Тема ММО (Московская математическая олимпиада)

Квадратные трёхчлены на ММО

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ммо (московская математическая олимпиада)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#78815

Приведите пример такого квадратного трехчлена $P(x),$ что при любом $x$ справедливо равенство

2 P(x+ 1)+ P(x+ 2)+...+P(x+ 10)=x

Показать ответ и решение

Пусть искомый многочлен $P(x)= ax2+ bx +c.$ Тогда

P(x+ 1)+...+ P(x+ 10) = ( 2 2) = a (x +1) +...+(x+ 10) + + b((x+1)+ ...+ (x +10))+ 10c= = a(10x2+(2+ 4+ ...+20)x+ (1+ 22+ ...+ 102))+ + b(10x+1 +2+ ...+ 10)+ 10c=

= 10ax2 +110ax +385a+ 10bx+ 55b+ 10c= 2 = 10ax +(110a+ 10b)x+ (385a+ 55b+ 10c)

Получаем равенство квадратных трехчленов

2 2 10ax +(110a +10b)x+ (385a+ 55b+10c) и x

Это равносильно равенству коэффициентов, то есть системе уравнений

(| 10a= 1, { 110a+ 10b= 0, |( 385a+ 55b+ 10c=0,

которая имеет единственное решение $a= 110,b =− 1110,c= 115 .$

Ответ:

$x2−11x+22 10$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#78816

Квадратный трехчлен $x2+ bx+ c$ имеет два действительных корня. Каждый из трех его коэффициентов (включая коэффициент при $x2$ ) увеличили на $1.$ Могло ли оказаться, что оба корня трехчлена также увеличились на $1?$

Показать ответ и решение

Пусть $x ,x 1 2$ —корни уравнения $x2+ bx +c= 0.$ Тогда по теореме Виета

x1+ x2 = −b (1)

x1x2 =c (2)

Предположим, что утверждение задачи верно, тогда

x + 1+x + 1= − b+-1 (3) 1 2 2

c+-1 (x1+1)(x2+1)= 2 (4)

Подставим $(1)$ в $(3)$ и найдем $b= 5.$

Подставим $(1)$ и $(2)$ в $(4)$ и найдем $c= 9.$

Стало быть, искомый квадратный трехчлен, если он существует, имеет вид $2 x + 5x +9.$ Однако же дискриминант такого трехчлена отрицателен, а по условию он имеет два действительных корня. Значит, описанная в задаче ситуация невозможна.

Ответ:

Нет, не могло

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#75445

Все коэффициенты квадратного трёхчлена — нечётные целые числа. Докажите, что у него нет корней вида $1∕n$ , где $n$ — натуральное число.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем действовать от противного. Если такой корень есть, то значит, в нём трёхчлен обнуляется. Попробуйте подставить и посмотреть, что получится.

Подсказка 2

Ага, получилось выражение только с целыми числами. Но в условии нам ещё дали условии на чётность коэффициентов. А что если рассмотреть случаи по чётности n?

Подсказка 3

Верно, и для чётного, и для нечётного n мы будем всегда получать нечётное число, а 0 чётный! Победа!

Показать доказательство

Пусть искомый трёхчлен $ax2+ bx+ c$ имеет корень $1 n$ . В таком случае справедливо равенство $a+ bn +cn2 = 0$ , однако заметим, что если $n$ чётно, то левая часть нечётна, а значит не может равняться $0$ . Если же $n$ — нечётно, то опять же левая часть является нечётной, а значит равенства быть не может.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#88687

Известно, что сумма любых двух из трёх квадратных трёхчленов

2 2 2 x +ax+ b,x + cx+ d,x + ex+ f

не имеет корней. Может ли сумма всех этих трёхчленов иметь корни?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть наши трёхчлены — это функции f(x), g(x) и h(x) соответственно. Какое общее свойство есть у попарных сумм наших функций, которое следует из того, что они не имеют корней?

Подсказка 2

Давайте рассмотрим функцию f(x) + g(x). Обратите внимание, что её ветви направленны вверх, а корней при этом нет. Какие тогда значения по знаку может принимать функция?

Подсказка 3

Так как график функции f(x) + g(x) не имеет пересечений с осью Ox, а ветви данной параболы направлены вверх, то можно сделать вывод, что f(x) + g(x) > 0. Аналогичное утверждение можно сказать и про оставшиеся две суммы. Подумайте, как отсюда доказать, что f(x) + g(x) + h(x) > 0

Показать ответ и решение

Пусть $f(x)=x2 +ax+ b,g(x)=x2 +cx+ d,h(x)= x2 +ex+ f.$ Многочлен $f(x)+ g(x)$ не имеет корней и имеет положительный старший коэффициент, следовательно, положителен при любых значениях $x.$ Аналогично, $g(x)+ h(x)> 0$ и $h(x)+ f(x)> 0$ для любого $x.$

Зафиксируем произвольную точку $x0.$ Тогда $f(x0)+g(x0)>0,g(x0)+ h(x0)> 0,h(x0)+f(x0)> 0.$ Складывая полученные неравенства и деля на 2, получим

f(x0)+ g(x0)+ h(x0)> 0,

тем самым, сумма трех рассматриваемых трехчленов положительна в любой действительной точке.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#38127

Один из двух приведённых квадратных трёхчленов имеет два корня, меньших тысячи, другой — два корня, больших тысячи. Может ли сумма этих трёхчленов иметь один корень, меньший тысячи, а другой — больший тысячи?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем понять какую-то информацию из графиков трёхчленов и последовательного анализа условия. Нам тут всё дали не просто так. Если у нас приведённые квадратные трёхчлены, то что можно сказать о их графиках и их сумме?

Подсказка 2

Верно, значит, ветви парабол направлены вверх, причём всех трёх, так как старшие коэффициенты равны 1 и 2. Теперь попробуем использовать второе условие про корни. Что вы можете сказать про значение трёхчленов в точке 1000? Попробуйте подставить и узнать.

Подсказка 3

Ага, получаем, что изначальные трёхчлены в 1000 положительны. Понятно, что тогда и их сумма в точке 1000 положительна. Но разве, когда корни должны быть по разные стороны от 1000, такое может быть?

Показать ответ и решение

Первое решение.

По условию трёхчлены приведённые, так что их старшие коэффициенты положительны (равны единичке у обоих), то же можно сказать и для их суммы. Посмотрим на графики двух данных в условии трёхчленов: это параболы с ветвями вверх, которые при $x =1000$ имеют положительные значения. Их сумма также даёт параболу с ветвями вверх и положительным значением в точке $x = 1000$ . Поэтому корни находятся так же по одну сторону, ведь иначе (когда $x= 1000$ находится между корнями) значение суммы при $x = 1000$ было бы отрицательным.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Параллельно перенесём графики данных трёхчленов на $1000$ влево. Это эквивалентно замене в условии задачи $1000$ на $0.$ Получим приведённые трёхчлены: $x2+ p1x +q1$ с отрицательными корнями и $x2+ p2x +q2$ с положительными корнями. По теореме Виета $q1 > 0$ и $q2 > 0.$ Сумма этих трёхчленов равна $2x2+ (p1+p2)x+(q1+ q2)$ , где $q1 +q2 > 0,$ поэтому её корни одного знака.

Ответ:

нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#84471

Дискриминанты трёх приведенных квадратных трёхчленов равны $1$ , $4$ и $9$ . Докажите, что можно выбрать по одному корню каждого из них так, чтобы их сумма равнялась сумме оставшихся корней.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть равенство сумм корней, так что можно в нём всё перенести в одну сторону. Тогда у нас появятся разности корней одного и того же трёхчлена. Что интересного можно сказать про них?

Подсказка 2

Попробуйте выразить разность корней через дискриминант квадратного трёхчлена.

Подсказка 3

Верно, дискриминант равен квадрату разности между корнями! Тогда мы знаем, чему равны разности корней, и можем подобрать их знаки так, чтобы равенство стало верным!

Показать доказательство

Обозначим корни данных трёхчленов $x ≤ x,y ≤ y,z ≤ z 1 2 1 2 1 2$ (одной букве с разными индексами соответствуют корни одного трёхчлена).

Так как дискриминант равен квадрату разности между корнями, то (без ограничения общности для определённости обозначений)

x2 − x1 = 1,y2 − y1 = 2,z2− z1 = 3

Получаем

x2+ y2+ z1 =x1+ 1+ y1+2 +z2− 3

требуемое.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел