Тема Дифференциальные уравнения

05 Уравнения с разделяющимися переменными

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дифференциальные уравнения

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#57633

Решить уравнение с разделяющимися переменными

∘ ------ y2 + 1dx = xydy

Показать ответ и решение

Итак, разделим переменные, чтобы левая часть включала в себя только выражения с иксом, а правая - с игреком. Для этого наше уравнение нужно поделить на $x$ и на $∘ -2---- y + 1$ . Получим:

dx ydy ---= ∘--2---- x y + 1

Теперь можно проинтегрировать обе части:

∫ dx ∫ ydy -x-= ∘--2---- y + 1

И тогда получаем

∘ ------ ln|x|+ C = y2 + 1

Выражая игрек как функцию от $x$ , будем иметь:

∘ ------------------------- 2 2 y(x) = ± ln |x|+ 2C ln|x|+ C − 1

При решении мы делили на $∘ ------ y2 + 1$ - но это выражение никогда не равно нулю, а также на $x$ , следовательно, в нашей найденной функции $∘ ------------------------- 2 2 y(x) = ± ln |x|+ 2C ln |x|+ C − 1$ мы предполагаем, что $x ⁄= 0$ . Таким образом, можно записать ответ:

∘ -2----------------------- y(x) = ± ln |x|+ 2C ln |x|+ C2 − 1, при x ⁄= 0, C ∈ ℝ − лю бое

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#57634

Решить уравнение с разделяющимися переменными

y 2 y′ +-----= ----- ctgx ctg x

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в более удобном виде, учитывая что $y ′(x) = ddyx$ :

dy y 2 ---+ -----= ----- dx ctg x ctgx

Далее, перенесем в правую часть одно из слагаемых:

dy- 2-−-y dx = ctg x

И нетрудно видеть, что чтобы разделить переменные, нужно разделить уравнение на $2 − y$ и умножить на $dx$ :

dy dx -----= ----- 2− y ctg x

Теперь можем проинтегрировать обе части, только учтём, что $dx ctgx = dxtgx$ :

∫ ∫ -dy-- -dx-- 2− y = ctgx

И получаем:

− ln |2 − y| = − ln|cosx |+ C

− ln |2 − y| = − ln(e−C|cos x|), обозначим e− C = C1

Потенцируя, имеем:

2− y = C1 cosx

Откуда

y = 2 − C1 cosx

В процессе решения мы делили на $2 − y$ , поэтому нужно проверить, является ли константная функция $y ≡ 2$ решением исходного уравнения

′ y 2 y + ctgx-= ctg-x-

Если $y ≡ 2$ , то $′ y ≡ 0$ , как производная константы, и тогда остаётся $-2-- -2-- ctgx = ctgx$ - верное равенство! Следовательно, решение $y ≡ 2$ тоже нужно записать отдельно в ответ. Таким образом, имеем ответ:

⌊ ⌈y = 2− C1 cosx, при лю бом C1 ∈ ℝ,; y(x) ≡ 2;

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания