+-53 ⇒ x1 + x2 = 20 + 20 = 6,6

Заметим, что первый способ вычислительно проще.

Ответ: 6,6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2151

Найдите произведение корней уравнения $(x2+ 2)2 =6x2+ 4.$

Показать ответ и решение

1 способ.

Сделаем замену: $x2+ 2= t.$ Тогда $x2 = t− 2$ и уравнение примет вид:

2 2 t − 6(t− 2)− 4= 0 ⇔ t − 6t+8 = 0

По теореме Виета корнями являются числа $t= 4$ и $t= 2,$ следовательно,

[ 2 [ 2 [ x + 2= 2 ⇔ x =0 ⇔ x= 0 x2+ 2= 4 x2 =2 x2 = 2

Следовательно, один из корней уравнения равен 0, а значит, и произведение корней равно 0.

2 способ.

Раскроем скобки:

x4+ 4x2+ 4= 6x2+ 4 ⇔ x4− 2x2 = 0 ⇔ x2(x2− 2)= 0

Следовательно, один из корней уравнения равен 0, а значит, и произведение корней равно 0.

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#2152

Решите уравнение. В ответе укажите сумму квадратов корней уравнения если они есть, и 0, если уравнение не имеет корней.

2 √-- 2x + 57x + 7 = 0

Показать ответ и решение

Так как $D = 57− 4 ⋅2⋅7 = 1 > 0,$ уравнение имеет корни.

1 способ.

Пусть $a$ и $b$ – корни уравнения. Тогда по теореме Виета $√57 a+ b = − 2$ , $7 ab = 2.$

( √ --)2 a2 + b2 = a2 + 2ab+ b2 − 2ab = (a+ b)2 − 2ab ⇒ a2 + b2 = −-57 − 2⋅ 7 = 57 − 7 = 7,25 2 2 4

2 способ.

Корни уравнения

√-- √ -- x1 = −--57−-1- и x2 = −--57+-1- 4 4

Тогда

( √-- )2 √ -- x21 = −--57-−-1 = 57+-2--57+-1 4 16 ( ) − √57 + 1 2 57− 2√57-+ 1 x22 = ----4---- = -----16----- √ -- √-- ⇒ x21 + x22 = 57+-2-57+-1 + 57−-2-57-+-1= 7,25. 16 16

Заметим, что первый способ вычислительно проще.

Ответ: 7,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#78

Найдите корень уравнения

f(x) f(x) 7x + x+-3-= 21+ x-+-3,

если $f(x )$ – некоторая функция, определённая всюду на $ℝ.$

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x ⁄= − 3.$ Решим на ОДЗ: $7x = 21 ⇔ x = 3$ – подходит по ОДЗ.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#83

Найдите корень уравнения

√ - 2 √- √- √- 3x − (3 3 + 3)x + 9+ f( 3x ) = f( 3x),

если $f(z)$ – некоторая функция, определённая всюду, кроме $z = 3.$ Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите меньший из них.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $√- 3x ⁄= 3,$ что равносильно $√- x ⁄= 3.$ Решим на ОДЗ:

√ - 2 √ - 3x − (3 3+ 3)x+ 9 = 0

Разделим на $√3 :$

x2 − (3+ √3)x + 3√3 = 0,

тогда по теореме Виета $√ - x1 + x2 = 3+ 3$ и $√ - x1 ⋅x2 = 3 3,$ откуда $x1 = 3$ и $√ - x2 = 3,$ но по ОДЗ подходит только $x = 3.$

Ответ: 3

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#84

Найдите корень уравнения

2 g(sin x)+ ln π⋅x − 8 ln π⋅x +17 ln π = g(sin x)+ 2lnπ,

если $g(z)$ – некоторая функция, определённая всюду, кроме $z = sin3.$ Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите меньший из них.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $sin x ⁄= sin 3,$ что равносильно $π − (3− 2π)+ 2πk ⁄= x ⁄= 3 − 2π+ 2πk.$ Решим на ОДЗ:

2 ln π⋅x − 8ln π⋅x + 17lnπ = 2ln π

Разделим на $lnπ :$

x2 − 8x+ 17 = 2 ⇔ x2 − 8x + 15 = 0

Дискриминант $D = 64− 60 = 4,$ откуда

8+ 2 8− 2 x1 = -----= 5, x2 =-----= 3, 2 2

но по ОДЗ подходит только $x = 5.$

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#85

Найдите корень уравнения

2 (h(x)⋅x + 3h(x)⋅x − 10h(x))⋅h(5x) = 0,

если $h(z)$ – некоторая функция, определённая всюду, кроме $z = − 25,$ причём $h(z) < 0$ при всех допустимых $z.$ Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите меньший из них.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x ⁄= − 25$ и $5x ⁄= − 25,$ что равносильно $− 25 ⁄= x ⁄= − 5.$ Решим на ОДЗ:

Произведение нескольких множителей равно нулю в том и только том случае, если хотя бы один из них равен нулю и все они не теряют смысл.

Тогда в силу того, что $h(z) < 0$ при всех допустимых $z,$ на ОДЗ исходное уравнение равносильно

2 2 h(x)⋅x +3h (x) ⋅x − 10h(x) = 0 ⇔ h(x) ⋅(x + 3x− 10) = 0,

что аналогично на ОДЗ равносильно

x2 + 3x− 10 = 0,

Дискриминант $D = 9+ 40 = 49,$ откуда

x1 = − 3-+7-= 2, x2 = −-3−-7 = − 5, 2 2

но по ОДЗ подходит только $x = 2.$

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#86

Найдите корень уравнения

2√ - √- 3ψ ( ex)− 5ψ( ex) − 2 = 0,

если $ψ(z)$ – некоторая функция, определённая всюду, кроме $z = 1,$ область значений которой – множество не положительных чисел, причём $1 ψ(z) = − 3$ при $√- z = − e$ и при $√ - z = 2 e.$ Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите больший из них.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $√- ex ⁄= 1,$ что равносильно $1 x ⁄= √e-.$ Решим на ОДЗ: Сделаем замену $√- ψ( ex) = t,$ тогда исходное уравнение примет вид

3t2 − 5t− 2 = 0

Дискриминант $D = 25+ 24 = 49,$ тогда корни

5 + 7 5− 7 1 t1 =--6--= 2, t2 = --6--= − 3

Тогда $- ψ(√ ex ) = 2$ или $- ψ (√ ex) = − 1, 3$ но по условию $ψ(z)$ может принимать только не положительные значения, следовательно, $ψ(√ex ) = 2 > 0$ быть не может.

Так как $1 ψ(z) = − 3$ по условию выполняется при $√ - z = − e$ и при $√ - z = 2 e,$ то у исходного уравнения два корня $√ - √- ex1 = − e,$ $√- √- ex2 = 2 e,$ то есть $x1 = − 1$ и $x2 = 2.$ Больший из корней: $x = 2.$

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1424

Найдите корень уравнения

∘ π- ∘ -π- − ex = 4e

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

∘ π- 1∘ π- − ex = 2 e-

Разделим левую и правую часть уравнения на $∘ -- π- − e.$

После деления: $1 x = −2$ – подходит по ОДЗ.

Ответ: -0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1430

Найдите корень уравнения

√ --2 √ -- √ -- (π) ( π) √-- πx − 6 πx+ 4 π+ ϕ x = ϕ x − 4 π,

если $ϕ(z)$ – некоторая функция, определённая всюду, кроме $π z = 4$ . Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите больший из них.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x ⁄= 0$ и $π π x ⁄= 4$ , что равносильно $0 ⁄= x ⁄= 4$ . Решим на ОДЗ:

√-- 2 √-- √ -- √-- πx − 6 πx + 4 π = − 4 π.

Разделим на $√π-$ :

x2 − 6x+ 4 = − 4 ⇔ x2 − 6x+ 8 = 0.

Дискриминант $D = 36− 32 = 4$ , откуда

x1 = 6+-2-= 4, x2 = 6−-2-= 2, 2 2

но по ОДЗ подходит только $x = 2$ .

Ответ: 2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1431

Найдите корень уравнения

2 f (x)− 4f(x)− 5 = 0,

если $f(x)$ – некоторая функция, определённая всюду, область значений которой – множество положительных чисел, причём $f(x) = 5$ при $x = − 1$ и при $x = 3$ . Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите меньший из них.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Сделаем замену $f(x) = t$ , тогда исходное уравнение примет вид

2 t− 4t− 5 = 0.

Дискриминант $D = 16+ 20 = 36,$ тогда корни

t = 4-+6-= 5, t = 4−-6-= − 1. 1 2 2 2

Тогда $f(x) = 5$ или $f(x) = − 1,$ но по условию $f(x)$ может принимать только положительные значения, следовательно, $f(x) = − 1$ быть не может.

Так как $f(x) = 5$ по условию выполняется при $x = − 1$ и при $x = 3,$ то у исходного уравнения два корня $x1 = − 1,$ $x2 = 3.$ Меньший из корней: $x = − 1.$

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1826

Найдите корень уравнения

2 2 2 ln(sin(3πe ))x+ ln6 − ln2 = ln 3+ ln(tg(3πe ))+ ln(cos(3πe ))

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

2 2 2 ln(sin(3πe ))x + ln 3 = ln3 +ln(tg (3πe ))+ ln(cos(3πe ))

ln(sin (3πe2))x = ln(tg (3πe2)⋅cos(3πe2))

ln(sin(3πe2))x = ln(sin(3πe2))

Разделим левую и правую часть уравнения на $ln(sin (3πe2))$ . После деления: $x = 1$ – подходит по ОДЗ.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#2389

Сумма квадратов различных вещественных корней приведенного квадратичного трехчлена равна $1,$ а сумма кубов этих же корней равна $− 1.$ Найдите количество квадратичных трехчленов, удовлетворяющих этим условиям.

Показать ответ и решение

Приведенным называется квадратичный трехчлен вида $2 t + bt+ c,$ где $b,$ $c$ – некоторые числа. Пусть $x,$ $y$ – различные вещественные корни такого трехчлена (следовательно, его дискриминант должен быть положительным).

Тогда

x2 + y2 = (x+ y)2 − 2xy = (− b)2 − 2c = b2 − 2c 3 3 2 2 2 2 x + y = (x+ y)(x − xy + y) = (x + y)((x +y) − 3xy) = − b(b − 3c)

Следовательно, получаем систему:

{ (| b2 − 1 b2 − 2c = 1 { c =--2-- − b(b2 − 3c) = − 1 ⇒ |( b3 − 3b+ 2 = 0

Найдем корни уравнения $3 b − 3b+ 2 = 0.$ Подбором находим, что $b = 1$ является корнем. Выполнив деление в столбик, получаем $3 2 b − 3b+ 2 = (b− 1) (b+ 2) = 0,$ следовательно, его корни: $b = 1$ и $b = − 2.$ Тогда получаем:

⌊ { | b = 1 || c = 0 || ( |⌈ {b = − 2 (c = 3 2

Осталось проверить положительность дискриминанта.

Для первой пары чисел получаем: $2 D = b − 4c = 1 > 0;$ для второй пары чисел: $D = − 2 < 0.$

Следовательно, подходит только одна пара чисел, а это значит, что существует только один приведенный квадратичный трехчлен, удовлетворяющий условиям.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#38227

Решите систему уравнений: ${ √5y-−-x+ x = 3 √------ 2y − x+ x + y = 3$

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ системы:

{ 5y− x≥ 0 2y− x≥ 0

Решим на ОДЗ. Пусть $√5y-− x = a$ и $√2y-−-x= b$ $(a$ и $b≥ 0),$ тогда:

{ √----- { 2 √5y−-x =a ⇔ 5y− x =a2 2y− x =b 2y− x =b

Вычтем из первого уравнения системы второе, получим:

2 2 5y− x − 2y +x = a − b 3y = a2 − b2 a2−-b2 y = 3

Теперь подставим полученное выражение в перове уравнение системы:

5y− x= a2 2 2 5(a-−-b-)− x= a2 3 x= 5a2− 5b2− a2 3 3 2a2−-5b2 x= 3

Тогда исходная система приобретает вид:

( 2 2 ||{ a+ 2a-−-5b-= 3 3 ||( b+ a2−-b2+ 2a2−-5b2= 3 3 3 { 2 2 3a+ 2a2 −25b =92 2 3b+ a − b +2a − 5b = 9 { 2a2+3a − 5b2 = 9 3a2+3b− 6b2 = 9

Выразим $b$ через $a$ :

2a2+ 3a− 5b2 =9 2 b2 = 2a-+-35a−-9 ∘ ----------- b= 2a2+-3a−-9 (т.к. b≥ 0) 5

Подставим результат во второе уравнение:

∘ ----------- 3a2+ 3 2a2+-3a−-9− 62a2+-3a−-9= 9 5 5 ∘ 2a2+-3a−-9- 4a2+ 6a− 18 5a2 -----5---- = -----5-----+ 3− -5- ∘ ----------- 2a2+-3a−-9 = 6a−-3−-a2 5 5

Возведём обе части в квадрат, учтя что:

{ [ ] 2a2+ 3a − 9≥ 0 3 √- 6a− 3− a2 ≥ 0 ⇔ a∈ 2, 3+ 6

Получим:

( )2 2a2+-3a−-9= 6a-−-3−-a2 5 5 2a2 +3a− 9 a4− 12a3+42a2− 36a+ 9 ----5-----= ---------25---------- 4 3 2 a-−-12a-+-32a-−-51a+-54= 0 25 a4− 2a3− 10a3 +20a2+ 12a2− 24a − 27a +54 =0 3 2 a (a − 2)− 10a (a − 2)+ 12a(a − 2)− 27(a− 2)= 0 (a− 2)(a3− 9a2− a2+ 9a+ 3a − 27) =0 2 (a − 2)(a− 9)(a − a+ 3)= 0

Т.к. $a2− a + 3= 0$ не имеет корней, а $a =9$ не удовлетворяет условию возведения обеих частей в квадрат, получим, что $a= 2.$ Тогда:

∘ ---2--------- b = 2-⋅2-+3-⋅2−-9 ⇔ b= 1 5

Выполним обратную замену:

( 2a2− 5b2 ||{x = ---3---- | 2 2 |(y = a-−-b- 3 (| 2⋅22−-5⋅12 { |{x = 3 x = 1 || 22− 12 ⇔ y = 1 (y = --3---

Данная пара удовлетворяет ОДЗ. Следовательно, решение системы: $x = 1; y = 1.$

Ответ:

$x = 1; y = 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#91316

Найдите целочисленные решения уравнения $x2− 5x− |x − 4|+ 1= 0.$

Показать ответ и решение

Раскроем модуль:

{ 2 x2 − 5x − (x − 4)+ 1, если x − 4≥ 0 x − 5x− |x − 4|+ 1= x2 − 5x +(x − 4)+ 1, если x − 4< 0

Тогда при $x≥ 4$ уравнение примет вид

2 x − 5x − (x− 4)+ 1= 0 x2− 5x− x+ 4+ 1 =0 x2− 6x+ 5= 0 2 D = 36 − 4 ⋅5= 16= 4 x1,2 = 6±-4 2 x1 = 5 x2 = 1 — не соответствует условию x≥ 4

Таким образом, $x = 5$ — целочисленное решение уравнения.

Рассмотрим случай $x < 4:$

x2− 5x+ x− 4+ 1 =0 x2− 4x− 3= 0 ( √-)2 D = 16+ 4 ⋅3 = 28= 2 7 √- x1,2 = 4±-2-7- √- 2 x1 =2 + 7 — не соответствует условию x< 4 x2 = 2− √7

$√ - x= 2 − 7$ не является целочисленным решением, поэтому ответ: $x = 5.$

Ответ: 5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#91317

Решите уравнение $√----- x+ 3 x− 3− 13 =0.$

Показать ответ и решение

Преобразуем левую часть уравнения:

x+ 3√x-− 3-− 13 = (x − 3)+ 3√x-−-3− 10= (√x−-3)2+ 3√x-− 3-− 10.

Пусть $√x-−-3= t≥ 0.$ Тогда

(√----)2 √----- 2 x − 3 + 3 x − 3− 10= t +3t− 10.

Значит, имеем уравнение

2 t + 3t− 10 =0 (t+ 5[)(t− 2)= 0 t= −5 t= 2

Заметим, что $t≥ 0,$ поэтому $t =2.$ Тогда

√----- x − 3 = 2 x− 3= 4 x =7

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#375

Найдите сумму корней уравнения, если известно, что все они различны.

1 3 2 2 πx − πx − 2π + πx = 0

Показать ответ и решение

По теореме Виета для уравнения третьей степени $3 2 ax + bx + cx+ d = 0$ сумма его корней (при учёте того, что все они различны) равна $b − a,$ тогда произведение корней рассматриваемого уравнения равно

2 2 π − -π1 = --⋅--= 2 − π π 1

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#376

Найдите значение выражения

x1x2-+-x1x3 +-x2x3 x1x2x3 ,

где $x1,$ $x2,$ $x3$ – различные корни уравнения $x3 − 10x2 − 225x + 2250 = 0.$

Показать ответ и решение

По теореме Виета для уравнения третьей степени $3 2 ax + bx + cx+ d = 0$ отношение $c a$ равно значению выражения $x1x2 +x2x3 + x3x1,$ где $x1,$ $x2,$ $x3$ – корни этого уравнения (при учёте того, что все они различны), тогда значение выражения $x1x2 + x2x3 + x3x1$ для исходного уравнения равно

− 225 --1--= − 225

По теореме Виета для уравнения третьей степени $ax3 + bx2 + cx+ d = 0$ произведение его корней (при учёте того, что все они различны) равно $− da$ , тогда произведение $x1x2x3$ корней рассматриваемого уравнения равно

− 2250= − 2250 1

В итоге

x1x2 +-x1x3 +-x2x3-=-− 225-= 0,1 x1x2x3 − 2250

Ответ: 0,1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#2711

Найдите произведение корней уравнения, если известно, что все они различны.

3 2 2 2 11π+ πx + (− 11π+ 1 − π )x + (− 11+ 11π − π )x = 0

Показать ответ и решение

По теореме Виета для уравнения третьей степени $3 2 ax + bx + cx + d = 0$ произведение его корней (при учёте того, что все они различны) равно $d − --, a$ тогда произведение корней рассматриваемого уравнения равно

− 11π-= − 11 π

Ответ: -11

Предыдущий раздел

Следующий раздел