05 Уравнения с разделяющимися переменными

Итак, разделим переменные, чтобы левая часть включала в себя только выражения с иксом, а правая - с игреком. Для этого наше уравнение нужно поделить на и на . Получим:

Теперь можно проинтегрировать обе части:

И тогда получаем

Выражая игрек как функцию от , будем иметь:

При решении мы делили на - но это выражение никогда не равно нулю, а также на , следовательно, в нашей найденной функции мы предполагаем, что . Таким образом, можно записать ответ:

Перепишем уравнение в более удобном виде, учитывая что :

Далее, перенесем в правую часть одно из слагаемых:

И нетрудно видеть, что чтобы разделить переменные, нужно разделить уравнение на и умножить на :

Теперь можем проинтегрировать обе части, только учтём, что :

И получаем:

Далее, упрощаем: , и, таким образом, получаем:

Потенцируя, имеем:

Откуда

В процессе решения мы делили на , поэтому нужно проверить, является ли константная функция решением исходного уравнения

Если , то , как производная константы, и тогда остаётся - верное равенство! Следовательно, решение тоже нужно записать отдельно в ответ. Таким образом, имеем ответ: