Тема БИБН (Будущие исследователи - будущее науки)

Уравнения, неравенства и функции на БИБНе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела бибн (будущие исследователи - будущее науки)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#103847

Для данного треугольника $ABC$ с соответствующими сторонами $a,b,c$ рассматривают уравнение $ax4+ bx= c$ . Докажите, что у этого уравнения ровно два корня, они разных знаков, причём отрицательный корень по модулю больше положительного.

Показать доказательство

Так как $a,b,c$ являются сторонами треугольника, то они положительны. Поэтому $y = ax4$ это парабола 4 степени ветвями вверх, а $y =c− bx$ это прямая с отрицательным угловым коэффициентом, которая проходит через точки $(0;c)$ и $c (b;0).$ Нарисуем графики:

$PIC$

Очевидно, что две данные функции имеют две точки пересечения. Обозначим их абсциссы за $x1 < 0< x2$ (уже очевидно из графика, что корни разных знаков), а ординаты за $y1$ и $y2.$ Из подобных прямоугольных треугольников видно, что $y1 > y2,$ поэтому

1√ -- 1√-- |x1|= a 4y1 < a 4y2 = |x2|

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#103848

а) Определите количество положительных корней уравнения $9⋅x6x = 1$ ;

б) есть ли у этого уравнения отрицательные корни?

Показать ответ и решение

а) По основному логарифмическому тождеству уравнение равносильно

6xlnx 9e = 1

6xlnx =ln1 9

1 1 x lnx= 3 ln 3

Производная функции $y(x)= xlnx$ равна $1 lnx+ xx =lnx+ 1,$ поэтому функция убывает при $1 lnx≤ −1 ⇐⇒ 0< x≤ e$ и возрастает при $1 x≥ e.$

В точке минимума значение функции равно $1 1 1 e ⋅(−1)< 3ln3,$ так как $− 3= −3lne< −3ln3< −eln3,$ поэтому функция достигает значение $1 1 3ln 3$ по одному разу левее и правее точки минимума (для обоснования стоит ещё упомянуть непрерывность функции и её неограниченность слева и справа от точки минимума);

б) возведение произвольного отрицательного числа в произвольную отрицательную степень не имеет смысла (не определено однозначно), потому что нарушаются свойства степеней. Например, $(−1)−1 = −11 =− 1,$ но при этом $( )−1 −1 (−1)−1 = (−1)2 2 =1 2 = 1√1 = 1.$

Ответ:

а) 2;

б) нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#79611

(a) Изобразите на координатной плоскости множество $A$ , заданное неравенством

2 2 x y < 2− xy

(b) Докажите, что любые две точки множества $A$ можно соединить внутри $A$ либо отрезком, либо ломаной из двух звеньев.

Источники: БИБН - 2024, 11.3 (см. www.unn.ru)

Показать ответ и решение

(a) Решим неравенство относительно замены $t= xy$

2 t + t− 2 <0 ⇐ ⇒ t∈ (− 2,1)

То есть $xy ∈(−2,1)$

В случаях $x,y > 0$ и $x,y < 0$ в первой четверти получаем часть плоскости под графиком $y = 1 x$ , а в третьей четверти часть плоскости над этим графиком.

В случае $x<,y > 0$ во второй четверти неравенству удовлетворяет часть плоскости под графиком $2 y = −x$ , а в четвертой — часть плоскости над этим графиком.

$PIC$

(b) Приведем явный алгоритм соединения двух точек получившегося множества $A$ . Будем соединять любые две точки $B$ и $D$ через точку $(0,0)$ . Для этого надо показать, что любая прямая, соединяющая точку множества и $(0,0)$ , лежит в множестве. Заметим, что при приближении из $B = (x0,y0)$ в $(0,0)$ по прямой произведение $xy$ по модулю уменьшается, а значит, если точка $B$ из множества, то и прямая из нее в $(0,0)$ тоже. Тем самым показали, что соединять $B$ и $D$ можно соединением $B$ с $(0,0)$ и $D$ c $(0,0).$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#68260

Решите уравнение

√ ---- √----x √---- √ ----x √---- ( 2023+ 2022)− ( 2023− 2022) = 8088

Источники: БИБН-2023, 11.2 (см. www.unn.ru)

Показать ответ и решение

Заметим, что $√8088-=2√2022,$ отсюда нетрудно видеть, что $x= 1$ является решением. Далее покажем, что функция в левой части строго возрастает на всей числовой прямой. Действительно, мы видим разность возрастающей (основание больше 1) и убывающей (основание меньше 1) показательных функций, которая строго возрастает. Отсюда равенство имеет не более одного решения, которое уже было найдено.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#74464

Решите неравенство

2 f(f(x))<(f(x)) ,

где $f(x)= 2x2 − 1.$

Источники: БИБН-2022, 11.1 (см. www.unn.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $y =f(x)= 2x2− 1.$ Тогда по условию

2 2 2y − 1 <y

− 1< y < 1

После обратной замены

0 <2x2 < 2

0< |x|< 1

Ответ:

$(−1;0)∪ (0;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#74467

Числа $x,y$ удовлетворяют уравнению

∘ -3--- ∘ -3--- ∘-3--- ∘-3--- x +y + y +x = x + x+ y + y

Можно ли утверждать, что $x= y?$

Источники: БИБН-2022, 11.3 (см. www.unn.ru)

Показать ответ и решение

Сначала исследуем ОДЗ переменных. Поскольку

3 ( 2 ) x + x≥ 0⇔ x x + 1 ≥0,

то $x≥ 0.$ Аналогично, $y ≥0.$ Таким образом, для неотрицательных $x,y$ обе части неравенства имеют смысл и неотрицательны. Поэтому возведение в квадрат обеих частей приводит к равносильному выражению, которое, (после сокращения) запишется так:

∘ -3-3------4---4 ∘-3-3-------3---4- x y +xy +x + y = x y + xy+xy + x y

После возведения в квадрат и уничтожения подобных членов оно примет вид:

4 4 3 3 x +y − xy − xy =0

x3(x− y)− y3(x − y)= 0

(x− y)(x3− y3)= 0

(x − y)2(x2 +xy+ y2)=0

[ [ x− y =0 ⇔ x =y x2 +xy+ y2 = 0 x =y =0

Второе выражения это верно, т.к. $x ≥0$ и $y ≥ 0.$

Ответ: да

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#94265

Решите уравнение

( 4 ) √3-- ∘3--- ∘3--- 3∘ ------ x + x+ 1( 80 − 0,01)= 2( 5,12+ 0,03375)

Источники: БИБН - 2021, 11.1 (см. www.unn.ru)

Показать ответ и решение

Умножим обе части уравнения на $√3100-:$

( 4 ) 3√---- 3√- 3√ --- 3∘ ---- x +x +1 ( 8000− 1)= 2( 512+ 3,375)

( 4 ) 19⋅ x +x +1 = 2(8 +1,5)

4 x + x+ 1= 1

x (x3+ 1)= 0

Таким образом, $x1 = 0,x2 = −1$ .

Ответ: -1; 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#77813

Решите уравнение

10 4 2 x − 3x + x + 1= 0.

Источники: БИБН-2020, 11.1 (см. www.unn.ru)

Показать ответ и решение

Сделаем замену: $t= x2,t≥ 0.$ Получим, уравнение:

5 2 t− 3t+ t+ 1= 0

Заметим, что $t= 1$ является корнем и разделив уравнение на $(t− 1),$ получим следующее:

(t− 1)(t4+ t3+ t2 − 2t− 1) =0

Многочлен $t4+ t3+ t2− 2t− 1$ также имеет корень $t=1.$ После деления этого многочлена на $(t− 1)$ получаем уравнение:

(t− 1)2(t3 +2t2+3t+ 1)=0

Многочлен $t3+ 2t2+ 3t+1$ имеет только положительные коэффициенты и поэтому у него нет неотрицательных корней. Таким образом, $t=1$ $−$ единственный корень (кратности $2$ ) и, возвращаясь к переменной $x,$ получаем два корня $x =±1.$

Ответ:

$±1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#108446

На координатной плоскости построен график $y = 2020 x$ . Сколько на графике точек, касательная в которых пересекает обе координатные оси в точках с целыми координатами?

Источники: БИБН-2020, 11.5 (см. www.unn.ru)

Показать ответ и решение

Уравнение касательной в точке ( $x ,y 0 0$ ) к гиперболе $y = k∕x$ имеет вид

( 2) y− y0 = − k∕x0 (x − x0),

где $y = k∕x 0 0$ . Из этого уравнения получаются координаты $x 1$ и $y 1$ точек пересечения с осями О $x$ и О $y$ , а именно, $x =2x 1 0$ и $y = 2y 1 0$ . Значит, $2x 0$ — целое число. Пусть $n = 2x 0$ . Тогда

y1 = 2y0 =2k∕x0 = 4k∕n.

Таким образом, $n$ может принимать значение любого делителя числа $4k$ . При $k = 2020$ нам требуется найти количество целых делителей числа

4 4⋅2020= 8080= 2 ⋅5⋅101.

Количество натуральных делителей этого числа равно $20= (4+1)(1 +1)(1+ 1)$ (здесь мы подсчитали количество натуральных делителей, используя степени простых чисел в разложении числа 8080 на простые множители). С учетом отрицательных делителей (соответствующих точкам касания в третьей четверти) получим удвоенное количество, т.е. всего 40 точек.

Ответ: 40