Тема 18. Задачи с параметром

18.14 Функции. Монотонность: f(x) ∨ g(x), f(x)↑, g(x)↓

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31666

Решите уравнение, используя свойства монотонной функции

−x 2 = lg(x+ 11)+ 1

Показать ответ и решение

Композиция функций разного характера монотонности — убывающая функция, следовательно, так как $y =− x$ — убывающая, $y = 2x$ — возрастающая, то $−x y = 2$ — убывающая. Функция $y = lg(x+ 11)+ 1$ возрастающая. Уравнение вида $f(x)= g(x)$ , где одна функция убывает, а другая возрастает, имеет не более одного решения. Подбором убеждаемся, что это $x= −1.$

Ответ:

$x ∈{−1}$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#31554

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых все решения уравнения

1−x2−2ax−2a |x+-a|+-5|a−-1| 3 = log3 2|a− 1|

принадлежат отрезку $[−3;0]$ .

Показать ответ и решение

Так как

2 2 2 2 2 2 1− x − 2ax − 2a= −(x + 2ax +a )+a − 2a+ 1= −(x+a) + (a − 1),

то после замены $t= x+ a$ , $b= a− 1$ получаем

b2−t2 |t|+-5|b| 3 = log3 2|b|

Заметим, что $|b|⁄= 0$ , то есть $b⁄= 0$ . Будем далее это учитывать.

Так как

x∈ [− 3;0] x+ a∈ [−3 +a;a] t∈[b− 2;b+ 1]

то уравнение с $t$ должно иметь решения, принадлежащие отрезку $[b− 2;b+ 1].$

Пусть $f(t)=3b2−t2$ , $g(t)= log3 |t|+2|5b||b|$ . Заметим, что обе функции четные, так как $f(−t)= f(t)$ , $g(− t)= g(t)$ . Следовательно, если у уравнения есть решение $t0$ , то у него также есть решение $− t0$ . Заметим также, что при $t≥0$ : функция $y =f(t)$ убывающая (так как является композицией возрастающей функции $y = 3t$ и убывающей $y =− t2+ b2$ ), функция $y = g(t)$ является возрастающей (как композиция двух возрастающих функций $y = log3t$ и $y = t+52||b|b|$ ), следовательно, уравнение $f(t)= g(t)$ при $t≥0$ имеет не более одного корня. Подбором находим, что $t= |b|$ является решением этого уравнения. Следовательно, $t=− |b|$ также является решением этого уравнения. Значит, нужно, чтобы

({ |b|≤b +1 b− 2≤ −|b|≤|b|≤ b+ 1 ⇔ ( ⇔ − 1 ≤b ≤1 −|b|≥ b− 2 2

Так как $b⁄= 0$ , то

( 1 ( 1 {− 2 ≤ b≤1 ⇒ { 2 ≤ a≤ 2 (b⁄= 0 (a ⁄=1

Ответ:

$a ∈[0,5;1)∪ (1;2]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#31673

Решите уравнение, используя свойства монотонной функции

2 (√----- √ ----) x − x +2 = 2 x +7 − x− 1

Показать ответ и решение

Рассмотрим область определения уравнения

({ x+ 7≥ 0 ⇔ x ≥1 (x− 1≥ 0

При $x≥ 1$ функция $2 y = x +x − 2$ возрастает (так как мы получаем правую часть ветви параболы, функции $√ - y = x$ , $y = x− 1$ и $y =x +7$ также возрастающие, композиция возрастающх — возрастающая функция. Так как характер монотонности правой части определить невозможно, ибо она представлена в виде разности возрастающих, сделаем следующее: умножим и разделим левую часть на положительное $√---- √---- x +7 + x − 1$ :

x2 − x+ 2= √---16√----- x+7 + x− 1

Функция $f(x)= √x-+7+ √x-− 1$ возрастающая и положительная на области определения, следовательно, $y = f1(x)$ — убывающая. Следовательно, уравнение имеет вид $g(x)= f(1x)$ , где слева – возрастающая, справа – убывающая. Уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что $x = 2.$

Ответ:

$x ∈{2}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#31674

Решите неравенство, используя свойства монотонной функции

x 1 3 − 7> 4x

Показать ответ и решение

Функция $f(x)= 3x− 7$ — возрастающая. Функция $g(x)= 41x$ — убывающая на $x < 0$ и убывающая на $x> 0$ . Изобразим графики для большего понимая:

$PIC$

Нам подходят те значения переменной, при которых график $f(x)$ находится выше графика $g(x)$ . Это все $x >x0$ , где $x0$ — точка пересечения. Подбором находим, что $x0 =2.$

Ответ:

$x ∈(2;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#897

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

2 √ ------ 2 a-- x − 1 + 5x − 9x + 3a + 8 = x

имеет ровно одно решение.

Показать ответ и решение

Рассмотрим семейства функций $√ ------ 2 fa(x) = x − 1 + 5x2 − 9x + 3a + 8, ga(x) = a-- x$ .

ОДЗ уравнения: $x ≥ 1$ . При этих $x$ :

Функция $√------ y1 = x − 1$ является строго возрастающей. Графиком функции $y2 = 5x2 − 9x$ является парабола, вершина которой находится в точке $-9- x = 10$ . Следовательно, при всех $x ≥ 1$ функция $y2$ также строго возрастает (правая ветвь параболы). Т.к. сумма строго возрастающих функций есть строго возрастающая, то $f (x ) a$ – строго возрастает (константа $3a + 8$ не влияет на монотонность функции).

Функция $2 g (x ) = a-- a x$ при всех $x ≥ 1$ представляет собой часть правой ветви гиперболы и является строго убывающей.

Решить уравнение $fa(x ) = ga(x )$ — значит найти точки пересечения функций $f$ и $g$ . Из их противоположной монотонности следует, что уравнение может иметь не более одного корня.

При $x ≥ 1$ $fa(x ) ≥ 3a + 4, 0 < ga(x) ≤ a2$ . Следовательно, уравнение будет иметь единственное решение в том случае, если:

$PIC$

2 3a + 4 ≤ a ⇒ a ∈ (− ∞; − 1] ∪ [4;+ ∞ )

Ответ:

$a ∈ (− ∞; − 1] ∪ [4;+ ∞ )$ .