Тема Межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Тригонометрия на Межведе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#88066

Сравните числа $(tg1∘+ tg 2∘ +...+ tg44∘)$ и 22.

Источники: Межвед - 2024, 11.5 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем преобразовать сумму тангенсов. На что намекают их аргументы?

Подсказка 2

Если разделить тангенсы на пары: первый с последним, второй с предпоследним и так далее, то сумма аргументов будет 45. Какую формулу тогда нужно применить?

Подсказка 3

Формулу суммы тангенсов! Количество дробей намекает на то, что можно доказать, что каждая из них меньше 1 (дробей 22).

Подсказка 4

В знаменателе можно применить формулу произведения косинусов. Тогда один из них будет всегда равен половине числителя.

Показать ответ и решение

Сгруппируем крайние члены

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ (tg1 +tg2 + ...+tg44 )=(tg1 +tg44 )+...+ (tg22 + tg 23 )

По формуле суммы тангенсов

∘ ∘ ∘ ∘ --sin45∘--- ---sin45∘--- (tg1 +tg44)+ ...+ (tg22 + tg23 )= cos1∘cos44∘ +...+cos22∘ cos23∘

Заменим синус от 45 градусов на равный ему косинус и воспользуемся формулой произведения косинусов

cos45∘ cos45∘ 2cos45∘ 2cos45∘ cos1∘cos44∘-+...+cos22∘-cos23∘ = cos43∘+-cos45∘ + ...+ cos1∘-+cos45∘

Осталось заметить, что функция $f(x)= cosx$ убывает на отрезке $π [0;2]$ , а значит, верны неравенства $cosn∘ > cos45∘$ для всех $n ∈{43,41,...,1}$ , следовательно, верны неравенства $cosn∘+ cos45∘ > 2cos45∘$ для всех $n ∈{43,41,...,1}$ , т.е. каждое слагаемое в сумме меньше 1. Таким образом, вся сумма меньше 22.

Ответ:

$(tg1∘+tg2∘+ ...+ tg44∘)< 22$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#68093

Найдите количество целых решений уравнения

sin(π⋅log2x)+ cos(π⋅log2x)= 1

на отрезке $[1;90].$

Источники: Межвед-2023, 11.1 (см. www.academy.fsb.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Классическое уравнение на сумму синуса и косинуса, причём справа константа, сразу хочется как-то преобразовать обе части уравнения) Как?

Подсказка 2

Поделить обе части на √2, тогда сможем слева собрать в синус суммы, а справа останется константа! Остаётся лишь разобрать пару случаев)

Показать ответ и решение

Разделим обе части уравнения на $√2 :$

π π -1- sin(π ⋅log2 x)⋅cos4 + sin 4 ⋅cos(π⋅log2x)= √2

( ) sin π ⋅log2x+ π = √1- 4 2

[ π ⋅log2x+ π4 = π4 +2πn,n∈ ℤ π ⋅log2x+ π4 = 3π4 + 2πk,k ∈ℤ

[ π⋅log2x= 2πn π⋅log2x= π2 +2πk

Отсюда получаем, что $x= 22n$ или $1 x =22+2k.$ Поскольку число $1 22+2k$ не является целым, остается найти количество целых значений $n$ таких, что

1≤ 22n ≤90.

Решениями неравенства являются целые числа $0,1,2,3.$

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#72038

Решите уравнение

5 8cos x− 5cosx − 2cos3x= 1

Источники: Межвед-2022, 11.4 (см. www.academy.fsb.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С косинусом 3x работать неудобно, сразу его раскроем. Теперь хочется уравнение преобразовать так, чтобы справа либо остался 0, либо так и осталась единица, но слева было произведение, которое мы можем оценить.

Подсказка 2

Вынесением общего множителя и использованием тригонометрических формул приходим к равенству cos(x)cos(4x)=1. Попробуем оценить левую часть.

Подсказка 3

Каждый из множителей лежит в определенном промежутке, значит можно разбить решение на два случая.

Подсказка 4

Понятно, что модуль обоих множителей должен быть равен единице. Осталось лишь работать два случая несложных систем)

Показать ответ и решение

5 8cos x− 5cosx − 2cos3x= 1

Используем формулу косинуса тройного угла $cos3x= 4cos3x− 3cosx$ получаем

8cos5x− 5cosx− 2(4cos3x− 3cosx)= 1

8cos5x − 8cos3x+ cosx= 1

Разложим нашу левую часть в произведение чисел, каждое из которых по модулю не больше 1.

cosx(8cos4x − 8cos2x+1)= 1

cosx(−8 cos2x(− cos2x+ 1)+1)= 1

По основному тригонометрическому тождеству получаем

cosx(−8cos2x sin2x+ 1)= 1

По формуле синуса двойного угла получаем

cosx(−2sin22x+ 1)=1

По формуле косинуса двойного угла получаем

cosxcos4x= 1

Так как $− 1≤ cosx ≤1$ и $− 1 ≤cos4x ≤1,$ то равенство возможно только в двух случаях

{ cosx= 1 { cosx= −1 cos4x= 1 или cos4x= −1

Рассмотрим систему

{ cosx= 1 cos4x= 1

Решим уравнение $cosx= 1.$ Получаем $x= 2πn, n∈ ℤ.$ Заметим, что эти решения также являются и решениями второго уравнения системы, поэтому для первой системы имеем $x =2πn, n ∈ℤ.$

Рассмотрим теперь вторую систему

{ cosx =− 1 cos4x= −1

Решим уравнение $cosx= −1.$ Получаем $x= π +2πn.$ Подставим эти решения во второе уравнение системы и получим $cos4(π +2πn)= cos(4π+8πn)= 1$ — противоречие. Значит, у второй системы нет решений.

Ответ:

$2πn,n∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#95853

Известно, что число $cos6∘$ является корнем уравнения

5 3 √- 32t − 40t + 10t− 3= 0.

Найдите остальные четыре корня этого уравнения.

(Ответы в задаче должны быть компактными выражениями, не содержащими знаков суммирования, многоточий и т.п.)

Источники: Межвед - 2021, 11.7 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте искать решение в виде t = cos(x). Подставим его в уравнение и попробуем преобразовать левую часть. Какими формулами можно воспользоваться, чтобы уменьшить показатели степени?

Подсказка 2

Вынесем 2cos(x) за скобки и с помощью формул понижения степени преобразуем левую часть уравнения.

Подсказка 3

После того, как мы понизим все степени до первой, можно будет преобразовать разность косинусов и раскрыть скобки!

Подсказка 4

-4sin(3x)sin(2x) + 2cos(x) = -2(cos(x) - cos(5x)) + 2cos(x). Какой вывод можно сделать из данной цепочки неравенств? Вспоминаем условие!

Подсказка 5

Найдите cos(5x), используя цепочку преобразований и правую часть!

Показать ответ и решение

Будем искать решение в виде $t= cosφ$ (на это намекнули в условии задачи). Получаем уравнение

5 3 √- 32cosφ − 40cos φ+ 10cosφ= 3.

Преобразуем его левую часть:

2 cosφ(16cos4φ − 20cos2φ +5)= [формулы понижения] = ( 2 ) = 2cosφ(4(1+cos2φ)− 10− 1)0cos2φ+ 5 = = 2cosφ 4cos22φ − 2cos2φ− 1 =2cosφ(2(1+ cos4φ)− 2cos2φ− 1) == 2cosφ(−4sin 3φ sinφ+ 1)= −4sin3φsin 2φ +2 cosφ = = −2(cosφ− cos5φ)+ 2cosφ =2cos5φ.

В итоге получили

- √3- cos5φ = 2

π 2πn φ =± 30 +-5-,n∈ ℤ

Поскольку у первоначального уравнения ровно пять действительных корней (по условию), то, чтобы их предъявить, достаточно взять какие-нибудь пять значений $φ$ , косинусы которых различны. Например,