Тема Заключительный этап ВсОШ

Закл (финал) 9 класс → .03 Закл 2016

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела заключительный этап всош

Разделы подтемы Закл (финал) 9 класс

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#105155Максимум баллов за задание: 7

Сумма положительных чисел $a,b,c,d$ равна $3.$ Докажите неравенство:

-1 -1 -1 -1 ---1--- a2 +b2 + c2 + d2 ≤a2b2c2d2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Доказывать неравенство с дробями совсем неудобно! Умножим все на знаменатель правой части. Тогда справа останется 1, а как можно было бы ее заменить, чтобы доказывать не имеющееся неравенство, а более сильное?

Подсказка 2

Понятно, что для такой замены нужно использовать, что a + b + c + d = 3. Слева у нас различные произведения квадратов переменных. Значит, можно было бы попытаться и единицу из правой части заменить на произведение переменных в каких-нибудь степенях. А какое неравенство позволит связать 1 и произведения переменных?

Подсказка 3

Верно, неравенство о средних! Заметим, что ab(c+d) ≤ 1 по неравенству о средних. Тогда и квадрат левой части этого неравенства не превосходит 1, и значит, если заменить в исходном неравенстве 1 в правой части на (ab(c+d))² и доказать такое неравенство, то и нужное будет доказано. А как доказать такое неравенство?

Подсказка 4

Заметим, что перед нами симметрическое неравенство, значит, переменные можно упорядочить! В последнем неравенстве можно раскрыть скобочки! Как теперь доказать наше неравенство?

Показать доказательство

Домножив доказываемое неравенство на $a2b2c2d2,$ получим

22 2 2 2 2 2 22 22 2 a bc + ab d +a cd + b cd ≤ 1 (∗)

Поскольку неравенство симметричное, можно считать, что $a ≥b≥ c≥ d.$ По неравенству о средних для чисел $a,b$ и $(c+ d)$ имеем

( a+b +(c+d))3 ab(c+ d)≤ ----3------ =1

Следовательно, $a2b2(c+ d)2 ≤1.$ Значит, для доказательства (*) достаточно показать, что

a2b2c2+a2b2d2+ a2c2d2+ b2c2d2 ≤ a2b2(c+ d)2

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых остаётся неравенство

a2c2d2+ b2c2d2 ≤2a2b2cd

которое является суммой двух очевидных неравенств $22 2 22 a cd ≤ a bcd$ и $2 22 2 2 bc d ≤a bcd.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#121155Максимум баллов за задание: 7

Из клетчатого бумажного квадрата $100× 100$ вырезали по границам клеток $1950$ двуклеточных прямоугольников. Докажите, что из оставшейся части можно вырезать по границам клеток четырехклеточную фигурку в виде буквы Т, возможно, повернутую. (Если такая фигурка уже есть среди оставшихся частей, считается, что ее получилось вырезать.)

Источники: Всеросс., 2016, ЗЭ, 9.4(см. olympiads.mccme.ru)

Показать доказательство

Представим себе, что доминошки (прямоугольники $1× 2)$ ещё не вырезаны, и будем вырезать их по одной. В каждый момент процесса назовём ценой ещё не вырезанной клетки число её невырезанных соседей по стороне, уменьшенное на $2$ (например, цена неугловой клетки, лежащей на границе квадрата, изначально равна $1).$ Тогда исходная цена каждой клетки есть $2− t,$ где $t$ — количество отрезков периметра квадрата, находящихся на границе этой клетки. Значит, исходная суммарная цена всех клеток равна $2 2⋅100 − 400= 19600.$

Проследим, как изменяется суммарная цена $S$ всех невырезанных клеток после вырезания доминошки. При этом выкидываются две клетки (сумма цен которых не превосходит $2+ 2= 4),$ а также уменьшаются на $1$ цены клеток, граничащих с доминошкой (а их не больше шести). Поэтому после вырезания доминошки $S$ уменьшается не более, чем на $10.$

Итак, после вырезания $1950$ доминошек $S$ будет не меньше, чем $19600− 1950 ⋅10= 100.$ Поэтому найдётся невырезанная клетка $k,$ цена которой положительна. Это значит, что у $k$ не менее трёх невырезанных соседей. Тогда $k$ вместе с этими тремя соседями образует требуемую фигурку.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущая подтема

Следующая подтема