Тема Региональный этап ВсОШ и олимпиада им. Эйлера

Регион 9 класс → .06 Регион 2019

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела региональный этап всош и олимпиада им. эйлера

Разделы подтемы Регион 9 класс

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#37805Максимум баллов за задание: 7

Два приведённых квадратных трёхчлена $f(x)$ и $g(x)$ таковы, что каждый из них имеет по два корня и выполняются равенства

f(1)= g(2)

g(1)=f(2)

Найдите сумму всех четырёх корней этих трёхчленов.

Источники: Всеросс., 2019, РЭ, 9.1(см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $f(x)= x2 +ax+ b,g(x)= x2 +cx+ d$

По теореме Виета искомая сумма равна $− a− c.$

Запишем условие на равенство значений трёхчленов в заданных точках (подставим вместо $x$ соответствующее значение аргумента):

{ 1+ a+ b= 4+2c+ d =⇒ 3+a =− c− 3 ⇐ ⇒ − a− c =6 4+ 2a+ b=1 +c+ d

Ответ:

$6$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#104649Максимум баллов за задание: 7

Каждая грань куба $1000× 1000× 1000$ разбита на $10002$ квадратных клеток со стороной $1.$ Какое наибольшее количество этих клеток можно закрасить так, чтобы никакие две закрашенные клетки не имели общей стороны?

Показать ответ и решение

Рассмотрим произвольную закраску, удовлетворяющую условию. Разобьём все клетки поверхности на “каёмки” так, как показано на рисунке слева — по $500$ каёмок вокруг каждой из восьми вершин (одна из каёмок отмечена серым). Тогда в $k$ -й каёмке, считая от вершины, будет $Sk = 6k − 3$ клеток. Так как никакие две закрашенные клетки не могут быть соседними, в этой каёмке будет не более $[Sk] Sk−1 2 =3k− 2= 2$ закрашенных клеток. Просуммировав по всем $4000$ каёмкам и учтя, что их общая площадь равна $2 6⋅1000,$ получаем, что общее количество закрашенных клеток не превосходит

6⋅10002− 4000 -----2------= 3⋅106− 2000

Давайте приведём пример, показывающий, что столько клеток закрасить можно. Назовём две противоположных грани куба верхней и нижней, а остальные боковыми. На каждой из боковых граней можно отметить половину клеток шахматным образом. После этого на верхней и нижней гранях можно будет также окрасить половину клеток во всех строках, кроме двух крайний, оставив их пустыми — см. рисунок справа, где видны две боковых и верхняя грани. Нетрудно видеть, что при такой закраске в каждой каёмке будет максимально возможное количество закрашенных клеток (Вместо проверки каждой каёмки можно заметить, что вся поверхность разбивается на полоски $1× 100,$ четыре из которых — пустые, а в каждой из остальных закрашена ровно половина клеток).

$PIC$

Ответ:

$3⋅106− 2000= 2998000$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущая подтема

Следующая подтема