Тема Заключительный этап ВсОШ

Закл (финал) 9 класс → .05 Закл 2018

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела заключительный этап всош

Разделы подтемы Закл (финал) 9 класс

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#75645Максимум баллов за задание: 7

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $A$ и $C$ равны. На сторонах $AB$ и $BC$ нашлись соответственно точки $M$ и $N$ такие, что $MN ∥AD$ и $MN = 2AD.$ Пусть $K$ — середина отрезка $MN,$ а $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC.$ Докажите, что прямые $KH$ и $CD$ перпендикулярны.

Источники: Всеросс., 2018, ЗЭ, 9.8(см. olympiads.mccme.ru)

Показать доказательство

$PIC$

Выберем точки $Q$ и $P$ так, что точки $C$ и $A$ — середины отрезков $NQ$ и $MP$ соответственно. Поскольку $AD||MN$ и $AD = MN ∕2,$ отрезок $AD$ является средней линией в треугольнике $PMN,$ то есть $D$ — середина $PN.$

Поскольку четырехугольник $AMKD$ является параллелограммом верно, что $∠DAM =∠MKD = ∠NCD,$ то есть четырехугольник $KNCD$ вписан. При гомотетии с коэффициентом $2$ с центром в $N$ точки $K,D,C$ переходят в точки $M, P,Q$ соответственно, то есть четырехугольник $MNQP$ вписан.

По теореме Монжа из этого следует, что перпендикуляры из $A$ на $NQ,$ из $C$ на $P M$ и из $K$ на $PQ$ пересекаются в одной точке. Но первые два перпендикуляра пересекаются в точке $H;$ значит, $KH ⊥P Q||CD.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#79858Максимум баллов за задание: 7

Пусть $a ,...,a 1 25$ — целые неотрицательные числа, а $k$ — наименьшее из них. Докажите, что

√-- √-- √ --- [∘ ---------------] [ a1]+ [ a2]+ ...+ [ a25]≥ a1+ ...+a25+ 200k

(Как обычно, через $[x]$ обозначается целая часть числа $x,$ то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x.$ )

Источники: Всеросс., 2018, ЗЭ, 9.3(см. olympiads.mccme.ru)

Показать доказательство

Положим $n = [√a-] i i$ . Тогда $a < (n +1)2, i i$ а поскольку числа $a i$ целые, имеем $a ≤ n2+ 2n. i i i$ Если мы теперь покажем, что

∘---------------- a1+ ...+ a25 +200k≤ n1+n2+ ...+ n25+1

то правая часть доказываемого неравенства не будет превосходить $n1+ n2+ ...+ n25,$ что и требовалось.

Пусть для определенности $k= a . 1$ Оценим подкоренное выражение в левой части доказываемого неравенства:

2 2 a1+ ...+ a25+ 200k ≤(n1+ 2n1)+ ...+ (n25+ 2n25)+ 200k =

= (n2+ ...+ n2)+ 2(n + ...+ n )+ 200(n2+ 2n) 1 25 1 25 1 1

Квадрат правой части доказываемого неравенства равен

(n21+ ...+ n225)+ 2(n1n2+ n1n3 +...+ n24n25)+ 2(n1+ ...+ n25)+ 1

Сравнивая эти выражения, видим, что достаточно показать, что

100(n21+2n1)≤ n1n2 +n1n3+ ...+ n24n25

Но при любых $i<j$ верно неравенство $ninj >n21 >n1.$ При этом в правой части стоит $25⋅224= 300$ слагаемых такого вида. Оценивая $100$ из них числом $n21,$ а остальные $200$ — числом $n1,$ получаем требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#82937Максимум баллов за задание: 7

В карточной игре каждой карте сопоставлено числовое значение от $1$ до $100,$ причем каждая карта бьет меньшую, за одним исключением: $1$ бьет $100.$ Игрок знает, что перед ним лежат рубашками вверх $100$ карт с различными значениями. Крупье, знающий порядок этих карт, может про любую пару карт сообщить игроку, какая из них какую бьет. Докажите, что крупье может сделать сто таких сообщений, чтобы после этого игрок смог точно узнать значение каждой карты.

Источники: Всеросс., 2018, ЗЭ, 9.7(см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Карты бьют друг друга по циклу, причём особое место занимают карты 1 и 100. Стоит попробовать выделить их в отдельный цикл.

Подсказка 2

К картам 1 и 100 добавим карту, например, 50. Тогда они образуют цикл. Карты от 2 до 99 можно упорядочить в цепочку. Теперь осталось выяснить, какие именно карты 1 и 100.

Показать доказательство

Обозначим через $c i$ карту значения $i.$

Выберем произвольное число $3≤ k≤ 98.$ Пусть крупье сообщит, какая карта бьёт другую, в парах $(ck,c1),(c100,ck),(c1,c100),$ а также во всех парах вида $(ci+1,ci)$ при $i= 2,3,...,98.$ Всего он сделает $100$ сообщений.

Покажем, что по этим данным игрок может восстановить значения всех карт. Он может рассуждать так. Из того, что карты $c100,ck,c1$ бьют друг друга по циклу, следует, что одна из них имеет значение $1,$ а следующая по циклу — значение $100.$ Но, кроме карт этого цикла, карту $ck$ бьёт карта $ck+1,$ а карта $ck$ бьёт карту $ck−1.$ Значит, $ck$ не может иметь значение $1$ или $100,$ то есть значения $1$ и $100$ имеют карты $c1$ и $c100$ соответственно.

Наконец, среди оставшихся карт $c2,c3,...,c99$ в любой паре карта с большим значением бьёт другую. Поскольку нам известно, что каждая $ci+1$ бьёт $ci$ при $i= 2,3,...,98,$ отсюда следует, что каждая $ci$ имеет значение $i.$

Предыдущая подтема

Следующая подтема