Строим пример

И все! Не нужно объяснять, как мы придумали такой пример, достаточно его просто привести. Кстати, примеров в данном случае всего два: 100 и 1000000. Впрочем, иногда приводят еще и 3 (имея в виду, что в слове три ровно три буквы, но увы, цифра в записи только одна), а также 1000 (в смысле, ТЫЩА!).

Начнем с какой-нибудь тройки чисел, для которых среднее равно сумме двух крайних. Например, , так что рассмотрим числа 1, 3, 2. Какое число должно идти после 2? , так как . Далее будет , потом , а потом круг замкнулся. Итого, примером будут числа .

В принципе, мы могли начать почти с любой такой тройки чисел, например, с 3, 8, 5 или 2, 9, 7. Главное, чтобы все числа были различными, то есть 1, 1, 0 нам бы не подошла. И еще раз отметим, что для записи решения достаточно было бы сделать так:

Да можно, например, .

Зададимся вопросом: что озадачивает больше всего? Пожалуй, вот что: как два числа могут не делиться на третье, а их произведение — делиться? Один из примеров — взять два множителя и составить из них число, например, 2 и 3 не делятся на 6, а их произведение — делится! Однако числа 2, 3 и 6 не подходят, так как 6 делится на 2 и на 3. Значит, 2 и 3 надо домножить на такое число, которого нет в разложении шестерки — например, на 5. Окончательный пример — числа 6, 10 и 15.

Достаточно перевернуть сначала первые три, а потом последние три.

Например, 147.

Подумаем, как сделать площадь прямоугольника Пятачка побольше. Периметр в любом случае равен 12 (количеству палочек), и тогда размеры (в палочках) могут быть равны , и . Как видим, наибольшая площадь получается для квадрата (напомним, что квадрат — тоже прямоугольник!). А площадь Винни-Пуха может быть равна 8 в прямоугольнике — периметр при этом будет равен 18, как и должно быть.

Раз по всем вертикалях фишек поровну, то общее число фишек кратно 6. Если в горизонталях разное число фишек, то фишек не меньше чем . Наименьшее число, отвечающее обоим требованиям — 18, то есть в каждой вертикали по 3 фишки. После небольшого перебора можно получить ответ.

Да, например, суммы цифр номеров 159999 и 160000 делятся на 7.

Каждый футболист должен иметь возможность сделать прямолинейную передачу по земле всем остальным, кроме одного, то есть этого одного должен кто-то перегородить.

Например, 2100010006.

Приведем пример, как это могло случить. Рассмотрим первую пятерку инопланетян. Пусть их рост равен , , , и сантиметров. Остальные пятеро могут быть любого роста. Пусть Железный Человек выберет первых трех инопланетян. Тогда он даст банан третьему, то есть тому, у кого рост равен см. Пусть Капитан Америка выберет третьего, четвертого и пятого инопланетян. Среди них самый низкий — третий, то есть инопланетянин ростом см. Значит, банан от Капитана Америки тоже достанется ему.

Так как розы любят меньше всего, то и растут они дальше всех. Рядом с ними, по условию, должны расти ромашки. Получается, что два самых далёких места заняты ромашками и розами. На оставшихся трёх местах должны быть посажены лаванда, лютики и пионы. Из условия следует, что пионы должны быть ближе к дому, чем лаванда, а лаванда ближе, чем лютики. Посадить эти три цветка на три оставшихся места с соблюдением условия можно единственным образом — пионы, лаванда, лютики. Получается, что Марья Петровна посадила цветы в порядке: пионы, лаванда, лютики, ромашки, розы.

Заметим, что Саша приехал сразу за Колей. При этом Саша приехал раньше Богдана (а значит и Коля приехал раньше Богдана). Коля так же приехал раньше Маши. Значит, Коля приехал не первый, но раньше Саши, Богдана и Маши. Значит, Коля был второй, Саша — третий, Маша — четвертая, а Богдан — пятый, а Женя — первый.

Так как Артем провожал своего друга до остановки трамвая, то Артем не добирается домой на трамвае

	трамвай	автобус	пешком
Артем
Боря
Валя

Их третий друг крикнул из окна автобуса, что Боря забыл ноты. Значит, ни Артем ни Боря не ездят на автобусе

	трамвай	автобус	пешком
Артем
Боря
Валя

Из таблицы видно, что единственный, кто может ездить на автобусе — Валя, а единственный, кто может ходить пешком — Артем.

	трамвай	автобус	пешком
Артем
Боря
Валя

Значит, Валя не ездит на трамвае.

	трамвай	автобус	пешком
Артем
Боря
Валя

Поэтому Боря — единственный, кому остается ездить

	трамвай	автобус	пешком
Артем
Боря
Валя

Так как у Белы был сливочный напиток, а Виталина не брала ничего фруктового, фруктовый напиток мог достаться только Арине. Значит, и десертик у нее тоже фруктовый. Раз у Виталины не фруктовый напиток, а сливочный заняла Бела, напиток у Виталины шоколадный. Сливычный десертик не мог достаться Беле, так как только у Арины напиток и десертик совпали, значит, у Белы шоколадный десертик. Ну, а у Виталины десертик сливочный.

Чтобы число было наибольшим, оно должно начинаться с самой большой цифры, а дальше цифры должны идти по убыванию.

Занумеруем строки и столбцы числами от до начиная с нижней строки и левого столбца. Поставим ладьи в клетки Нетрудно проверить, что этот пример удовлетворяет условию.

Рассмотрим числа и . Они должны быть разных цветов. Посмотрим теперь на число . С одной стороны оно должно быть цвета, отличного от цвета , а с другой — не такого же цвета как и . Но такого быть не может так как цветов всего два — противоречие.

Не умаляя общности, можно считать, что , т.к. равенства быть не может.

. Далее всё зависит от знака .

Если , тогда т.к. , и . Но при таком условии , так что этот случай невозможен.

Если , то ответом может быть только . Осталось привести пример, вполне подойдёт .

Разобьем всех сначала на четвёрки: пара знакомых (скажем, Петя с Васей) и пара незнакомых (скажем, Оля с Полей). Если Оля с Петей знакомы, посадим за стол тройку Петя, Оля и Поля: у Оли будет знакомых и незнакомых поровну. Если Оля с Петей незнакомы, посадим за стол тройку Петя, Вася и Оля: у Пети будет знакомых и не знакомых поровну. Так мы всех детей разобьем на четверок; из каждой четверки выделим троих и посадим за один стол. Эти столов будут удовлетворять условию, а оставшихся детей мы всех усадим за один стол.