Тема БИБН (Будущие исследователи - будущее науки)

Уравнения, неравенства и функции на БИБНе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела бибн (будущие исследователи - будущее науки)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#103847Максимум баллов за задание: 7

Для данного треугольника $ABC$ с соответствующими сторонами $a,b,c$ рассматривают уравнение $ax4+ bx= c$ . Докажите, что у этого уравнения ровно два корня, они разных знаков, причём отрицательный корень по модулю больше положительного.

Источники: БИБН - 2025, 11.3 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В задаче уравнение, у которого корни искать неприятно... но их можно изобразить! Какой графический смысл у корней?

Подсказка 2

Корни — это пересечения графиков! Поэтому имеет смысл изобразить параболу и прямую, у которых мы хотим найти пересечения!

Подсказка 3

Изобразите графики y = ax⁴, y = c - bx и найдите их пересечения — это и будут корни.

Подсказка 4

Для доказательства неравенства модулей используйте подобие треугольников ;)

Показать доказательство

Так как $a,b,c$ являются сторонами треугольника, то они положительны. Поэтому $y = ax4$ это парабола 4 степени ветвями вверх, а $y =c− bx$ это прямая с отрицательным угловым коэффициентом, которая проходит через точки $(0;c)$ и $c (b;0).$ Нарисуем графики:

$PIC$

Очевидно, что две данные функции имеют две точки пересечения. Обозначим их абсциссы за $x1 < 0< x2$ (уже очевидно из графика, что корни разных знаков), а ординаты за $y1$ и $y2.$ Из подобных прямоугольных треугольников видно, что $y1 > y2,$ поэтому

1√ -- 1√-- |x1|= a 4y1 < a 4y2 = |x2|

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#103848Максимум баллов за задание: 7

а) Определите количество положительных корней уравнения $9⋅x6x = 1$ ;

б) есть ли у этого уравнения отрицательные корни?

Источники: БИБН - 2025, 11.4 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1, пункт а

Как можно преобразовать степень x, чтобы получилось прямо его выразить?

Подсказка 2, пункт а

Запишите степень x как степень e. Тогда можно будет воспользоваться свойствами логарифма и "выдвинуть" x :)

Подсказка 3, пункт а

Отлично, теперь мы знаем, какому числу равен xln(x). Осталось лишь понять, когда же такая функция принимает конкретное значение ;) А для этого нужно её исследовать!

Подсказка 1, пункт б

Попробуйте подставить какие-то отрицательные значения и посмотреть, а можно ли так делать.

Показать ответ и решение

а) По основному логарифмическому тождеству уравнение равносильно

6xlnx 9e = 1

6xlnx =ln1 9

1 1 x lnx= 3 ln 3

Производная функции $y(x)= xlnx$ равна $1 lnx+ xx =lnx+ 1,$ поэтому функция убывает при $1 lnx≤ −1 ⇐⇒ 0< x≤ e$ и возрастает при $1 x≥ e.$

В точке минимума значение функции равно $1 1 1 e ⋅(−1)< 3ln3,$ так как $− 3= −3lne< −3ln3< −eln3,$ поэтому функция достигает значение $1 1 3ln 3$ по одному разу левее и правее точки минимума (для обоснования стоит ещё упомянуть непрерывность функции и её неограниченность слева и справа от точки минимума);

б) возведение произвольного отрицательного числа в произвольную отрицательную степень не имеет смысла (не определено однозначно), потому что нарушаются свойства степеней. Например, $(−1)−1 = −11 =− 1,$ но при этом $( )−1 −1 (−1)−1 = (−1)2 2 =1 2 = 1√1 = 1.$

Ответ:

а) 2;

б) нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#128115Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение $64(x2+ x)3 +1= 0.$

Источники: БИБН - 2025, 10.1 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, что разложить выражение на множители у нас не получится, тогда придется действовать иначе – перенести единицу в другую сторону и извлечь кубический корень из обеих частей уравнения!

Подсказка 2

Теперь мы получили обычное квадратное уравнение, которое легко можем решить, заметив формулу сокращённого умножения, либо же используя старый добрый дискриминант)

Показать ответ и решение

2 3 -1 (x + x) +64 = 0

( )3 (x2+ x)3 = − 1 4

Так как степень нечетная,

x2+ x= − 1 4

( 1)2 x+ 2 = 0

x= − 1 2

Ответ:

$− 1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#79611Максимум баллов за задание: 7

(a) Изобразите на координатной плоскости множество $A$ , заданное неравенством

2 2 x y < 2− xy

(b) Докажите, что любые две точки множества $A$ можно соединить внутри $A$ либо отрезком, либо ломаной из двух звеньев.

Источники: БИБН - 2024, 11.3 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Пункт а, подсказка 1

Мы имеем что-то похожее на квадратное неравенство. Без зазрения совести обозначим xy за t. Надо решить неравенство t²+t-2<0. Какое неравенство для xy это даст?

Пункт а, подсказка 2

Верно, -2<xy<1. Рассмотрите отдельно случаи xy>0 и xy<0 и постройте нужное множество.

Пункт б, подсказка 1

Будем надеется, что эти гиперболы мы не просто так рисовали. С точками, которые можно соединить отрезком все как-то мутно, а вот с ломанными все гораздо веселее. Хочется упростить себе задачу и не думать о совсем произвольной ломанной, а, например, с фиксированной точкой...

Пункт б, подсказка 2

Предлагаю доказать, что мы можем просто соединить любую точку с точкой (0,0), откуда все и будет следовать. Но доказать это вам придется самостоятельно...

Пункт б, подсказка 3

Ладно уж, застыдили! Посмотрите, что происходит с модулем значения xy, при приближении к точке (0,0), и с помощью этого докажите, что если X лежит в нашем множестве, то и отрезок XO тоже.

Показать ответ и решение

(a) Решим неравенство относительно замены $t= xy$

2 t + t− 2 <0 ⇐ ⇒ t∈ (− 2,1)

То есть $xy ∈(−2,1)$

В случаях $x,y > 0$ и $x,y < 0$ в первой четверти получаем часть плоскости под графиком $y = 1 x$ , а в третьей четверти часть плоскости над этим графиком.

В случае $x<,y > 0$ во второй четверти неравенству удовлетворяет часть плоскости под графиком $2 y = −x$ , а в четвертой — часть плоскости над этим графиком.

$PIC$

(b) Приведем явный алгоритм соединения двух точек получившегося множества $A$ . Будем соединять любые две точки $B$ и $D$ через точку $(0,0)$ . Для этого надо показать, что любая прямая, соединяющая точку множества и $(0,0)$ , лежит в множестве. Заметим, что при приближении из $B = (x0,y0)$ в $(0,0)$ по прямой произведение $xy$ по модулю уменьшается, а значит, если точка $B$ из множества, то и прямая из нее в $(0,0)$ тоже. Тем самым показали, что соединять $B$ и $D$ можно соединением $B$ с $(0,0)$ и $D$ c $(0,0).$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#137211Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее возможное значение суммы $x+y +z$ трех положительных чисел $x,y,z,$ удовлетворяющих соотношению $xy+ yz+ xz = 27.$

Источники: БИБН - 2024, 10.1 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Надо как-то связать то, что нам дано, с тем, что надо найти. У нас есть сумма попарных произведений... А где она вообще встречается?

Подсказка 2

Например, при раскрытии квадрата суммы! Распишите квадрат искомой суммы и попробуйте его оценить.

Подсказка 3

Получается, квадрат нужной нам суммы равен сумме квадратов каждого из слагаемых и удвоенных попарных произведений. Но что это за сумма квадратов? Как мы можем её оценить?

Подсказка 4

Хорошей идеей для оценки всегда является неравенство о средних! Попробуйте применить его, чтобы понять, во сколько раз сумма квадратов больше суммы попарных произведений.

Подсказка 5

Заметим, что x²/2 + y²/2 ≥ xy. Распишите таким образом каждое попарное произведение! Тогда останется только подставить эти оценки в квадрат суммы, который мы расписали в самом начале, и не забыть привести пример!

Показать ответ и решение

Напишем формулу для суммы квадрата суммы

2 2 2 2 (x+ y+z) = x +y + z + 2(xy+ yz+ zx)

А теперь оценим сумму квадратов по неравенству о средних

(x2 y2) (y2 z2) ( z2- x2) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ≥ xy+ yz +xz

Это даёт нам оценку

(x +y +z)2 ≥3(xy+ yz +zx)= 3⋅27= 81

Откуда

x+ y+z ≥9

Осталось показать, что значение может быть равно $9,$ видно что при $x= y = z = 3$ условие на равенство выполняется, и сумма этих чисел $9.$

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#137249Максимум баллов за задание: 7

Для всех действительных параметров $α∈ [0;180]$ определите, сколько раз в течение суток угол между часовой и минутной стрелками часов составляет $α$ градусов. Угол между стрелками понимается как угол между векторами и принимает значения от 0 до 180 градусов.

Источники: БИБН - 2024, 10.3 (см. www.unn.ru)

Показать ответ и решение

Построим график зависимости от времени $t,$ выраженного в часах, угла $φ$ между стрелками, выраженного в градусах.

$PIC$

Наклон графика по абсолютной величине равен относительной угловой скорости минутной стрелки относительно часовой, то есть 330 градусов в час. На графике отмечено время от 0 до 12 часов. В следующие 12 часов ситуация повторяется. Когда значение функции становится равным $180∘,$ возрастание сменяется на убывание. Таким образом, функция $φ (t)$ имеет наименьший период $1121,$ и на промежутке $[0;12)$ если ровно 11 полуинтервалов длины периода.

Ответ: 11

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#68260Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√ ---- √----x √---- √ ----x √---- ( 2023+ 2022)− ( 2023− 2022) = 8088

Источники: БИБН-2023, 11.2 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Уравнение выглядит как-то пугающе и, наверное, классические методы решения здесь не подойдут. Попробуйте как-то поисследовать функцию в левой части уравнения.

Подсказка 2

Если исследовать функцию в левой части уравнения на монотонность, то можно понять, что она возрастает на всей области определения.

Подсказка 3

Левая часть уравнения возрастает, а правая - константа. Это говорит о единственности корня, который можно попробовать угадать.

Показать ответ и решение

Заметим, что $√8088-=2√2022,$ отсюда нетрудно видеть, что $x= 1$ является решением. Далее покажем, что функция в левой части строго возрастает на всей числовой прямой. Действительно, мы видим разность возрастающей (основание больше 1) и убывающей (основание меньше 1) показательных функций, которая строго возрастает. Отсюда равенство имеет не более одного решения, которое уже было найдено.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#74464Максимум баллов за задание: 7

Решите неравенство

2 f(f(x))<(f(x)) ,

где $f(x)= 2x2 − 1.$

Источники: БИБН-2022, 11.1 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно, конечно, сходу подставить ƒ(x) в наше неравенство. Но можно чуть-чуть облегчить себе жизнь и сделать замену ƒ(x)=y. Какое неравенство при этом получится?

Подсказка 2

Верно, y²<1! Тогда y лежит между -1 и 1. Сделайте обратную замену и найдите x, которые будут удовлетворять неравенствам.

Показать ответ и решение

Пусть $y =f(x)= 2x2− 1.$ Тогда по условию

2 2 2y − 1 <y

− 1< y < 1

После обратной замены

0 <2x2 < 2

0< |x|< 1

Ответ:

$(−1;0)∪ (0;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#74467Максимум баллов за задание: 7

Числа $x,y$ удовлетворяют уравнению

∘ -3--- ∘ -3--- ∘-3--- ∘-3--- x +y + y +x = x + x+ y + y

Можно ли утверждать, что $x= y?$

Источники: БИБН-2022, 11.3 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как говорится, начнем с ОДЗ. Видно, что нам хватит того, что x,y≥0. Тогда мы можем с чистой совестью возвести обе части в квадрат. Что останется после приведения подобных?

Подсказка 2

Верно, √(x³y³+xy+x⁴+y⁴)=√(x³y³+xy+xy³+x³y)! Можно еще раз возвести в квадрат. Кажется, что после приведения подобных отлично выносится (x-y)...

Подсказка 3

Действительно, x⁴+y⁴-x³y-xy³=(x-y)²(x²+xy+y²). Подумайте, при каких x и y наше выражение обращается в 0 и завершите решение!

Показать ответ и решение

Сначала исследуем ОДЗ переменных. Поскольку

3 ( 2 ) x + x≥ 0⇔ x x + 1 ≥0,

то $x≥ 0.$ Аналогично, $y ≥0.$ Таким образом, для неотрицательных $x,y$ обе части неравенства имеют смысл и неотрицательны. Поэтому возведение в квадрат обеих частей приводит к равносильному выражению, которое, (после сокращения) запишется так:

∘ -3-3------4---4 ∘-3-3-------3---4- x y +xy +x + y = x y + xy+xy + x y

После возведения в квадрат и уничтожения подобных членов оно примет вид:

4 4 3 3 x +y − xy − xy =0

x3(x− y)− y3(x − y)= 0

(x− y)(x3− y3)= 0

(x − y)2(x2 +xy+ y2)=0

[ [ x− y =0 ⇔ x =y x2 +xy+ y2 = 0 x =y =0

Второе выражения это верно, т.к. $x ≥0$ и $y ≥ 0.$

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#94265Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

( 4 ) √3-- ∘3--- ∘3--- 3∘ ------ x + x+ 1( 80 − 0,01)= 2( 5,12+ 0,03375)

Источники: БИБН - 2021, 11.1 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что решать в лоб данное уравнение, сначала поделив на константу, равную второй скобке, как-то очень грустно (оно даже не биквадратное). Впрочем, если вы знаете метод Феррари, то можно сойти с ума, но сделать. Но лучше посмотрим на числа. Не просто же так, наверное, дали ровно такие числа. Может быть это какие-то хорошие числа. Вот 5,12 - это по сути 8³, но разделённое на 100. Подождите, но ведь 80 это…

Подсказка 2

80 это 20³ разделенное на 100. Что тогда нужно сделать, чтобы привести все константы к нормальному виду, если они тут так красиво подобраны?

Подсказка 3

Надо домножить всё уравнение на кубический корень из 100, ведь тогда получится, что 19 сократится в обеих частях и выйдет очень даже решаемое уравнение четвёртой степени. Победа!

Показать ответ и решение

Умножим обе части уравнения на $√3100-:$

( 4 ) 3√---- 3√- 3√ --- 3∘ ---- x +x +1 ( 8000− 1)= 2( 512+ 3,375)

( 4 ) 19⋅ x +x +1 = 2(8 +1,5)

4 x + x+ 1= 1

x (x3+ 1)= 0

Таким образом, $x1 = 0,x2 = −1$ .

Ответ: -1; 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#77813Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

10 4 2 x − 3x + x + 1= 0.

Источники: БИБН-2020, 11.1 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так, чётные степени дали нам явно неспроста, явно намёк за замену. После замены у такой страшной штуки имеет смысл поугадывать корни. Какой корень мы обычно в таких случаях проверяем в первую очередь?

Подсказка 2

Верно, 1 подходит! А теперь, после того, как корни, равные 1, мы вытащили, посмотрите внимательно на оставшийся многочлен. Что можно сказать про его корни? Не забывайте про замену, которую мы сделали в начале и то, какие ограничения она накладывает на новую переменную!

Показать ответ и решение

Сделаем замену: $t= x2,t≥ 0.$ Получим, уравнение:

5 2 t− 3t+ t+ 1= 0

Заметим, что $t= 1$ является корнем и разделив уравнение на $(t− 1),$ получим следующее:

(t− 1)(t4+ t3+ t2 − 2t− 1) =0

Многочлен $t4+ t3+ t2− 2t− 1$ также имеет корень $t=1.$ После деления этого многочлена на $(t− 1)$ получаем уравнение:

(t− 1)2(t3 +2t2+3t+ 1)=0

Многочлен $t3+ 2t2+ 3t+1$ имеет только положительные коэффициенты и поэтому у него нет неотрицательных корней. Таким образом, $t=1$ $−$ единственный корень (кратности $2$ ) и, возвращаясь к переменной $x,$ получаем два корня $x =±1.$

Ответ:

$±1$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#108446Максимум баллов за задание: 7

На координатной плоскости построен график $y = 2020 x$ . Сколько на графике точек, касательная в которых пересекает обе координатные оси в точках с целыми координатами?

Источники: БИБН-2020, 11.5 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Воспольемся уравнением касательной к графику функции. Если касательная пересекает ось Ox в точке (a, 0), а ось Oy в (0, b), то а и b должны быть целыми. Хм.. Как связаны a, b и х0?

Подсказка 2

Подумайте, при каких x₀ числа a и b станут целыми. И раз речь идет о целых, может это связано с делителями 2020?

Показать ответ и решение

Уравнение касательной в точке ( $x ,y 0 0$ ) к гиперболе $y = k∕x$ имеет вид

( 2) y− y0 = − k∕x0 (x − x0),

где $y = k∕x 0 0$ . Из этого уравнения получаются координаты $x 1$ и $y 1$ точек пересечения с осями О $x$ и О $y$ , а именно, $x =2x 1 0$ и $y = 2y 1 0$ . Значит, $2x 0$ — целое число. Пусть $n = 2x 0$ . Тогда

y1 = 2y0 =2k∕x0 = 4k∕n.

Таким образом, $n$ может принимать значение любого делителя числа $4k$ . При $k = 2020$ нам требуется найти количество целых делителей числа

4 4⋅2020= 8080= 2 ⋅5⋅101.

Количество натуральных делителей этого числа равно $20= (4+1)(1 +1)(1+ 1)$ (здесь мы подсчитали количество натуральных делителей, используя степени простых чисел в разложении числа 8080 на простые множители). С учетом отрицательных делителей (соответствующих точкам касания в третьей четверти) получим удвоенное количество, т.е. всего 40 точек.

Ответ: 40