Тема Дифференциальные уравнения

03 Однородные уравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дифференциальные уравнения

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#57635

Решить однородное дифференциальное уравнение

xdy = (x + y)dx

Показать ответ и решение

Вначале проверим, что оно однородное: если умножить $x$ и $y$ на одно и то же число $k$ , то будет:

kxdy = (kx + ky)dx, k(xdy ) = k(x + y)dy

И действительно мы видим, что это $k$ выносится из всего уравнения в первой степени. То есть оно однородное по определению.

Следовательно, нужно применить замену $z = yx$ , то есть $y = zx$ , тогда $dy = zdx + xdz$ , и мы будем иметь:

x(zdx+ xdz ) = (x + zx)dx

После раскрытия скобок и сокращения, получается:

2 x dz = xdx

Это уравнение с разделяющимися переменными, и после деления на $2 x$ получаем:

dx- dz = x

То есть, можно проинтегрировать: $∫ ∫ dz = dx x$ , и имеем $z = ln |x|+ C$ , причём, раз мы делили на $2 x$ , то мы предполагаем, что $x ⁄= 0$ . Тогда, делая обратную замену, получаем: $y x = ln|x|+ C$ , следовательно, ответ будет таким:

y = xln |x|+ xC, где C ∈ ℝ − л юбое ,x ⁄= 0

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#57636

Решить однородное дифференциальное уравнение

dy xy ---= --2---2 dx x − y

Показать ответ и решение

Видно, что это уравнение действительно однородное, поскольку при домножении $x$ и $y$ на одно и то же число $k$ , оно в числителе и в знаменателе вынесется в квадрате, и, значит, просто сократится. То есть оно однородное для $p = 0$ - при домножении на $k$ это $k$ выносится в нулевой степени из всего уравнения.

Таким образом, делаем замену $z = y x$ , то есть $y = zx$ , тогда $dy = zdx+ xdz$ , и мы будем иметь:

zdx + xdz x2z 2 2 3 3 3 2 2 ----dx---- = x2 −-x2z2, zx dx − x z dx + x dz − x z dz = x zdx,

x3(1− z2)dz = x2z3dx

Теперь, осталось разделить переменные, поделив обе части на $3 x$ и на $3 z$ :

(1-−-z2)dz dx- z3 = x

Интегрируя, получаем:

∫ ∫ (1-−-z2)dz = dx- z3 x

− -1--− ln |z| = ln|x|+ C 2z2

И возвращаясь к переменной $y$ , имеем:

x2 y − 2y2 − ln |x-| = ln|x|+ C

Переменную $y$ как функцию $y = y(x )$ мы здесь явно не выразим, поэтому оставим ответ в таком виде. Мы делили на $x3$ , поэтому предполагаем теперь, что $x ⁄= 0$ . Кроме того, мы делили на $z3 = yx$ и поэтому могли потерять решение $y ≡ 0$ .

Нетрудно видеть, что $y ≡ 0$ - тоже будет решением, поскольку левая часть исходного уравнения зануляется, как производная константы, а правая часть зануляется из-за того, что там $y$ входит в числитель как множитель. Таким образом, можем окончательно записать ответ: