Тема Заключительный этап ВсОШ

Закл (финал) 9 класс → .01 Закл до 2015

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела заключительный этап всош

Разделы подтемы Закл (финал) 9 класс

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#90511Максимум баллов за задание: 7

Какое наибольшее число фишек можно поставить на клетки шахматной доски так, чтобы на любой горизонтали, вертикали и диагонали находилось четное число фишек?

Источники: Всеросс., 1993, ЗЭ, 9.7(см. math.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте найти какой-то объект, в котором n клеток, но, допустим, в него можно поставить лишь k фишек (k < n), иначе условие не выполнится.

Подсказка 2

Таким объектом будет диагональ нечëтной длины. Очевидно, что хотя бы одна клетка в ней без фишки. Как можно применить это для оценки?

Показать ответ и решение

Заметим, что на шахматной доске имеется $16$ диагоналей, содержащих нечётное число клеток и не имеющих общих клеток. Следовательно, число фишек не может быть больше $64− 16= 48.$ Удовлетворяющая условию задачи расстановка $48$ фишек изображена на рисунке.

$PIC$

Ответ: 48

Следующая подтема