Муниципалка 6 - 7 класс

Рассмотрим, сколько будет игр между командами в группе по команды. Будем выбирать команды на игру последовательно — сначала первую команду, потом её противника. Тогда вариантов выбрать первую команду будет так как всего команд в группе а выбор её противника мы можем сделать только из оставшихся вариантов, потому что команда не может играть сама с собой. Чтобы получить количество игр в группе, нужно перемножить количество вариантов для выбора первой команды и количество вариантов выбора её противника. Стоит заметить, что если мы первой командой выберем команду и в противники ей команду то эта игра будет считаться дважды, потому что мы точно так же можем выбрать первой командой команду а её противником команду значит, количество игр нужно поделить на

Итого: количество игр в группе по команды будет равно

Во время тура команды поделилось на групп. Тогда количество игр в туре — Так как в следующий тур проходит лучшие команды в своих группах, то во тур перешло команд.

Во время тура команд поделилось на группы. Тогда количество игр во туре — А в тур перешло команд.

Во время тура команд поделилось на группы. Тогда количество игр во туре — А в тур перешло команд.

Во время тура команды попали в одну группу, и тогда количество игр равно

Так как после завершения тура из группы вышло команды, то они сыграли в финале, значит, к общей сумме нужно добавить еще игру.

Значит, общее кол-во игр в турнире будет равно

Пусть суммарное количество побед всех команд-участниц турнира равно , тогда суммарное количество их поражений также равно . Предположим, что у каждой команды такое же количество ничьих, как и побед, тогда суммарное количество ничьих в таблице результатов турнира также равно . При таком подсчёте каждый матч был учтён дважды, т. е. сумма всех побед, ничьих и поражений в таблице результатов равна . Но уравнение не имеет натуральных решений. Противоречие.

Участники, занявшие места с восьмого по двенадцатое, сыграли между собой 10 партий и набрали в сумме не менее 10 очков. Значит, игрок, занявший второе место, набрал не менее 10 очков.

Если он набрал 10,5 очков, то он выиграл 10 партий и в одной сыграл вничью. Если он сыграл вничью с победителем, то у победителя не более 10,5 очков. Противоречие.

Значит, игрок, занявший второе место, набрал ровно 10 очков. В этом случае все игроки, занявшие места с восьмого по двенадцатое, проиграли все свои партии игрокам, занявшим места с первого по седьмое.

На первые 20 километров рыцарь затратил часа. Следующие 3 километра он проплыл за часа. Осталось часа. Скорость на последнем этапе должна быть не меньше км/час.

Пусть на пирог ушло яблок. Значит, после ухода детей в школу яблок оставалось . То есть, после завтрака их было . Поскольку количество яблок должно быть целым числом, то делится на 13. Так как числа 13 и 40 — взаимно простые, то будет делиться на 13 , то есть , где — целое число. Из условия задачи следует, что . Значит, , тогда .

Пусть корова поедает в месяц стогов, лошадь — , козочка — . Сын считает, что

Но тогда

Поскольку , то выходит

отсюда , что невозможно.

Очевидно, если шнур поджечь с одного конца, он будет гореть вдвое дольше, чем подожженный с двух концов, то есть 118 секунд. Пусть общая длина красных участков — см. Тогда общая длина зеленых — см, и веревка, подожженная с одного конца, будет гореть сек. Решая уравнение , находим .

Количество пятёрок, четвёрок и троек — целое число, поэтому общее число оценок делится на 5,4 и 3. Значит, общее число оценок делится на наименьшее общее кратное этих чисел, то есть на 60. Единственное натуральное число, которое делится на 60 и меньше 100 — это само число 60. Значит, общее число оценок равно 60, пятёрок было 12, четвёрок 15, троек 20, а двоек тогда

Пусть в каждом кармане было по монет, а орлов выпало , тогда решек выпало . Их разность: — чётное число и не может равняться 7.

Когда пришёл слон, количество конфет делилось на 6 без остатка, на 5 — с остатком 4 , а на 4 — с остатком 2. Заметим, что при этом оно автоматически делится на 3 и 2. Делимость на 6 без остатка, а на 4 с остатком 2 означает делимость на 12 с остатком 6. Если ещё учесть делимость на 5 с остатком 4, получится, что это число делится на 60 с остатком 54. Поскольку изначально конфет было 100, а к приходу слона их было 54, то мышке придётся съесть ещё 5 конфет, в этом случае количество оставшихся конфет разделится поровну на семерых.

Так как , то . Тогда , откуда . Числа такого вида в заданном промежутке:

Рассмотрим последние цифры чисел и в зависимости от последней цифры числа . Результаты удобно расположить в виде следующей таблицы:

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	0	1	8	7	4	5	6	3	2	9
		2			8		2			8
			6	4				4	4

Из полученной таблицы непосредственно видно, что, по крайней мере, одно из чисел или оканчивается нулём.

Так как среди цифр данного числа только одно (нечетное количество) нечётное, то при любой расстановке знаков “” или “” будем получать нечетную сумму. А ноль —- четное число.

Первая цифра не может быть нулём, поэтому вторая цифра не меньше а первая — не меньше Если третья цифра больше то четвёртая не меньше и получается, что сумма цифр числа не меньше, чем — противоречие. Поэтому третья и четвёртая цифры — нули, а первая и вторая должны в сумме давать Значит, вторая цифра равна а первая равна

Понятно, что если число делится на то делится и на Тогда нам нужна делимость чисел на а это значит, что число должно делиться на и на Тогда и сумма цифр нашего числа должна делиться на Какой может быть сумма цифр числа, используя и Возможны варианты

Получаем, что подходящие нам четырёхзначные числа могут быть только из всех или со всеми кроме одной. И того, несложно перебрав, получаем чисел().

Обозначим число По условию значит, одна из этих цифр равняется а две другие равны Поскольку и не делятся на Число поэтому получаем два трёхзначных числа и Число откуда получаем два трёхзначных числа и Окончательно получаем числа.

Раз нам нужно место, а каждое число до этого места точно содержит в себе цифры, поделим нацело на Получим число — это примерное количество полных четырёхзначных чисел до -ого места. Тогда у нас замыкает место() число Значит, далее будет число а на месте цифра

Максимум сумма цифр года рождения может равняться минимум — Поэтому Е.А. родился самое раннее в а самое позднее — в Заметим, что если менять только последнюю цифру года рождения, то сумма цифр будет увеличиваться, а возраст — уменьшаться (и наоборот) на одну и ту же величину. Поэтому в каждом десятилетии не более одного подходящего года. Остаётся проверить возможные десятилетия. Если год рождения попадает на нулевые, получаем уравнение То есть что не имеет решения в целых числах. Если год рождения попадает на восьмидесятые, то получаем уравнение или что тоже не имеет решения в целых числах. Наконец, для девяностых получаем уравнение Решая его, получаем, единственный ответ: Поэтому Е.А. родился в году. Значит, в году ему исполнилось года.

Предположим, что такого месяца не найдется, тогда в каждом месяце дни рождения не более чем у трех ребят. Но тогда в классе не более чем учеников. Полученное противоречие доказывает, что найдется месяц в котором отмечают свой день рождения не меньше чем ученика.

Пусть у Дениса изначально было коричневых хамелеонов. Тогда красных хамелеонов было . Из условия задачи получаем уравнение . Откуда получаем . Всего хамелеонов , то есть