Тема Региональный этап ВсОШ и олимпиада им. Эйлера

Регион 9 класс

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела региональный этап всош и олимпиада им. эйлера

Разделы подтемы Регион 9 класс

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 81#74721Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для любых вещественных чисел $a$ и $b$

2 2 a + ab+ b ≥ 3(a+ b− 1)

Источники: Всеросс., 1993, РЭ, 9.1(см. math.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, что наше неравенство выглядит не очень красивым. Поэтому классическими неравенствами будет пользоваться тяжеловато. Но, если посмотреть на это неравенство при фиксированном b, оно не такое уж страшное...

Подсказка 2

Давайте перенесем все в левую часть и рассмотрим получившееся выражение как квадратное, относительно a. Это будет парабола с ветвями вверх. При каком условии она будет принимать неотрицательные значения?

Подсказка 3

Верно, если дискриминант будет не больше 0! Посчитайте его и убедитесь, что это действительно так!

Показать доказательство

Перенесём всё влево и рассмотрим получившееся выражение как квадратный трёхчлен относительно $a$ :

2 2 a +(b− 3)a+ b − 3b+ 3≥ 0

Его дискриминант равен $− 3(b− 1)2$ , то есть он неположительный, а старший член положительный, значит этот трёхчлен принимает только неотрицательные значения.

Следующая подтема