Тема БИБН (Будущие исследователи - будущее науки)

Уравнения и неравенства на БИБНе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела бибн (будущие исследователи - будущее науки)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#79611

(a) Изобразите на координатной плоскости множество $A$ , заданное неравенством

2 2 x y < 2− xy

(b) Докажите, что любые две точки множества $A$ можно соединить внутри $A$ либо отрезком, либо ломаной из двух звеньев.

Источники: БИБН - 2024, 11.3 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Пункт а, подсказка 1

Мы имеем что-то похожее на квадратное неравенство. Без зазрения совести обозначим xy за t. Надо решить неравенство t²+t-2<0. Какое неравенство для xy это даст?

Пункт а, подсказка 2

Верно, -2<xy<1. Рассмотрите отдельно случаи xy>0 и xy<0 и постройте нужное множество.

Пункт б, подсказка 1

Будем надеется, что эти гиперболы мы не просто так рисовали. С точками, которые можно соединить отрезком все как-то мутно, а вот с ломанными все гораздо веселее. Хочется упростить себе задачу и не думать о совсем произвольной ломанной, а, например, с фиксированной точкой...

Пункт б, подсказка 2

Предлагаю доказать, что мы можем просто соединить любую точку с точкой (0,0), откуда все и будет следовать. Но доказать это вам придется самостоятельно...

Пункт б, подсказка 3

Ладно уж, застыдили! Посмотрите, что происходит с модулем значения xy, при приближении к точке (0,0), и с помощью этого докажите, что если X лежит в нашем множестве, то и отрезок XO тоже.

Показать ответ и решение

(a) Решим неравенство относительно замены $t= xy$

2 t + t− 2 <0 ⇐ ⇒ t∈ (− 2,1)

То есть $xy ∈(−2,1)$

В случаях $x,y > 0$ и $x,y < 0$ в первой четверти получаем часть плоскости под графиком $y = 1 x$ , а в третьей четверти часть плоскости над этим графиком.

В случае $x<,y > 0$ во второй четверти неравенству удовлетворяет часть плоскости под графиком $2 y = −x$ , а в четвертой — часть плоскости над этим графиком.

$PIC$

(b) Приведем явный алгоритм соединения двух точек получившегося множества $A$ . Будем соединять любые две точки $B$ и $D$ через точку $(0,0)$ . Для этого надо показать, что любая прямая, соединяющая точку множества и $(0,0)$ , лежит в множестве. Заметим, что при приближении из $B = (x0,y0)$ в $(0,0)$ по прямой произведение $xy$ по модулю уменьшается, а значит, если точка $B$ из множества, то и прямая из нее в $(0,0)$ тоже. Тем самым показали, что соединять $B$ и $D$ можно соединением $B$ с $(0,0)$ и $D$ c $(0,0).$

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#68260

Решите уравнение

√ ---- √----x √---- √ ----x √---- ( 2023+ 2022)− ( 2023− 2022) = 8088

Источники: БИБН-2023, 11.2 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Уравнение выглядит как-то пугающе и, наверное, классические методы решения здесь не подойдут. Попробуйте как-то поисследовать функцию в левой части уравнения.

Подсказка 2

Если исследовать функцию в левой части уравнения на монотонность, то можно понять, что она возрастает на всей области определения.

Подсказка 3

Левая часть уравнения возрастает, а правая - константа. Это говорит о единственности корня, который можно попробовать угадать.

Показать ответ и решение

Заметим, что $√8088-=2√2022,$ отсюда нетрудно видеть, что $x= 1$ является решением. Далее покажем, что функция в левой части строго возрастает на всей числовой прямой. Действительно, мы видим разность возрастающей (основание больше 1) и убывающей (основание меньше 1) показательных функций, которая строго возрастает. Отсюда равенство имеет не более одного решения, которое уже было найдено.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#74464

Решите неравенство

2 f(f(x))<(f(x)) ,

где $f(x)= 2x2 − 1.$

Источники: БИБН-2022, 11.1 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно, конечно, сходу подставить ƒ(x) в наше неравенство. Но можно чуть-чуть облегчить себе жизнь и сделать замену ƒ(x)=y. Какое неравенство при этом получится?

Подсказка 2

Верно, y²<1! Тогда y лежит между -1 и 1. Сделайте обратную замену и найдите x, которые будут удовлетворять неравенствам.

Показать ответ и решение

Пусть $y =f(x)= 2x2− 1.$ Тогда по условию

2 2 2y − 1 <y

− 1< y < 1

После обратной замены

0 <2x2 < 2

0< |x|< 1

Ответ:

$(−1;0)∪ (0;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#74467

Числа $x,y$ удовлетворяют уравнению

∘ -3--- ∘ -3--- ∘-3--- ∘-3--- x +y + y +x = x + x+ y + y

Можно ли утверждать, что $x= y?$

Источники: БИБН-2022, 11.3 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как говорится, начнем с ОДЗ. Видно, что нам хватит того, что x,y≥0. Тогда мы можем с чистой совестью возвести обе части в квадрат. Что останется после приведения подобных?

Подсказка 2

Верно, √(x³y³+xy+x⁴+y⁴)=√(x³y³+xy+xy³+x³y)! Можно еще раз возвести в квадрат. Кажется, что после приведения подобных отлично выносится (x-y)...

Подсказка 3

Действительно, x⁴+y⁴-x³y-xy³=(x-y)²(x²+xy+y²). Подумайте, при каких x и y наше выражение обращается в 0 и завершите решение!

Показать ответ и решение

Сначала исследуем ОДЗ переменных. Поскольку

3 ( 2 ) x + x≥ 0⇔ x x + 1 ≥0,

то $x≥ 0.$ Аналогично, $y ≥0.$ Таким образом, для неотрицательных $x,y$ обе части неравенства имеют смысл и неотрицательны. Поэтому возведение в квадрат обеих частей приводит к равносильному выражению, которое, (после сокращения) запишется так:

∘ -3-3------4---4 ∘-3-3-------3---4- x y +xy +x + y = x y + xy+xy + x y

После возведения в квадрат и уничтожения подобных членов оно примет вид:

4 4 3 3 x +y − xy − xy =0

x3(x− y)− y3(x − y)= 0

(x− y)(x3− y3)= 0

(x − y)2(x2 +xy+ y2)=0

[ [ x− y =0 ⇔ x =y x2 +xy+ y2 = 0 x =y =0

Второе выражения это верно, т.к. $x ≥0$ и $y ≥ 0.$

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#94265

Решите уравнение

( 4 ) √3-- ∘3--- ∘3--- 3∘ ------ x + x+ 1( 80 − 0,01)= 2( 5,12+ 0,03375)

Источники: БИБН - 2021, 11.1 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что решать в лоб данное уравнение, сначала поделив на константу, равную второй скобке, как-то очень грустно (оно даже не биквадратное). Впрочем, если вы знаете метод Феррари, то можно сойти с ума, но сделать. Но лучше посмотрим на числа. Не просто же так, наверное, дали ровно такие числа. Может быть это какие-то хорошие числа. Вот 5,12 - это по сути 8³, но разделённое на 100. Подождите, но ведь 80 это…

Подсказка 2

80 это 20³ разделенное на 100. Что тогда нужно сделать, чтобы привести все константы к нормальному виду, если они тут так красиво подобраны?

Подсказка 3

Надо домножить всё уравнение на кубический корень из 100, ведь тогда получится, что 19 сократится в обеих частях и выйдет очень даже решаемое уравнение четвёртой степени. Победа!

Показать ответ и решение

Умножим обе части уравнения на $√3100-:$

( 4 ) 3√---- 3√- 3√ --- 3∘ ---- x +x +1 ( 8000− 1)= 2( 512+ 3,375)

( 4 ) 19⋅ x +x +1 = 2(8 +1,5)

4 x + x+ 1= 1

x (x3+ 1)= 0

Таким образом, $x1 = 0,x2 = −1$ .

Ответ: -1; 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#77813

Решите уравнение

10 4 2 x − 3x + x + 1= 0.

Показать ответ и решение

Сделаем замену: $t= x2,t≥ 0.$ Получим, уравнение:

5 2 t− 3t+ t+ 1= 0

Заметим, что $t= 1$ является корнем и разделив уравнение на $(t− 1),$ получим следующее:

(t− 1)(t4+ t3+ t2 − 2t− 1) =0

Многочлен $t4+ t3+ t2− 2t− 1$ также имеет корень $t=1.$ После деления этого многочлена на $(t− 1)$ получаем уравнение:

(t− 1)2(t3 +2t2+3t+ 1)=0

Многочлен $t3+ 2t2+ 3t+1$ имеет только положительные коэффициенты и поэтому у него нет неотрицательных корней. Таким образом, $t=1$ $−$ единственный корень (кратности $2$ ) и, возвращаясь к переменной $x,$ получаем два корня $x =±1.$

Ответ:

$±1$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел