19 Пределы функций. Непрерывность. Точки разрыва.

Ясно, что

С учётом этого будем иметь:

Действительно, для этого достаточно показать, что
Но Тем самым, мы и доказали то, что хотели.

Докажем это по определению.

Фиксируем какую-то точку Надо показать, что
Введём новые, слегка более удобные обозначения. Пускай Тогда равносильно тому, что

Давайте вычислим (и тем самым, конечно, докажем его существование)

По формуле синуса суммы будем иметь, что

Далее,

Аналогично разбирается и второе слагаемое в сумме:

Следовательно, А это и означает по определению, что функция непрерывна в точке

А далее осталось произнести лишь такую волшебную фразу, что от того, что это за точка была конкретно, ничего не зависело. То есть вместо мы можем подставить любую конкретную точку и наше доказательство бы прокатило без изменений. Следовательно, мы доказали, что непрерывен в любой точке

Поскольку все наши функции, из которых составлена данная композиция - непрерывны на своих областях определения, будет работать теорема о перестановочности значка непрерывной функции и значка предела. Тем самым, мы будем иметь, что

Преобразуем наше выражение:

Однако, в то время как (в том смысле, что в окрестности точки 1 - бесконечно большая функция).

Причём при (то есть в левой полуокрестности точки 1) у нас будет (поскольку и слева от 1 отрицательный), а при (т.е. в правой полуокрестности точки 1) у нас будет

Таким образом, функция принимает в любой проколотой окрестности точки значения разных знаков, и является бесконечно большой, а поэтому функция не может иметь предела при (поскольку в то время как ).

Преобразуем наше выражение:

Далее, поскольку (в том смысле, что обе эти функции являются знакопостоянными отрицательными бесконечно большими функциями в правой полуокрестности точки ), то их произведение, очевидно, является бесконечно большой положительной функцией: следовательно, не существует коль скоро он сводится к

Единственная проблемная точка у может быть поскольку слева от нуля () она везде равна непрерывной функции а справа от нуля () она везде равна - то есть многочлену первой степени, который непрерывен при любом

Интересен лишь случай потому что в точке 0 наша функция при каких-то может оказаться и не непрерывной.

Итак, чтобы была непрерывной в точке у неё, во-первых, должно быть определено значение в точке 0. Но в 0 у неё значение поскольку при

Далее, значение должно быть равно пределу этой функции в точке 0. В том числе, этот предел должен существовать.

Для этого достаточно, чтобы существовал предел слева и предел справа и они были равны.
Ясно, что слева от нуля наша функция задается формулой а значит

Справа же от нуля наша функция задаётся формулой поэтому

И чтобы существовал предел при нужно, чтобы Следовательно, И, как мы видим, оба этих предела равны значению функции в точке 0, т.к. как мы сказали выше. Следовательно, подходит единственное число чтобы функция была непрерывна в 0. В остальных точках она непрерывна при любом Итого:

Преобразуем наше выражение.



(И здесь мы воспользовались тем, что поскольку убывает медленнее, чем Показать это можно, например, при помощи правила Л’Опиталя.)

Cделаем уже стандартное для нас преобразование:
Вычислим теперь Сделаем замену Тогда имеем:





А, значит,

Сделаем замену Тогда будем иметь: Далее, поскольку при выполнено то

Поскольку при имеем, что: то при имеем И тогда имеем:

Поскольку при
(по многочлену Тейлора), то:

Ясно, что

А, следовательно, пользуясь непрерывностью экспоненты, будем иметь:

Вычислим отдельно

при .

Следовательно,

А поэтому,

Ясно, что .

Выделим целую часть:

Тогда при .

Следовательно,

А теперь считаем предел степени:

И числитель стремится к , знаменатель стремится к 3, следовательно вся дробь стремится к .

Тем самым,

При мы имеем функцию Единственная "проблемная" точка для неё - поскольку знаменатель в показатели степени в этой точке не определен. Во всех остальных точках наша функция является композицией двух непрерывных всюду на своих областях определения функций и Поэтому по теореме о композиции непрерывных функций, во всех точках, за исключением функция - заведомо непрерывна.

Далее, при мы имеем функцию Она непрерывна во всех точках.

Следовательно, потенциальные точки разрыва , которые теперь нам нужно исследовать, - это и точка склейки двух функций

1. Начнём с Поскольку Однако - при ограничена, а при Поэтому, И, поскольку не существует конечного одностороннего левого предела то мы заведомо попадаем в ситуацию разрыва II-го рода.

2. Поскольку существуют оба односторонних предела

но они не равны между собой, то наша терпит разрыв I-го рода в точке

Единственная "подозрительная точка - это точка поскольку в ней не определён знаменатель. Поэтому в ней точно разрывна.

Но

Таким образом, существует просто самый обыкновенный предел а это, разумеется, означает, что существуют оба односторонних предела и и они равны между собой (иначе бы не могло существовать предела ).

Поэтому разрыв в точке - устраним. И функцию можно доопределить в точке её пределом. Действительно, рассмотрим

Поскольку то функция непрерывна в точке Но она отличается от нашей исходной лишь в одной точке. Следовательно, по определению, имеет устранимый разрыв в точке

Ясно, что

А потому Обратите внимание, что наша функция не определена при потому что сокращать в выражении можно только при

Итак,

А потому очевидно, что может иметь разрыв лишь при потому что во всех остальных точках она является многочленом ( либо на разных участках), и поэтому непрерывна.

Давайте посчитаем односторонние пределы.

И мы видим, что оба односторонних предела существуют, но не равны между собой. Следовательно, в точке функция имеет разрыв первого рода.

Нет. Такая теорема неверна. Поскольку на самом деле в теореме Больцано-Коши мы неявно пользуемся ещё и тем фактом, что отрезок то что называется связен.

Давайте приведём контрпример к теореме’ и, тем самым, покажем, что она неверна.

Пусть - объединение двух отрезков. Пусть

Очевидно, что функция - непрерывна в каждой точке своей области определения Более того, поэтому функция удовлетворяет всем условиям теоремы’. Однако, очевидно, нет ни одной точки, где была бы равна 0. Следовательно, так модифицировать теорему Больцано-Коши нельзя.

И в ней существенно, что функция была именно из отрезка