Тема Курчатов

Алгебраические текстовые задачи на Курчатове

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела курчатов

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#85562

По плоскости ползут три улитки. Каждая улитка движется со своей скоростью прямолинейно и равномерно. Известно, что в некоторые три момента времени все улитки оказывались на одной прямой. Могут ли улитки в какой-то момент времени оказаться в вершинах правильного треугольника?

Источники: Курчатов - 2024, 11.4 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как в геометрии, так и в других разделах математики, зачастую бывает удобно зафиксировать задачу набором переменных. Если мы хотим зафиксировать задачу здесь, то самым банальным набором будет функция движения каждой улитки. Пусть (x_i(t), y_i(t)) - положение улитки относительно времени. Какое тогда условие, при наличии направляющих векторов можно наложить на их координаты, если в некоторый момент времени эти три улитки были

Подсказка 2

Верно, что (x_2(t) - x_1(t))(y_3(t) - y_1(t)) = (x_3(t) - x_1(t))(y_2(t) - y_1(t)). Просто записали векторное произведение векторов от первой ко второй улитке и от первой к третьей. Что теперь можно понять, если у нас нашлось 3 значения таких t(то есть, три раза был момент, когда они все на 1 прямой)? А если подумать какой степени каждая из зависимостей x_i, y_i относительно t?

Подсказка 3

Зависимости x_i, y_i - линейный зависимости(так как каждая улитка движется по линии), а значит, уравнение выше - не выше второй степени. Однако, у него есть три различных корня. Что это значит тогда? Когда такое может быть?

Показать ответ и решение

Введем декартову систему координат, и пусть $(x (t);y(t)),i= 1,2,3 i i$ - координаты $i$ -й улитки в момент времени $t$ . Поскольку улитки движутся прямолинейно и равномерно, то $xi(t)$ и $yi(t)$ - линейные функции от времени $t$ . Рассмотрим векторы

¯a(t)= (x (t)− x(t);y (t)− y (t)), 2 1 2 1 ¯b(t)=(x3(t)− x1(t);y3(t)− y1(t)),

направленные от первой улитки ко второй и третьей соответственно. Тогда условие принадлежности трех улиток одной прямой равносильно коллинеарности векторов $¯a(t)$ и $¯ b(t)$ .

Это в свою очередь равносильно пропорциональности координат этих векторов:

(x2(t)− x1(t))(y3(t)− y1(t))= (x3(t)− x1(t))(y2(t)− y1(t)).

Заметим, что это равенство представляет собой уравнение на переменную $t$ степени не выше 2. Нам известно, что у этого уравнения есть три различных корня. Но тогда это уравнение имеет тривиальный вид $0 =0$ , поскольку в противном случае у него не может быть больше двух корней. Значит, это уравнение справедливо при любом $t$ , и улитки всегда находятся на одной прямой и не могут оказаться в вершинах ни одного треугольника.

Ответ: нет

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#85566

На координатной плоскости $Oxy$ рассматривается угол, образованный прямыми $y = x$ и $y = −2x$ , целиком лежащий в полуплоскости $y ≥0$ . Среди всех парабол вида $2 y = ax + bx +c$ , вписанных в данный угол, найдите ту параболу, которая принимает наименьшее значение в точке $x =2$ .

Источники: Курчатов - 2024, 11.6 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Внимание

Условие этой задачи можно понимать по-разному:

Подсказка 1 по первому варианту

Вспомним, что означает с точки зрения уравнений, что парабола касается прямой, запишем эти условия в алгебраической форме. Получим некоторые условия, связывающие между собой коэффициенты квадратного трехчлена.

Подсказка 2 по первому варианту

Теперь, имея условие на коэффициенты трехчлена, останется только подставить в выражение для него x=2 и минимизировать получившуются величину.

Подсказка 1 по второму варианту

Условие, что парабола имеет вершину при x=2, можно записать алгебраически: это значит, что выделяя полный квадрат, мы получим скобку (х-2)^2.

Подсказка 2 по второму варианту

Далее получаем условие на коэффициенты трехчлена, связанные с тем, что искомая парабола касается двух прямых. Из этих условий коэффициенты определяются однозначно!

Показать ответ и решение

Пусть парабола $y =ax2+ bx+ c$ касается обеих прямых $y = x$ и $y = −2x$ . Касание с прямой $y = x$ означает, что квадратное уравнение $2 ax + bx +c =x$ имеет единственное решение, т.е. дискриминант $D1$ этого квадратного уравнения равен 0 . Запишем это условие: $2 D1 = (b− 1)− 4ac= 0$ .

Аналогично, касание с прямой $y = −2x$ означает, что квадратное уравнение $2 ax +bx+ c= −2x$ имеет единственное решение, поэтому дискриминант $D2$ этого квадратного уравнения также равен $2 0 :D2 = (b+ 2) − 4ac= 0$ . Из этих двух равенств следует, что $2 2 (b− 1) = (b+2)$ , поскольку оба этих выражения равны $4ac$ . Решая это уравнение относительно $b$ , получаем $1 b= −2$ . Подставим это значение $b$ в формулу для $D1$ и найдем $-9 ac= 16$ . Подставим в уравнение параболы $2 y = ax + bx+ c$ значения $x =2$ и $b=$ $1 −2$ : получается выражение $4a+ c− 1$

Найдём, какое наименьшее значение принимает это выражение при условии $9 ac= 16$ .

Заметим, что $a> 0$ , поскольку парабола лежит в верхней полуплоскости относительно оси $Ox$ , а значит, и $c>0$ . Поэтому мы можем применить неравенство Коши: $√--- 4a+ c≥ 2 4ac=3$ , откуда $4a+ c− 1 ≥3− 1= 2$ . Значит, наименьшее значение равно 2 , причем оно достигается, когда $4a +c=$ $√ --- 2 4ac$ . Перенося все слагаемые налево, получаем, что $√- √- (2 a− c)2 = 0$ , откуда $√- √ - 2 a= c$ и $c= 4a$ . Подставляя $c$ в формулу $ac= 196$ и помня, что $a,c> 0$ , получаем $a = 38$ и $c= 32$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Принимались также решения, в которых условие понималось так, чтобы найти параболу, которая принимает своё наименьшее значение в точке $x= 2$ . Решение задачи в этой трактовке приведено ниже.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть наша парабола имеет вершину в точке $x= 2$ . Тогда ее уравнение выглядит так: $y = a(x− 2)2+d$ для некоторых чисел $a$ и $d$ .

Касание с прямой $y =x$ означает, что квадратное уравнение $a(x− 2)2+ d= x$ имеет единственное решение, т.е. дискриминант $D1$ этого квадратного уравнения равен 0 . Запишем это условие: $D1 = (4a+ 1)2 − 4a(4a +d)= 0$ .

Аналогично, касание с прямой $y = −2x$ означает, что квадратное уравнение $a(x− 2)2 +d =−2x$ имеет единственное решение, поэтому дискриминант $D2$ этого квадратного уравнения также равен $0:D2 = (4a− 2)2 − 4a(4a+ d)= 0$ . Из этих двух равенств следует, что $(4a+ 1)2 = (4a − 2)2$ , поскольку оба этих выражения равны $4a(4a+ d)$ . Решая это уравнение относительно $a$ , получаем $a = 18$ . Подставим это значение $a$ в формулу для $D1$ и найдем $d= 4$ . Таким образом, мы нашли уравнение искомой параболы:

y = 1(x− 2)2+ 4= 1x2− 1x+ 9 8 8 2 2

Ответ:

$y = 3x2− 1x + 3 8 2 2$

в другой трактовке условия $1 2 1 9 y = 8x − 2x+ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#92429

Из деревни в город шёл путник. В 14:00, когда путник прошёл четверть пути, из деревни в город выехал мотоциклист, а из города в деревню — грузовик. В 15:00 мотоциклист догнал путника, а в 15:30 встретил грузовик. Во сколько путник встретит грузовик?

Источники: Курчатов - 2021, 11.2 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте поймём, что нам нужно найти вообще. Если a,b,c - скорости путника, мотоцикла и грузовика соотвественно, а S - длина пути, то нам надо найти отношение 3S/4 / (c + a). При этом у нас есть два уравнения, которые задают отношения S с каким-то коэффициентом к сумме или разности определённых скоростей. Запишите эти уравнения и постарайтесь выразить требуемое.

Подсказка 2

Мы получили уравнения b - a = S/4, b + c = 2S/3. Откуда c + a выражается через S вычитанием первого равенства из второго. Теперь найдите требуемое и запишите ответ!

Показать ответ и решение

Обозначим всё расстояние за $S$ , а скорости путника, мотоцикла и грузовика за $V ,V p m$ и $V g$ соответственно (расстояние измеряем в километрах, а скорость в километрах в час). По условию мотоциклист догнал путника за один час. Их скорость сближения равна $Vm − Vp$ , а расстояние между ними $S∕4$ , поэтому имеет место уравнение

S∕4 Vm−-Vp = 1.

Через полтора часа после начала движения встретились мотоцикл и грузовик. Их скорость сближения равна $Vm+ Vg$ , а суммарное пройденное ими расстояние равно $S$ , поэтому имеет место уравнение

---S---= 1,5. Vm +Vg

Преобразуем оба уравнения и получим

{ Vm − Vp = S Vm+ Vg = 24S. 3

Вычтем из второго уравнения первое и получим

Vg+ Vp = 5S, 12

откуда находим

-3S∕4--= 9. Vg+ Vp 5

Следовательно, путник и грузовик встретились через $9∕5$ часа после начала движения. Переводя это время в часы и минуты, получаем, что путник и грузовик встретились в 15:48.

Ответ: 15:48

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#92430

В первой четверти координатной плоскости отметили две точки $A$ и $B$ с целочисленными координатами. Оказалось, что $∘ ∠AOB =45$ , где $O$ — начало координат. Докажите, что хотя бы одна из четырёх координат точек $A$ и $B$ — чётное число.

Источники: Курчатов - 2021, 11.3 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как мы можем связать угол и координаты этих точек? Через скалярное произведение. Запишите его и подумайте над тем, что с ним можно сделать, если знать, что все координаты - целые числа.

Подсказка 2

Мы можем возвести в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности. Теперь положим, что все числа нечётные. Что нам это даёт? Какой остаток по модулю 4 дает любой нечётный квадрат? А что тогда можно сказать про степень вхождения двойки в левую и правую части?

Показать доказательство

Пусть точка $A$ имеет целочисленные координаты $(a;b)$ , а точка $B$ — $(c;d)$ . Запишем скалярное произведение векторов $−O→A (a;b)$ и $−−→ OB (c;d)$ двумя способами: через координаты и через угол между ними.

−→ −−→ −→ −−→ ∘ ------∘ ------ 1 ac+ bd= OA⋅OB = |OA |⋅|OB |cos45∘ = a2+ b2⋅ c2+d2⋅√2-, откуда 2 ( 2 2)( 2 2) 2(ac+bd) = a + b c + d .

Предположим, все числа $a,b,c,d$ нечётны, тогда все выражения в скобках являются чётными числами. Квадрат любого нечётного числа даёт остаток 1 при делении на 4 (поскольку $(2k+ 1)2 = 4(k2+ k) +1$ ), поэтому каждая из скобок в правой части является чётным числом, не делящимся на 4 . Получаем противоречие с тем, что левая часть равенства делится на $2⋅22 =8$ , а правая на 8 не делится.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#90885

В Курчатовской школе за каждой партой сидит ровно 2 человека. Известно, что ровно у $70%$ мальчиков сосед по парте – мальчик, а ровно у $40%$ девочек – девочка. Во сколько раз мальчиков больше чем девочек?

Источники: Курчатов - 2020, 11.1 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы знаем, какой процент мальчиков сидит за одной партой с мальчиком. Тогда сколько мальчиков сидит с девочкой?

Подсказка 2

Верно, 30%. Аналогично, 60% девочек сидит с мальчиками. Пусть количество мальчиков x, а девочек — y. Выразите через эти переменные количество мальчиков, сидящих с девочками, и количество девочек, сидящих с мальчиками. Что можно сказать про эти числа?

Подсказка 3

Верно, они равны! Теперь можно преобразовать равенство и найти ответ!

Показать ответ и решение

Пусть количество мальчиков $x$ , а девочек – $y$ . Заметим, что $30%$ мальчиков сидит за партами с девочками и $60%$ девочек сидят за партами с мальчиками. Так как за каждой партой сидит ровно 2 человека, то $0,3x =0,6y$ , откуда $x= 2y.$ Таким образом, мальчиков в 2 раза больше, чем девочек.

Ответ: в 2 раза

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#89253

Петя и Вася участвовали в выборах на должность президента шахматного клуба. К полудню у Пети было $25%$ голосов, а у Васи — $45%$ . После полудня на голосование приходили только друзья Пети (и, соответственно, голосовали только за него). В итоге у Васи осталось только $27%$ голосов. Сколько процентов голосов набрал Петя?

Показать ответ и решение

Пусть $x$ — количество проголосовавших до полудня, а $y$ —– количество проголосовавших после. Тогда за Васю проголосовало $0,45x$ человек, что составляет $27%$ от $x+ y$ . Таким образом, получаем равенство $0,45x =0,27(x+ y)$ , откуда $2x= 3y$ . Согласно условию, Петя набрал голосов $0,25x+ y$ , вычислим, какую долю от $x+ y$ составляет это количество:

0,25x+ y 0,25+ y -x-+y--= -1+-yx-= x

= 14 +-23= 11 =55% 1+ 23 20

Ответ:

$55%$