Муниципалка 6 - 7 класс

Рассмотрим, сколько будет игр между командами в группе по команды. Будем выбирать команды на игру последовательно — сначала первую команду, потом её противника. Тогда вариантов выбрать первую команду будет так как всего команд в группе а выбор её противника мы можем сделать только из оставшихся вариантов, потому что команда не может играть сама с собой. Чтобы получить количество игр в группе, нужно перемножить количество вариантов для выбора первой команды и количество вариантов выбора её противника. Стоит заметить, что если мы первой командой выберем команду и в противники ей команду то эта игра будет считаться дважды, потому что мы точно так же можем выбрать первой командой команду а её противником команду значит, количество игр нужно поделить на

Итого: количество игр в группе по команды будет равно

Во время тура команды поделилось на групп. Тогда количество игр в туре — Так как в следующий тур проходит лучшие команды в своих группах, то во тур перешло команд.

Во время тура команд поделилось на группы. Тогда количество игр во туре — А в тур перешло команд.

Во время тура команд поделилось на группы. Тогда количество игр во туре — А в тур перешло команд.

Во время тура команды попали в одну группу, и тогда количество игр равно

Так как после завершения тура из группы вышло команды, то они сыграли в финале, значит, к общей сумме нужно добавить еще игру.

Значит, общее кол-во игр в турнире будет равно

Пусть суммарное количество побед всех команд-участниц турнира равно , тогда суммарное количество их поражений также равно . Предположим, что у каждой команды такое же количество ничьих, как и побед, тогда суммарное количество ничьих в таблице результатов турнира также равно . При таком подсчёте каждый матч был учтён дважды, т. е. сумма всех побед, ничьих и поражений в таблице результатов равна . Но уравнение не имеет натуральных решений. Противоречие.

Участники, занявшие места с восьмого по двенадцатое, сыграли между собой 10 партий и набрали в сумме не менее 10 очков. Значит, игрок, занявший второе место, набрал не менее 10 очков.

Если он набрал 10,5 очков, то он выиграл 10 партий и в одной сыграл вничью. Если он сыграл вничью с победителем, то у победителя не более 10,5 очков. Противоречие.

Значит, игрок, занявший второе место, набрал ровно 10 очков. В этом случае все игроки, занявшие места с восьмого по двенадцатое, проиграли все свои партии игрокам, занявшим места с первого по седьмое.

На первые 20 километров рыцарь затратил часа. Следующие 3 километра он проплыл за часа. Осталось часа. Скорость на последнем этапе должна быть не меньше км/час.

Пусть на пирог ушло яблок. Значит, после ухода детей в школу яблок оставалось . То есть, после завтрака их было . Поскольку количество яблок должно быть целым числом, то делится на 13. Так как числа 13 и 40 — взаимно простые, то будет делиться на 13 , то есть , где — целое число. Из условия задачи следует, что . Значит, , тогда .

Пусть корова поедает в месяц стогов, лошадь — , козочка — . Сын считает, что

Но тогда

Поскольку , то выходит

отсюда , что невозможно.

Очевидно, если шнур поджечь с одного конца, он будет гореть вдвое дольше, чем подожженный с двух концов, то есть 118 секунд. Пусть общая длина красных участков — см. Тогда общая длина зеленых — см, и веревка, подожженная с одного конца, будет гореть сек. Решая уравнение , находим .

Количество пятёрок, четвёрок и троек — целое число, поэтому общее число оценок делится на 5,4 и 3. Значит, общее число оценок делится на наименьшее общее кратное этих чисел, то есть на 60. Единственное натуральное число, которое делится на 60 и меньше 100 — это само число 60. Значит, общее число оценок равно 60, пятёрок было 12, четвёрок 15, троек 20, а двоек тогда

Пусть в каждом кармане было по монет, а орлов выпало , тогда решек выпало . Их разность: — чётное число и не может равняться 7.

Когда пришёл слон, количество конфет делилось на 6 без остатка, на 5 — с остатком 4 , а на 4 — с остатком 2. Заметим, что при этом оно автоматически делится на 3 и 2. Делимость на 6 без остатка, а на 4 с остатком 2 означает делимость на 12 с остатком 6. Если ещё учесть делимость на 5 с остатком 4, получится, что это число делится на 60 с остатком 54. Поскольку изначально конфет было 100, а к приходу слона их было 54, то мышке придётся съесть ещё 5 конфет, в этом случае количество оставшихся конфет разделится поровну на семерых.

Так как , то . Тогда , откуда . Числа такого вида в заданном промежутке:

Рассмотрим последние цифры чисел и в зависимости от последней цифры числа . Результаты удобно расположить в виде следующей таблицы:

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	0	1	8	7	4	5	6	3	2	9
		2			8		2			8
			6	4				4	4

Из полученной таблицы непосредственно видно, что, по крайней мере, одно из чисел или оканчивается нулём.

(a) Пусть среди выбранных фруктов не найдётся одноцветных яблока и груши. Тогда красных фруктов штук, жёлтых фруктов штук, а зелёных То есть всего выбрано не больше фруктов. Отсюда наименьшее при котором среди произвольно выбранных фруктов обязательно найдутся одноцветные яблоко и груша, равно 44.

(b) Пусть среди выбранных фруктов не найдётся разноцветных яблока и груши. Тогда возможны следующие случаи:

1. Выбраны только яблоки, тогда фруктов штук

2. Выбраны только груши, тогда фруктов штук

3. Среди выбранных фруктов есть и яблоки, и груши, а значит все выбранные фрукты одного цвета. Если выбраны только красные фрукты, то их не больше штук, если только жёлтые, то их не больше а если только зелёные — не больше

Итак, выбрано не больше 35 фруктов. Отсюда наименьшее при котором среди произвольно выбранных фруктов обязательно найдутся разноцветные яблоко и груша, равно 36.

Так как среди цифр данного числа только одно (нечетное количество) нечётное, то при любой расстановке знаков “” или “” будем получать нечетную сумму. А ноль —- четное число.

Первая цифра не может быть нулём, поэтому вторая цифра не меньше а первая — не меньше Если третья цифра больше то четвёртая не меньше и получается, что сумма цифр числа не меньше, чем — противоречие. Поэтому третья и четвёртая цифры — нули, а первая и вторая должны в сумме давать Значит, вторая цифра равна а первая равна

Понятно, что если число делится на то делится и на Тогда нам нужна делимость чисел на а это значит, что число должно делиться на и на Тогда и сумма цифр нашего числа должна делиться на Какой может быть сумма цифр числа, используя и Возможны варианты

Получаем, что подходящие нам четырёхзначные числа могут быть только из всех или со всеми кроме одной. И того, несложно перебрав, получаем чисел().

Обозначим число По условию значит, одна из этих цифр равняется а две другие равны Поскольку и не делятся на Число поэтому получаем два трёхзначных числа и Число откуда получаем два трёхзначных числа и Окончательно получаем числа.

Раз нам нужно место, а каждое число до этого места точно содержит в себе цифры, поделим нацело на Получим число — это примерное количество полных четырёхзначных чисел до -ого места. Тогда у нас замыкает место() число Значит, далее будет число а на месте цифра

Максимум сумма цифр года рождения может равняться минимум — Поэтому Е.А. родился самое раннее в а самое позднее — в Заметим, что если менять только последнюю цифру года рождения, то сумма цифр будет увеличиваться, а возраст — уменьшаться (и наоборот) на одну и ту же величину. Поэтому в каждом десятилетии не более одного подходящего года. Остаётся проверить возможные десятилетия. Если год рождения попадает на нулевые, получаем уравнение То есть что не имеет решения в целых числах. Если год рождения попадает на восьмидесятые, то получаем уравнение или что тоже не имеет решения в целых числах. Наконец, для девяностых получаем уравнение Решая его, получаем, единственный ответ: Поэтому Е.А. родился в году. Значит, в году ему исполнилось года.

Предположим, что такого месяца не найдется, тогда в каждом месяце дни рождения не более чем у трех ребят. Но тогда в классе не более чем учеников. Полученное противоречие доказывает, что найдется месяц в котором отмечают свой день рождения не меньше чем ученика.