Тема Математический анализ

17 Пределы последовательностей

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела математический анализ

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#34414

Найти:

a) $2 lim −166nn3++5100nn2++32n n→ ∞$
b) $202√3n2022⋅sin(n!) nl→im∞ -----5n+1-----$
c) $--(−-2)n+3n-- nli→m∞ (− 2)n+1+3n+1$
d) $lim (5 − 161n)⋅ 220nn++144 n→ ∞$
e) $40n333−40n9+n3- 30n11+60n2+120n --n99--- nli→m∞ 10n333 + 15n11−4n2 − n100−5n88$
f) $lim 2nn! n→ ∞$

Показать ответ и решение

a) Мы имеем классический пример отношения многочленов. Поведение такой последовательности определяется старшими степенями числителя и знаменателя. У числителя в нашем случае старшая степень $2,$ а у знаменателя $3.$

Значит, поскольку знаменатель стремится к бесконечности быстрее числителя, то у нас рождается гипотеза, что $lim -16n2+10n+3--= 0. n→ ∞ −6n3+50n2+2n$ Попробуем её доказать, поделив на этот старший член $n3$ :

16n2 + 10n + 3 16+ 102 +-33 0 ----3------2-----= n----n50--n2-→ --- = 0 − 6n + 50n + 2n − 6 + n + n2 − 6

Последний предельный переход у нас получается в силу теоремы о пределе частного (числитель стремится очевидно к $0,$ а знаменатель - к минус $6.$ Значит, вся дробь стремится к $-0-= 0 − 6$

b) Немного преобразуем наше выражение, разделив вновь всё на старшую степень среди всех степеней, встречающихся в дроби. В данном случае делить будем на $n$ :

202√3----- −-1- ----n2022 ⋅sin(n!)= n-2023-⋅sin(n!)-= --√-sin(n!)---- 5n + 1 5+ 1n 2023n ⋅(5+ 1n)

Итак, мы имеем произведение ограниченной последовательности $sin(n!)$ на бесконечно малую $-2023√n1⋅(5+-1) n$ (она бесконечно мала, т.к. подпадает под Пример 4 из раздела Последовательности и их пределы - это по сути константа, делённая на бесконечно большую последовательность $√ -- 2023n ⋅(5+ 1n).$ )

Таким образом, наша последовательность $-2023√n25n02+21⋅sin(n!)$ стремится к $0,$ т.к. является произведением бесконечно малой на ограниченную.

c) Здесь нужно просто поделить на выражение с максимальным основанием степени, то есть на $n+1 3$ (или на $n 3$ - это тоже сработало бы). Выполним указанное преобразование и получим:

(− 2)n + 3n 1⋅(−-2)n + 1 1 ⋅0+ 1 1 -----n+1---n+1-= 3--23n+1---3-→ 3------3 → -- (− 2) + 3 (− 3) + 1 0+ 1 3

Здесь мы воспользовались утверждением о пределе отношения и о том, что любая последовательность вида $n q ,$ где $|q| < 1$ стремится к $0.$

d) Воспользовавшись теоремой о пределе произведения, получим, что первый сомножитель стремится к $5,$ второй - к $10$ (достаточно там и числитель и знаменатель поделить на $n$ ), а, значит, всё произведение стремится к $5⋅10 = 50.$

e) Здесь надо сначала воспользоваться теоремой о пределе частного для каждого из трёх отдельных слагаемых, а затем теоремой о пределе суммы.
Итак, первое слагаемое (это видно, если поделить и числитель и знаменатель на $n333$ ) стремится к $4010-= 4.$ Второе слагаемое, в свою очередь, стремится к $3105 = 2.$ А третье и вовсе бесконечно мало, так как там степень числителя на единичку меньше степени знаменателя.
Итого, предел суммы трёх дробей равен $4 + 2 = 6$

f) Понятно, что $2n$ должно расти медленнее, чем $n!,$ поскольку $2n$ - это произведение $n$ двоек, а $n!$ - это произведение $n$ чисел, которые почти все больше двойки. Попробуем теперь превратить эту идею в аккуратное доказательство:
Во-первых, идея наша здесь будет в том, чтобы оценить сверху нашу последовательность $2n n!$ чем-то, что заведомо стремится к $0.$ И вот как мы это сделаем.

2n- 2⋅2-⋅2-⋅...⋅-2 2- ---2⋅...⋅2--- 2- 2- 2- 2- 2- 2- -2 2- 2- 4- n! = 1 ⋅2⋅...⋅n = 1 ⋅2⋅...⋅(n − 1) ⋅ n = 1 ⋅n ⋅2 ⋅3 ⋅4 ⋅n < 1 ⋅n ⋅1 = n

Поясним переход с неравенством: мы заменили все серединные члены в дроби $2⋅2⋅2⋅...⋅2, 1⋅2⋅...⋅n$ то есть члены вида $2⋅.2..⋅.⋅(..⋅n2−1)$ на $1,$ от чего произведение, разумеется, увеличилось, потому что все эти члены, как легко видеть, меньше $1$ (в числителях у нас стоят одни двойки, а в знаменателях - числа от $1$ до $n$ ).

Таким образом, мы получили, что, $2n n! < αn,$ где $4 αn = n → 0.$ Значит, и наша последовательность $2n n!$ стремится к $0.$

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#34415

a) Пусть $xn$ - последовательность, которая имеет предел, $yn$ - последовательность, которая не имеет предела. Что можно сказать тогда о пределе последовательности $xn + yn$ ? А о пределе последовательности $xn ⋅yn$ ? ;

b) Пусть $x n$ и $y n$ - последовательности, не имеющие предела. Что можно сказать тогда о пределе последовательности $xn + yn$ ? А о пределе последовательности $x ⋅y n n$ ? ;

Показать ответ и решение

a) Начнём с последовательности $xn + yn$ . Обозначим её за $zn$ . То есть $zn = xn + yn$ . Утверждается, что в таком случае $zn$ никогда не будет иметь предела.

А именно, будем рассуждать от противного. Пусть $zn$ - имеет предел. Но тогда $yn = zn − xn$ . Тогда $zn$ имеет предел по предположению, $xn$ имеет предел по условию, следовательно, по теореме о пределе суммы, $z − x n n$ - тоже должна иметь предел. Но $y = z − x n n n$ по условию предела не имеет. Получили противоречие. Следовательно, наше предположение было ошибочно, и $zn = xn + yn$ никак не может иметь предела.

Далее, пусть $p = x ⋅y n n n$ . Тут уже не всё так однозначно.

Если предположить, что $xn$ имеет предел, который не равен нулю, то тогда произведение $pn = xn ⋅yn$ совершенно точно не будет иметь предела.

Действительно, если бы он существовал, то тогда существовал бы и предел последовательности $pn- xn$ по теореме о пределе частного (здесь мы пользуемся явно тем, что знаменатель не стремится к нулю).

Однакого этого не может быть по предположению, коль скоро

pn-= y xn n

Если же ничего не известно о том, к чему сходится $xn$ , к нулю или нет, то ничего заранее сказать нельзя. А именно, такое произведение может как сходиться, так и расходиться (постройте соответствующие примеры!).

b) В данном случае сумма $xn + yn$ может как иметь, так и не иметь предел. Например, если $n xn = (− 1)$ , $n+1 yn = (− 1)$ , то нетрудно понять, что их сумма $n n+1 zn = xn + yn = (− 1) + (− 1) = 0$ , то есть сумма - это константная последовательность, равная всё время нулю, следовательно $zn → 0$ .

С другой стороны, если взять $n xn = (− 1)$ , $n yn = xn = (− 1)$ , то $n zn = xn + yn = 2⋅(− 1)$ , и она предела не имеет, колебаясь всё время между 2 и $− 2$ .

А что с произведением? То же самое. Произведение $xn ⋅yn$ тоже может как иметь, так и не иметь предела.

Например, если $xn = n$ , $yn = n$ , то их произведение $xn ⋅yn = n2$ - не имеет предела, поскольку даже неограничена. В то же время если $x = y = (− 1)n n n$ , то их произведение равно $(− 1 )2n$ - эта последовательность всегда равна единице, а, значит, сходится.

Ответ:

a) Сумма заведомо не имеет предела, произведение почти никогда не имеет предела;
b) Cумма может как иметь предел, так и не иметь, произведение - тоже может как иметь, так и не иметь.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#34416

a) Привести пример неограниченной последовательности, у которой есть ограниченная подпоследовательность.
b) Привести пример последовательности, у которой нет ограниченной подпоследовательности.

Показать ответ и решение

a) Возьмём, например, последовательность $( { n2 п ри чётных n xn = ( sinn п ри нечётных n$

Ясное дело, что наша последовательность $xn$ - неограничена, так как по чётным своим номерам она равна $n2,$ то есть неограниченно растёт.

Однако, по нечётным номерам у нас есть ограниченная подпоследовательность $ξ = x = sin(2n− 1), n 2n− 1$ т.к. функция $sinx$ - ограничена.

b) Возьмём, например, последовательность $xn = n$ . Понятно, что у неё нет ограниченной подпоследовательности, поскольку наша $xn$ - это просто занумерованный натуральный ряд, и любая подпоследователньость $xn$ - это тоже какой-то бесконечный кусок натурального ряда, который ничем не может быть ограничен.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#34417

У нас было утверждение о том, что последовательность $an$ стремится к $0$ тогда и только тогда, когда она по модулю стремится к нулю (т.е. $|an| → 0$ ).
Показать, что это верно только для стремления к $0,$ т.е. найти такую последовательность $an,$ что $∃ lni→m∞ |an|,$ однако $/∃nli→m∞ an.$

Показать ответ и решение

Подойдёт, например, излюбленная нами уже последовательность $xn = (− 1)n.$ Мы уже доказали, что сама она предела не имеет. Однако $|xn| ≡ 1$ - константная последовательность, всегда, при любом $n ∈ ℕ$ равная $1.$ То есть она, конечно, сходится к $1.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#34418

Пусть известно, что $∃ lim xn = A n→ ∞$ , $A ⁄= 0$ . Что можно тогда сказать о пределе последовательности $xn+1 yn = xn$

Показать ответ и решение

Ясно, что если $xn → A$ и $A ⁄= 0$ , то и $xn+1 → A$ (нет никакой разницы, начали мы идти с первого члена или со второго, всё равно если $xn$ стремилась к $A,$ то и $xn+1,$ полученная отбрасыванием первого члена последовательности $xn,$ будет тоже стремиться к $A$ ).

Ну а теперь, поскольку $A ⁄= 0,$ мы можем применить наше предложение о пределе частного: $y = xn+1 → A-= 1, n xn A$ т.к. и числитель и знаменатель стремятся к $A.$

Таким образом, мы показали, что $y → 1. n$

Ответ:

Он существует и равен $1$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#34443

Докажите, что если $∃ lnim→∞ xn = α,$ $∃ lnim→∞ yn = β$ и нам дано, что $α > β,$ то есть пределы у них разные (ясно, что можно считать, что предел у $xn$ больше), то обязательно найдётся такое $N ∈ ℕ.$ что при всех $n > N$ будет выполнено, что $xn > yn$ .

Показать ответ и решение

Всё, что здесь нужно сделать - это отделить пределы $α$ и $β$ непересекающимися окрестностями.
И правда, каждая из последовательностей $x n$ и $y n$ попадёт, начиная с какого-то своего номера в соответствующую окрестность своего предела (это следует из определения предела), и, раз окрестности не пересекаются, а $α > β$ по условию, то и окрестность $B 𝜀(α )$ будет целиком лежать правее, чем $B 𝜀(β).$
Осталось лишь понять, каким нужно взять $𝜀,$ чтобы окрестности чисел $α$ и $β$ не пересекались.
Ясно, что если за $d$ обозначить расстояние (оно положительно, т.к. числа $α$ и $β$ - разные) между $α$ и $β,$ то есть $d = |α − β|,$ то в качестве $𝜀$ сгодится, например, число $d2$ (или $d$ можно поделить и на что-нибудь побольше, скажем, для уверенности взять $d10$ ).
Тогда понятно, что окрестности такого радиуса точно пересекаться не будут.

Но тогда из определения того, что $∃ lim xn = α, n→∞$ $∃ lim yn = β n→∞$ следует, что:
1. $∃N1 ∈ ℕ$ такое, что при всех $n > N1$ все члены $xn ∈ B𝜀(α).$
2. Аналогично, $∃N2 ∈ ℕ$ такое, что при всех $n > N2$ все члены $yn ∈ B 𝜀(β ).$
Значит, при $N = max{N1,N2 }$ мы получим, что при всех $n > N$ выполняются оба условия $1$ и $2.$
А, значит, все члены $x n$ оказываются в более правой окрестности, чем все члены последовательности $yn$ начиная с этого номера $N.$ Следовательно, при всех $n > N$ выполнено, что $xn > yn.$ Что и требовалось доказать.

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#34732

Найти предел последовательности

√----- √ -- π ⋅n nl→im∞ ( 3n + 2 − 3 n)⋅13 cos(----) 3

Показать ответ и решение

Мы видим, что наша последовательность представлена в виде произведения:

√ ----- √-- π ⋅n √----- √ -- π ⋅n ( 3n + 2 − 3n )⋅13cos(----) = yn ⋅zn, где yn = ( 3n + 2 − 3 n),zn = 13 cos(-). 3 3

Рассмотрим сначала последовательность $yn.$ Когда мы сталкиваемся с подобными выражениями, то есть с выражениями, содержащими корни, мы тут же должны попробовать домножить и поделить на сопряженное, поскольку очень часто это упрощает дело.

В данном случае, нам нужно сопряженное к кубическим корням, то есть нужно вспомнить школьную формулу разности кубов: $a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab+ b2).$ В нашем случае $√ ----- a = 3n + 2,$ $√ -- b = 3n.$ Таким образом, нам по идее должно помочь домножение и деление на

-------- -------- --- 3∘ (n+ 2)2 + 3∘ (n+ 2)n + √3n2

Итак, наша $yn$ тогда преобразуется к виду:

√ ----- √ -- ∘ -------- ∘ -------- √ --- 3√ ----- √3-- (-3n-+-2−--3n)(-3(n-+-2)2 +-3(n-+-2)n-+-3-n2) n+ 2− n = ∘3(n-+-2)2 + ∘3(n-+-2)n + 3√n2- =

√3----- √ -- = ∘----(--n-+-2∘)3 −-(-3n)3-√---= ∘-----------∘2----------√---- 3 (n+ 2)2 + 3 (n + 2)n+ 3n2 3 (n+ 2)2 + 3 (n+ 2)n + 3n2

Таким образом, нетрудно видеть, что числитель $yn$ - это константа, а знаменатель стремится к $+ ∞,$ значит, $yn$ обязана стремиться к $0.$

В свою очередь, $zn$ является ограниченной последовательностью, поскольку она пробегает по некоторым значениям ограниченной функции $cosx,$ умноженной на $13.$ То есть, можно сказать, что $zn$ заведомо ограничена сверху числом $13,$ а снизу $− 13.$
Тем самым, наша исходная последовательность

(√3n--+-2− 3√n-)⋅13cos(π-⋅n) 3

является произведением бесконечно малой $yn$ на ограниченную $zn,$ тем самым, она бесконечно малая. То есть, $√3----- √3-- π⋅n- nli→m∞( n + 2− n) ⋅13cos( 3 ) = 0.$

Ответ:

$0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#34735

Найти предел последовательности:
$-11 20n+1 lnim→∞ (5− 6n) ⋅2n+44.$

Показать ответ и решение

Понятно, что нашу последовательность можно представить в виде $(5− 161n) ⋅ 220nn++414 = an ⋅bn,$ где $11 an = (5 − 6n),$ $20n+1 bn = 2n+44.$

Нетрудно видеть, что $an$ является разностью константы $5$ и бесконечно малой $11 6n,$ следовательно, $an → 5.$
Последовательность $b , n$ в свою очередь, стремится к $10,$ поскольку $b = 20n+1-поделил=и на n20+-1n. n 2n+44 2+ 4n4$
И уже видно, что числитель $bn$ стремится к $20,$ а знаменатель стремится к $2.$ Значит, по теореме о пределе дроби, наша дробь $b n$ стремится к $20 = 10. 2$
Тем самым, исходная последовательность $(5− 611n )⋅ 220nn++414$ по теореме о пределе произведения стремится к произведению пределов $a n$ и $b , n$ то есть к $5 ⋅10 = 50.$ Значит, $lim (5− 1n1)⋅ 20n+1 = 50. n→∞ 6 2n+44$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#34750

Найти предел последовательности:
$40n333−40n9+n3 30n11+60n2+120n- ---n99-- lnim→∞ 10n333 + 15n11−4n2 − n100− 5n88.$

Показать ответ и решение

Рассмотрим наши три слагаемых по-отдельности: $40n3331−0n4303n39+n3-= an,$ $30n1115+n6110n−2+4n1220n = bn,$ $---n99-- n100−5n88 = cn.$
Понятно, что $-40- -1-- an поделили на n= в степени 33340−n324+n330-. 10$ И, тем самым, $an → 40 = 4 10$ по теореме о пределе отношения.

По аналогичным причинам, второе слагаемое $bn$ стремится к $2$ (достаточно там разделить на $11 n$ ). А третье слагаемое $cn$ вообще стремится к $0.$ (делим на $n99$ ). Тем самым, по теореме о пределе суммы, $40n333−40n9+n3- 30n11+60n2+120n --n99--- nli→m∞ 10n333 + 15n11− 4n2 − n100−5n88 = 4+ 2 + 0 = 6.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#34751

Пусть нам дано, что последовательность $xn$ сходится к $4,$ а последовательность $yn$ сходится к $10.$ Что можно сказать тогда о сходимости последовательности $(xn)3 zn = (yn)6?$

Показать ответ и решение

Во-первых, сделаем немаловажное замечание, что на последовательность $yn$ можно, начиная с какого-то момента, законно делить. То есть, $∃N ∈ ℕ$ такое, что при всех $n > N$ последовательность $yn$ отделена от нуля, в данном случае она будет строго больше $0.$ Это то, что мы называли свойством сохранения знака сходящейся последовательности.
Действительно, если $yn$ сходится к $10,$ то начиная с какого-то момента она вся попадает, скажем, в $0,5−$ окрестность числа $10,$ то есть в интервал $(9,5;10,5).$ И уж тем более она тогда будет больше $0.$

А теперь перейдём к самому примеру. Итак, раз $xn → 4,$ то $(xn)3 = xn ⋅xn ⋅xn$ по теореме о пределе произведения обязана сходиться к $4⋅4 ⋅4 = 64.$
Абсолютно аналогично, по теореме о пределе произведения, если $yn → 10,$ то $(yn)6 → 106.$

Значит, по теореме о пределе дроби, $64 1 zn → 106 = 15625.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#34752

Найти предел последовательности или доказать, что конечного предела не существует:
$3n2+n−18−-6n lnim→∞ n2− 6 .$

Показать ответ и решение

Формально мы имеем дело с неопределённостью вида $++-∞∞.$ Нашим ранее излюбленным приёмом всегда было в таких случаях делить на максимальную степень $n$ числителя и знаменателя, т.е. в данном случае - на $n2.$

Но существует ещё один очень красивый способ, который будет играть очень важную роль и при вычислении пределов функций, поэтому продемонстрируем его и здесь.
Способ этот состоит в том, чтобы слегка преобразовать числитель, разложив его на множители так, чтобы один из множителей сократился со знаменателем. А именно, нетрудно понять, что $3n2 + n − 18− 6n = (n2 − 6)(3+ 1n).$
И, таким образом, наш предел преобразуется как:

2 6 2 1 lim 3n--+-n−-18-−-n-= lim (n--−-6)(3+-n-)= lim 3+ 1-= 3. n→ ∞ n2 − 6 n→∞ n2 − 6 n→ ∞ n

Хотя и не совсем очевидно, как догадаться до такого разложения числителя (но с опытом этот навык легко прокачивается), зато такой способ решения куда короче и элегантнее.

Ответ:

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#35676

Найти $a = lim xn n→∞$ и определить номер $N (𝜀)$ такой, что $|xn − a| < 𝜀$ при всех $n > N (𝜀),$ если:
a) $xn = 0,3333...3$ ( $n$ троек в десятичной записи), $𝜀 = 0,001$ ;
b) $√n2+1- xn = n$ , $𝜀 = 0,005$ ;
c) $xn = 1n sin π2n$ , $𝜀 = 0,001$ ;
d) $x = 5n2+1 n 7n2−3$ , $𝜀 = 0,005.$

Показать ответ и решение

a) Представим для удобства нашу последовательность в виде $xn = ( 310)n$ (понятно, что это одно и то же, что и было в исходном условии). Но тогда $xn → 0,$ потому что какое бы $𝜀 > 0$ нам ни дали, мы всегда можем найти такое $N = N (𝜀),$ что при всех $n > N(𝜀)$ будет $|xn| < 𝜀.$
А именно, достаточно в последнем неравенстве просто выразить $n$ : $|(130)n| < 𝜀 ⇔ n > log 3-𝜀. 10$
Значит, в нашем случае достаточно взять $N$ равный целой части, округлённой вверх, от числа $log 3 0,001. 10-$
b) Поделим и числитель и знаменатель на $n$ и получим: $∘----- √n2+1- -1+-1n2- xn = n = 1 .$ А теперь видно, что и числитель и знаменатель стремятся к $1.$ Значит, по теореме о пределе дроби, имеем, что $√n2+1- 1 n → 1 = 1.$
Чтобы найти такое $N,$ которое нас просят, достаточно в неравенстве $∘ ---1- --1+n2 < 𝜀 1$ выразить $n.$
Попробуем: $∘ ------ ∘ ----- 1 + 1-< 𝜀 ⇔ 1+ 1-< 𝜀2 ⇔ 1-< 𝜀2 − 1 ⇔ n2 >--1- ⇔ n > -1--. n2 n2 n2 𝜀2−1 𝜀2− 1$ Значит, в качестве $N (𝜀)$ возьмём округлённую вверх целую часть от $∘ ----- 𝜀21−1.$ В нашем случае это будет $∘ --------- (0,0105)2−1.$
c) Видно, что у нас произведение бесконечно малой $1n$ на ограниченную сверху и снизу единицей $πn sin 2 .$ Тогда по теореме о том, что произведение бесконечно малой на ограниченную - бесконечно малая. Таким образом, $xn = 1n sin πn2 → 0.$
Ну а раз $sin πn 2$ ограничена сверху единицей, а снизу минус единицей, то значит в качестве $N (𝜀)$ мы берём то, которое годилось и для $1n,$ то есть целую часть от $1𝜀,$ округлённую вверх. В нашем случае это будет $--1- 0,001$
d) Поделим и числитель и знаменатель на $n2$ и получим, что $-1 xn = 5n22+1 = 5+n23-→ 5 7n −3 7−n2 7$ (по теореме о пределе отношения). А поскольку числитель наших дробей (после деления на $2 n$ ) меньше, скажем, $6,$ то: $-1 5+n23-< --63-. 7−n2 7− n2$ И если мы хотим вот это последнее выражение сделать меньше любого $𝜀,$ то достаточно опять выразить в неравенстве $7−63-< 𝜀 ⇔ 6𝜀 < 7− n32 ⇔ 3n2 < 7− 6𝜀 n2$
$3 ∘ --3- ⇔ n2 > 7−-6-⇔ n > 7− 6. 𝜀 𝜀$ нашем случае это будет $∘ ---3--- 7−--6--. 0,005$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#36589

Найти $lim 2n√5 n→∞$

Показать ответ и решение

Преобразуем слегка выражение: $2n√5 =eln(2n√5) = eln(521n) = e 12n-ln5$

Далее, при $n→ + ∞$ показать экспоненты, то есть $1- 2n ln5$ очевидно стремится к 0, т.к. это произведение бесконечно малой $1- 2n$ на константу $ln5.$

Значит, раз показатель экспоненты стремится к 0, то вся экспонента стремится к $0 e =1.$ Тем самым, $2n√ - nl→im∞ 5= 1.$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#36590

Найти

√ -- ∘ --------------- nli→m∞ n n − n(n+ 1)(n + 2)

Показать ответ и решение

Преобразуем слегка выражение:

√ -- ∘ --------------- (n√n-− ∘n-(n+--1)(n-+-2))(n √n-+ ∘n--(n-+-1)(n-+-2)) n n− n(n + 1)(n + 2) = --------------√-----∘-----------------------------= (n n + n(n + 1)(n+ 2))

2 = --√----−∘-n(3n+--2)-------= --√----−∘-3n--−-2n-------- (n n+ n(n+ 1)(n + 2)) (n n+ n (n+ 1)(n + 2))

Давайте теперь разделим числитель и знаменатель на $n2$ :

2 2 --√-----−∘ 3n-−-2n-------- = -----−∘ 3-−-n-----= (n n + n(n + 1)(n + 2)) √1-+ n2+33n+2) n n

2 -----∘− 3-−-n------ = √1- 1 3- -2 n + n + n2 + n3

Нетрудно видеть, что в знаменателе все члены при $n → + ∞$ стремятся к $0.$ При этом числитель у нас отрицательный и стремится к $− 3.$ Значит, все дроби стремятся к $− ∞$ (поскольку мы отрицательное число $− 3$ делим на всё меньшие и меньшие числа, стремящиеся к 0.)

Итого: предела у $√-- ∘ --------------- n n − n(n + 1)(n+ 2 )$ не существует, а именно, $n √n-− ∘n-(n-+-1)(n+-2-) → − ∞$

Ответ:

Нет предела.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#37226

Вычислить предел

√n3-+-1-− √n--+-1 nli→m∞ √3-3------√------ n + 1− n + 1

Показать ответ и решение

Давайте поделим всё (и числитель и знаменатель дроби) на максимальную степень $n,$ входящую и в числитель и знаменатель, в данном случае это будет $3 n 2$ - первый член числителя. Итак, получается:

------ √n3 + 1 − √n-+-1 3√--3------√------= n + 1 − n + 1

∘ ------ ∘ -------- 1 + -1 − -1 + 1- = -------n3----∘n2---n3-- ∘3 1--+ -1-− -1 + -1 n32 n92 n2 n3

Нетрудно заметить, что числитель стремится к 1, а в знаменателе стоят одни сплошные бесконечно малые, значит, у нас по сути случай $C-- αn,$ где $αn → 0.$ Значит, $√---- √---- 3√n33+1−√n+1-→ ∞ n +1− n+1$ при $n → ∞$ . Значит, у этой последовательности предела нет.

Ответ:

Нет предела.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#37251

Найти

∘3------ 3∘ ------ lnim→∞ n2( 5 + n3 − 3+ n3 )

Показать ответ и решение

Чтобы избавить от не очень приятных корней третьей степени, давайте, вспомнив школьную формулу разности кубов $3 3 2 2 a − b = (a− b)(a + ab + b )$ домножим и разделим наше выражение на

3∘ ------ ∘3------∘3------ ∘3 ------ ( 5 + n3)2 + 5 + n3 3 + n3 + ( 3+ n3)2

Тогда будем иметь:

3∘ ------ ∘3 ------ n2(√35-+--n3 − √33-+-n3)((√35--+-n3)2 + √35-+-n3 3√3-+-n3-+ ( 3√3-+-n3)2) n2( 5 + n3− 3+ n3) = -------------3√-----3-2---3√-----3√3-----3---√3-----32------------ = ( 5 + n ) + 5 + n 3+ n + ( 3+ n )

2 3 3 2 = -√3---------n√(35+-n--−3√-3−-n--)--3√-------- = -3√-----------3√-----2n√3---------√3-------- ( 5+ n3)2 + 5+ n3 3 + n3 + ( 3 + n3)2 ( 5+ n3)2 + 5+ n3 3 + n3 + ( 3 + n3)2

Далее, чтобы понять, к какому выражению стремится наша дробь, разделим и числитель и знаменатель на максимальную степень $n,$ которая входит и в числитель и в знаменатель. В данном случае делить будем на $n2$ :

2n2 2 -3√------32---3√-----3√3-----3---√3-----3-2 = 3∘-(5+n3)2---∘--------√3--------∘3-(3+n3)2-= ( 5+ n ) + 5+ n 3 + n + ( 3 + n ) --n6-- + 3n56 + n13 3 + n3 + --n6--

2 = 3∘-25+10n3+n6---∘--15----5----3------∘3-9+6n3+n6-= ----n6----+ 3n6 + n3 + n3 + 1+ ---n6---

= ∘--------------∘--------2-----------∘------------ 3-25 + 10 + 1+ 3 15+ 5-+ -3 + 1+ 3 9-+ 6-+ 1 n6 n3 n6 n3 n3 n6 n3

Нетрудно заметить, что в знаменателе стоит сумма трёх слагаемых, каждое из которых стремится к $√ -- 3 1,$ то есть к 1. Значит, получаем по теореме о пределе частного, что $2 √3-----3 √3-----3 -∘---------∘-----2-------∘--------- 2 ∃ lnim→∞ n ( 5 + n − 3 + n ) = ln→im∞ 3-256+ 103+1+3 156+ 53+ 33+1+ 3-96+ 63-+1 = 3 n n n n n n n$

Ответ:

$23$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#37252

Верны ли следующие утверждения для последовательности $xn = n + 1n :$

1. $∀𝜀 > 0 ∃N ∈ ℕ ∀n > N : |xn − 2| < 𝜀$
2. $∃𝜀 > 0 ∃N ∈ ℕ ∀n > N : |xn − 2| < 𝜀$
3. $∃𝜀 > 0 ∃N ∈ ℕ ∃n > N : |xn − 2| < 𝜀$
4. $∀C ∈ ℝ ∃N ∈ ℕ ∀n > N : |xn| > C$
5. $∀n ∈ ℕ : xn < xn+2$
6. $∃C > 0 ∀n ∈ ℕ : |xn| < C$

Показать ответ и решение

1. Здесь фактически записано то, что последовательность $xn$ стремится к числу 2. Но это, очевидно, неверно, поскольку $xn$ вообще неограниченно возрастает. Никакого предела у неё, тем самым, нет. Утверждение ложно.

2. Это хотя и ослабленное относительно пункта 1 утверждение, но оно всё ещё неверно. Никакой указанной в условии $𝜀$ -окрестности у числа 2 не может найтись. То есть, в условии сказано, что начиная с какого-то момента все члены последовательности $xn$ должны в эту $𝜀$ -окрестность попадать. Однако, мы для любого фиксированного $𝜀0$ всегда можно подобрать такое $N,$ что $|xN − 2| > 𝜀0 ⋅1000000.$ Это всё потому, что $xn,$ как видно, неограниченно возрастает (это сумма бесконечно малой $1n$ и неограниченно возрастающей $n$ к $+ ∞$ )

3. Когда у нас одни сплошные кванторы существования, то утверждение становится очевидно верным. Возьмём $𝜀 = 1000000000,$ $N = 1,$ $n = 2$ (оно явно больше, чем $N$ ). Тогда, конечно, всё будет выполнено, поскольку $1 5 xn = x2 = 2 + 2 = 2$ и тогда ясно, что истинно утверждение $|x2 − 2| < 1000000000,$ то есть $|52 − 2| < 1000000000.$

4. Это как раз и означает, что наша последовательность $xn,$ условно говоря, стремится к $+ ∞.$ Как это показать?
Ну, пускай нам дают какое-то $C > 0.$ Как найти тот момент ( $∃N ∈ ℕ$ ), начиная с которого ( $∀n > N$ ) наша последовательность по модулю будет всегда больше $C$ ( $|xn| > C$ )? Давайте попробуем решить неравенство $|xn| > C$ относительно $n$ :

∘ ------ n+ -1> C При C⇔ ≥ 2n > 1( C2 − 4+ C ) n 2

Таким образом, начиная с ближайшего натурального $n,$ которое больше, чем $√ ------ 12( C2 − 4 + C)$ наша последовательность будет заведомо больше любого наперёд заданного $C > 0.$ (Случаи отрицательного $C$ тривиальны, поскольку все члены нашей последовательности очевидно больше всех отрицательных чисел. Случай когда $C ∈ [0,2)$ тоже решается просто, наша последовательность больше таких $C$ уже начиная со второго члена. А случай $C ≥ 2$ мы только что разобрали).
Тем самым, это утверждение верно.

5. Давайте проверим непосредственно: $xn = n + 1n,$ $xn+2 = n + 2+ n1+2.$ Тогда неравенство из условия $xn < xn+2$ эквивалентно тому, что $xn+2 − xn > 0.$ Давайте проанализируем:

xn+2− xn = n+2+ --1--− (n+ 1) = 2+--1--− 1-= 2+ n−-(n-+-2)-= 2+ --−-2--- n + 2 n n + 2 n n(n+ 2) n(n+ 2)

Далее, поскольку $n ≥ 1,$ то знаменатель дроби $n(−n2+2),$ то есть выражение $n(n + 2)$ заведомо $≥ 3.$ Значит, вся дробь, наоборот, меньше $−2. 3$ То есть мы из двойки вычитаем что-то, что меньше по модулю $2 3.$ Конечно, мы всегда будем получать только положительные числа. Таким образом, мы поняли, что $∀n ∈ ℕ 2+ --−2--> 0, n(n+2)$ то есть, иными словами, $∀n ∈ ℕ xn < xn+2.$ Значит, это утверждение истинно.

6. Это означало бы, что наша последовательность ограничена этим самым числом $C > 0.$ Но в пункте 4 мы уже показали, что наша последовательность $x n$ неограниченно возрастает, и даже расходится к $+ ∞.$ Значит, это утверждение точно ложно.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#37609

Найти

(n + 2)! + (n − 1)! nli→m∞ ----------------- (n+ 3)!

Показать ответ и решение

Давайте разделим и числитель и знаменатель на член, растущий быстрее всего, то есть на $(n + 3)!.$ Тогда получится $(n+2)!+(n−1)! -1-- -------1-------- (n+3)! = n+3 + n⋅(n+1)⋅(n+2)⋅(n+3).$ Таким образом, выражение $(n+2)(n!++3(n)−!1)!$ является суммой двух дробей, каждая из которых при $n → + ∞$ стремится к $0.$ Следовательно, по теореме о пределе суммы, $∃ lim (n+2()!n++(3n)!−1)!= 0. n→ ∞$

Ответ:

$0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#37610

Найти

1- nl→im∞ n2(1+ 2 +3 + ...+ n)

Показать ответ и решение

Выражение, стоящее в скобках, является суммой арифметической прогрессии с начальным членом 1, разностью 1 и последним членом $n.$ Значит, по формуле для суммы арифметической прогрессии, которую мы доказываем по индукции, имеем:

1-+-n 1+ 2+ 3 +...+ n = 2 ⋅n

И, значит,

1 1 1+ n n +n2 1+ 1 n2(1+ 2+ 3 + ...+ n) = n2 ⋅-2--⋅n = -2n2--= -n2--

Это последнее выражение стремится к $1, 2$ поскольку числитель является суммой бесконечно малой $1 n$ и 1, а знаменатель - это просто константа 2. И мы просто пользуемся теоремой о пределе частного. Итого:

1 1 nl→im∞ n2(1+ 2 + 3+ ...+ n) = 2

Ответ:

$12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#37612

Найти

------ ------ √4n5 + 2− √3n2 + 1 nl→im∞ √5n4-+-2−-√n3-+-1-

Показать ответ и решение

Разделим и числитель и знаменатель на наибольшую степень $n.$ В данном случае будем делить на $n 32.$ Тогда имеем:

4√n5-+-2− √3n2-+-1- 5√--4-----√--3----= n + 2− n + 1

∘ ------ -------- 41 + -26 − ∘3 15+ 19- = ∘-n---n------n∘2---n2- 5-17+ -215 − 1+ 13 n 2 n 2 n

Видно, что числитель является разностью бесконечно малых и поэтому стремится к 0. Знаменатель, в свою очередь, является разностью бесконено малой и стремящейся к 1, то есть стремится к -1. Значит, по теореме о пределе частного:

√ ------ √------ -4n5 +-2-−-3n2-+-1 0-- ∃ lnim→∞ √5n4-+-2-− √n3-+-1 = − 1 = 0

Ответ:

$0$