Перепишем уравнение в более удобном виде, учитывая что $y ′(x) = ddyx$ :

dy y 2 ---+ -----= ----- dx ctg x ctgx

Далее, перенесем в правую часть одно из слагаемых:

dy- 2-−-y dx = ctg x

И нетрудно видеть, что чтобы разделить переменные, нужно разделить уравнение на $2 − y$ и умножить на $dx$ :

dy dx -----= ----- 2− y ctg x

Теперь можем проинтегрировать обе части, только учтём, что $dx ctgx = dxtgx$ :

∫ ∫ -dy-- -dx-- 2− y = ctgx

И получаем:

− ln |2 − y| = − ln|cosx |+ C

− ln |2 − y| = − ln(e−C|cos x|), обозначим e− C = C1

Потенцируя, имеем:

2− y = C1 cosx

Откуда

y = 2 − C1 cosx

В процессе решения мы делили на $2 − y$ , поэтому нужно проверить, является ли константная функция $y ≡ 2$ решением исходного уравнения

′ y 2 y + ctgx-= ctg-x-

Если $y ≡ 2$ , то $′ y ≡ 0$ , как производная константы, и тогда остаётся $-2-- -2-- ctgx = ctgx$ - верное равенство! Следовательно, решение $y ≡ 2$ тоже нужно записать отдельно в ответ. Таким образом, имеем

⌊ ⌈y = 2− C1 cosx, при лю бом C1 ∈ ℝ,; y(x) ≡ 2;

05 Уравнения с разделяющимися переменными