Тема Тождественные преобразования

Действия с числами, составление уравнений и формулы сокращённого умножения

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела тождественные преобразования
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#119819

Про действительные числа a,b,c,d  известно, что

ab =cd= 2025,  a+c =b+ d, a+ b⁄= c+ d

Чему может быть равно значение a +b+ c+d?

Источники: Турнир Ломоносова - 2025, 11.1(см. turlom.olimpiada.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем сделать какое-то преобразование, чтобы объединить все данные из условия. С помощью чего мы можем связать сумму и произведение чисел?

Подсказка 2

Верно, с помощью возведения в квадрат! Кстати, что нам известно про числа a-b и d-c?

Подсказка 3

Да, они равны! А значит, равны и их квадраты! Попробуйте из этого равенства вывести равенство квадратов a+b и c+d.

Показать ответ и решение

Поскольку a+ c=b+ d,  то a− b= d− c.  Отсюда

     2      2
(a − b) = (d− c)

 2  2       2   2
a + b− 2ab= c+ d − 2cd

Так как ab= cd,  добавим к обеим частям равенства 4ab:

a2+b2− 2ab+ 4ab= c2+ d2− 2cd+ 4ab= c2+ d2− 2cd+ 4cd

a2+ b2+ 2ab= c2+ d2+ 2cd

(a +b)2 = (d+ c)2

|a +b|= |d+ c|

По условию a+ b⁄= c+d,  поэтому

a+ b= −c− d

Итак,

a+ b+ c+d =− c− d +c+ d= 0
Ответ:

Только 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#127168

Найдите значения числового выражения, выполнив соответствующие преобразования: (2− 1)(2+ 1)(22+ 1)(24+ 1)(28+ 1)− 216.

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой (a− b)(a +b)= a2 − b2:

           2    4     8      16   2     2    4     8      16
(2− 1)(2+ 1)(2 + 1)(2 +1)(2 + 1)− 2 = (2 − 1)(2 + 1)(2 +1)(2 + 1)− 2 =

   4     4     8      16    8    8      16   16     16
= (2 − 1)(2 + 1)(2 +1)− 2 =(2 − 1)(2 +1)− 2 = 2  − 1 − 2 = −1
Ответ:

− 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#127169

Известно, что x⁄= y,x2− 2019x= y2− 2019y.  Чему может быть равно x+ y?

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой разности квадратов:

 2        2
x − 2019x= y − 2019y

 2  2
x − y = 2019x − 2019y

(x− y)(x+ y)=2019(x − y)

Так как x⁄= y,  x− y ⁄= 0.  Поделим уравнение на x − y,  получим x+ y = 2019.

Ответ:

 2019

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#127172

Простым или составным является число 200002− 39999?

Показать ответ и решение

Выделим полный квадрат:

    2            2                     2      2
20000 − 39999= 20000 − 2⋅20000+ 1= (20000− 1) = 19000
Ответ:

Составным

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#127173

Решите уравнение

 2 2      2
x y + 17 +x − 8xy+2x =0.
Показать ответ и решение

Выделим полные квадраты

2 2      2
xy + 17+x  − 8xy+ 2x= 0

   2           2  2          2
(xy) − 2⋅xy⋅4+ 4 +x +2⋅x⋅1+ 1 = 0

(xy − 4)2+(x+ 1)2 =0

Так как квадраты неотрицательны, то выражение равно 0, тогда и только, когда каждое из слагаемых равно 0, то есть

{
  (xy− 4)2 = 0
  (x+ 1)2 = 0

{
  x = −1
  y =− 4
Ответ:

 (−1;−4)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#127174

Два различных числа таковы, что квадрат разности их кубов равен кубу разности их квадратов. Докажите, что одно из чисел равно 0.

Показать доказательство

Пусть даны различные числа a  и b  :

  3  3 2   2   23
(a − b ) = (a − b)

       2      2 2            3
((a− b)(a +ab+ b )) − ((a− b)(a+b)) =0

(a− b)2((a2+ ab+ b2)2− (a− b)(a +b)3)= 0

Поделим уравнение на (a− b)2 ⁄= 0  :

(a2+ ab+b2)2 − (a− b)(a+b)3 = 0

a4+3a2b2+b4+ 2a3b+ 2ab3− (a2− b2)(a2+ 2ab+ b2)=0

3a2b2 +2b4+ 4ab3 = 0

 2  2       2
b (3a + 4ab+ 2b)= 0

2  2       2
b(a +2(a+ b) )= 0

[ b2 = 0
  a2+ 2(a +b)2 = 0

По условию a  и b  различны, так что a2+ 2(a +b)2 ⁄= 0.  Получаем b= 0.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#127178

Пусть a  и b  — целые числа. Докажите, что если a2+ 9ab+b2  делится на 11,  то и a2− b2  делится на 11.

Показать ответ и решение

Выделим полный квадрат:

 2       2  2       2            2
a + 9ab+ b = a − 2ab+ b+ 11ab =(a− b) + 11ab

По условию

     2
(a− b) + 11ab

кратно 11, кроме того и 11ab  тоже кратно 11. Значит, (a− b)2  тоже обязано быть кратно 11. Так как 11 — это простое число, то это означает, что a− b  кратно 11.

Теперь распишем a2− b2  как разность квадратов и получим (a− b)(a+ b)  , а, так как ранее определили, что множитель a− b  кратен 11, то и все произведение тоже будет делиться на 11.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#127827

Увеличится или уменьшится сумма 1-+ -1-+...+ 1-+ -1,
100  101      199  200  если все слагаемые в ней заменить на -1-?
150

Показать ответ и решение

В исходной сумме все числа, кроме -1-,
150  разобьём на пары вида

(---1-- --1--)
 150− k;150 +k  , где 1 ≤k ≤50

Оценим сумму в каждой такой паре

---1--+ --1---= -----300------= --3200-2 >-3002 =-1-+ -1-
150− k  150+ k  (150 − k)(150+ k) 150 − k   150   150  150

Значит, исходную сумму мы можем оценить, сложив все оценки для таких пар и добавив 1150,  то есть

                       (        )      (        )
-1-+ -1-+ ...+ 1--= 1--+  -1-+ 1-- +...+  -1-+ 1-- >
100  101      200   150    100   200         149   151

   1   ( 1    1 )      ( 1    1 )
> 150 + 150 + 150 + ...+ 150 + 150

Следовательно, при замене всех чисел на 1150  сумма чисел уменьшиться.

Ответ:

Уменьшится

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#128549

Верно ли, что выражение

 2025
x   − 2025x+ 2024

делится на (x− 1)2  при любом натуральном x >1?

Источники: Надежда энергетики - 2025, 10.3 (см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Доказать что это выражение один раз делится на (x - 1) в целом нетрудно — обычная подстановка решает этот вопрос, но что делать с квадратом? Неужели придётся раскладывать эту штуку на множители?

Подсказка 2

Вспомните, как можно разложить на множители разность n-ных степеней? Удастся ли наше выражение сгруппировать так, чтобы в одной из скобок оказалась та самая разность?

Подсказка 3

Если воспользоваться тем, что 1 в любой степени равна 1, а также прибавить и вычесть единичку из нашего выражения, то всё удачно сгруппируется!

Подсказка 4

Осталось воспользоваться тем, что (х^k - 1) делится на (x - 1) при любом натуральном k и задача убита!

Показать ответ и решение

Вспомним формулу разности n− ны х  степеней:

 n   n        n−1   n−2       n−2  n−1
a − b = (a − b)(a  + a  b+ ...+ab   + b  )

Преобразуем исходное выражение с помощью группировки и применения этой формулы:

2025              2025
x   − 2025x+2024= x  − 1− 2025(x − 1)=

= (x− 1)(x2024+x2023 +...+x +1)− 2025(x− 1)=

= (x− 1)(x2024− 1+x2023− 1+ ...+x− 1)

Один множитель вида (x − 1)  явно выделен. Осталось подметить, что каждая из разностей вида xk− 1  делится на (x− 1)  при любом натуральном значении k  .

Ответ:

Да, верно

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#128562

Упростить выражение

   27(1 − a27)      9(1− a9)        3(1− a3)       1 − a         1
a27(1+a27+-a54) + a36(1-+a9+-a18) + a39(1+a3+-a6) + a40(1+-a+-a2) − a40(1−-a)

и найти его значение при     √ ---
a= 108100.

Источники: Газпром - 2025, 10.1 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Итак, мы видим большое и страшное выражение, которое явно придётся считать. Но будет ли разумным в такой ситуации выполнять все действия в том порядке, в каком они записаны? Может быть, тут всё же можно заметить какую-нибудь красоту?

Подсказка 2

Начнём с последних двух слагаемых: у них одинаковая степень а в знаменателе, а оставшиеся множители вместе превращаются в ФСУ, поэтому именно с этой парочкой работать не так уж сложно! Что же получилось теперь?

Подсказка 3

После сокращения полученной дроби, мы можем заметить, что пара слагаемых, ставших последними после преобразования, снова образует ФСУ в общем знаменателе!

Подсказка 4

Повторив такую операцию ещё пару раз, останется лишь аккуратно посчитать числа, воспользовавшись свойствами степеней!

Показать ответ и решение

Преобразуем разность двух последних дробей, приведя к общему знаменателю:

----1−-a---   ---1----   ---3-----
a40(1+ a+ a2) − a40(1− a) = − a39(1− a3)

Затем добавим к ней третью дробь и приведём к общему знаменателю:

        3
-393(1-− a3-)-6 − 39-3-3-= −-36-9--9-
a  (1 +a + a)   a (1− a )  a  (1 − a )

Аналогично добавим вторую дробь:

---9(1−-a9)---− ---9----= −----27---
a36(1+a9 +a18)   a36(1− a9)  a27(1 − a27)

Аналогично добавим первую дробь:

  27(1− a27)       27         81
a27(1+-a27+-a54)-−a27(1-− a27) =− 1−-a54

Подставим      √---
a=  108100:

− ---18108√---54-= −--81--= 9
  1−   100     1− 10
Ответ:

9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#77403

Разность квадратов двух чисел равна 6, а если уменьшить каждое из этих чисел на 2, то разность их квадратов станет равна 18. Чему равна сумма этих чисел?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала переведём задачу на математический язык. Как это будет выглядеть? Не забывайте, что условия должны выполняться одновременно.

Подсказка 2

Верно, запишем это как систему x² - y²=6 и (x - 2)² - (y-2)² = 18. Давайте теперь раскроем скобки и приведём подобные слагаемые. Нет ли у нас похожих слагаемых у двух уравнений? Что можно естественным образом сделать?

Подсказка 3

Да, видим, что и там, и там есть x²-y². Значит, мы можем заменить во втором уравнение это выражение на 6 и преобразовать. Получим, что x-y = -3. А нам нужна сумма. Не можем ли мы теперь из первого уравнения всё найти?

Подсказка 4

Верно, первое уравнение можно разложить на скобки по формуле. Одну из скобок мы знаем и отсюда легко находим искомую сумму. Победа!

Показать ответ и решение

Пусть наши числа — x  и y.  Из условия следует система:

{ x2− y2 = 6
  (x− 2)2 − (y− 2)2 = 18

Преобразуем второе уравнение системы — раскроем скобки по формуле сокращенного умножения:

 2         2
x − 4x +4− (y − 4y+ 4)= 18

Раскроем скобки в этом равенстве и приведем подобные слагаемые в левой части:

x2− 4x+4 − (y2− 4y +4)= x2− 4x +4− y2+ 4y − 4= x2− y2− 4x +4y

Из первого уравнения системы x2− y2 = 6.  Подставляя это значение в полученное равенство, имеем:

6− 4x+ 4y = 18

Перенесем 6  в правую часть и разделим равенство на − 4  :

x − y =− 3

Вернемся теперь к первому уравнению системы, в нем левую часть разложим по формуле сокращенного умножения:

(x− y)(x+ y)= 6

Теперь, подставим в это равенство x− y = −3,  тогда получаем:

− 3(x+ y)= 6

Разделив уравнение на − 3,  получаем нужное значение суммы x+ y = −2.

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#78953

Каждое из 2020  положительных чисел равно сумме квадратов остальных 2019  чисел. Найдите все эти числа.

Показать ответ и решение

Пусть наши числа равны a,a ,...,a   .
1  2    2020  Рассмотрим разность двух соседних выражений из условия, то есть a − a.
 1  2  Тогда почти все квадраты сократятся, кроме  2
a1  и 2
a2.  И того получим после разложения на скобки (a1− a2)(a1+ a2)= 0,  но числа у нас положительные, поэтому a1 = a2.  Аналогично проводя преобразования получим, что все ai  равны между собой. Ответ получить уже несложно.

Ответ:

Все числа равны --1
2019

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#78955

Даны пятьдесят различных натуральных чисел, двадцать пять из которых не превосходят 50,  а остальные больше 50,  но не превосходят 100.  При этом никакие два из них не отличаются ровно на 50.  Найдите сумму этих чисел.

Показать ответ и решение

Вычтем 50  из каждого числа, которое больше 50.  Получатся 50  разных чисел, то есть числа от 1  до 50.  Их сумма равна 1+ 2+ ...+ 50=25⋅51,  а сумма исходных чисел — 25 ⋅51+ 25⋅50=25⋅101.

Ответ:

 2525

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#80764

Из множества M,  состоящего из семи подряд идущих натуральных чисел, выбираются шестёрки попарно различных чисел такие, что сумма чисел в каждой из шестёрок — простое число. Пусть p  и q  — две из таких сумм. Найдите множество M  , если  2   2
p − q = 792.

Источники: Физтех - 2024, 11.4 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте скажем, что первое число - это а и поймем, чему равна сумма во всех шестерках и какие из них могут быть простыми, а какие нет.

Подсказка 2

Тогда у нас получаются суммы шестерок - это числа от 6a + 15, до 6a + 21. Из за делимости на 2 или 3, подходят только числа 6a + 19 и 6a + 17. А это значит, что это ровно наши числа p и q. Остается решить квадратное уравнение на а и найти ответ(подставить значения p и q в равенство).

Показать ответ и решение

Пусть a  — наименьшее натуральное число из M.  Тогда

M = {a, a+ 1,a+ 2,...,a +6}

Сумма всех 7  чисел равна

                    6⋅7
7a+ 1+ 2+ ...+6 =7a+  2  =7a+ 21

Переберем сумму шестёрок чисел:

                     .
6a+21 не подходит, так как.. 3
                     ..
6a+20 не подходит, так как. 2
6a+19 нет противоречий
6a+18 не подходит, так как ... 3
6a+17 нет противоречий
                     ..
6a+16 не подходит, так как. 2
6a+15 не подходит, так как ... 3

Тогда, p= 6a+ 19, q =6a+ 17.  По условию задачи p2 − q2 = 792  или то же самое, что и

       2        2
(6a+19) − (6a+ 17) = 792 =⇒  2(12a+ 36)=792

2(a+ 3)=396  =⇒   a+3 =33  =⇒   a= 30

Следовательно, M  может быть только множеством

{30, 31, 32, 33, 34, 35, 36}

Проверка: 6a +19= 199  — простое, 6a+ 17= 197  — простое.

Ответ:

 {30, 31, 32, 33, 34, 35, 36}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#90236

Известно, что число a+ 1
   a  — целое. Докажите, что число a2+ 1-
    a2  — тоже целое.

Показать доказательство

Так как a+ 1
   a  — целое, его квадрат тоже целое число. Значит, (a + 1)2 = a2+ 2+ 1
   a           a2  — целое число. Но от искомого оно отличается только на целое число 2.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#92257

Дана функция

     (x+-1)2+-x2
f(x)= (x+ 1)2− x2.

Найдите наибольшее целое число, не превосходящее числа f(2024)  .

Источники: ДВИ - 2024, вариант 244, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если раскрыть квадраты суммы, то f(x) представима в виде (многочлен 2 степени)/(многочлен 1 степени). Как это можно упростить?

Подсказка 2

Поделить многочлены с остатком! Можно либо поделить в столбик, либо самому разбить дробь на две более простые так, чтобы одна из дробей сократилась со знаменателем

Показать ответ и решение

Преобразуем функцию по аналогии с выделением целой части у дроби:

     2x2+-2x-+1-  x(2x+-1)+x-+1-     x+-1-
f(x)=   2x+ 1   =     2x +1     =x + 2x +1

Тогда

             2025
f(2024)= 2024+ 4049

Так как второе слагаемое меньше 1,  то наибольшее не превосходящее f(2024)  целое число это 2024.

Ответ: 2024

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#58026

Даны два числа (не обязательно целые), не равные 0.  Если каждое из них увеличить на единицу, их произведение увеличится вдвое. А во сколько раз увеличится их произведение, если каждое из исходных чисел возвести в квадрат и затем уменьшить на единицу?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишем наше условие в виде уравнений. Получится (a+1)(b+1)=2ab. Если записать то, что мы хотим найти, то получится (a^2-1)(b^2-1). Как теперь это преобразовать?

Подсказка 2

Да, можно разложить в разность квадратов и получить (a-1)(b-1)(a+1)(b+1). Отлично, произведение последних двух скобок известно, осталось как-то найти произведение первых двух скобок....

Подсказка 3

Раскройте скобки в изначальном условии и попробуйте его привести к равенству со скобками (a-1)(b-1)

Показать ответ и решение

Обозначим данные числа через a  и b.  По условию

(a+ 1)(b+ 1)= ab+ a+ b+ 1= 2ab

Приведя в последнем равенстве подобные члены, получаем

ab− a− b− 1= 0

Тогда

(a− 1)(b− 1)= ab− a− b+ 1= (ab − a − b − 1)+ 2= 0 +2 = 2
 ( 2   )(2   )
  a − 1  b− 1 = (a− 1)(b− 1)(a + 1)(b+ 1)= 2⋅2ab= 4ab
Ответ:

в 4  раза

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#68640

Простые числа p,q  и r  таковы, что

            2   2   2
p< q,p +q =r,p +q = r − 116

Найдите p,q  и r.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Есть условие на сумму p+q, есть условие на сумму их квадратов, что хочется сразу сделать?

Подсказка 2

Возвести в квадрат p+q! Тогда будет нетрудно выразить 2pq, получившиеся в квадрате суммы. Каким условием мы еще не пользовались?

Подсказка 3

Простотой p и q! 2pq = 116 = 4 * 29. Остается лишь разобрать пару случаев)

Показать ответ и решение

Возведём первое равенство в квадрат:

 2       2  2
p +2pq+ q = r

Далее вычтем из полученного второе исходное равенство:

          2
2pq =116= 2 ⋅29

Значит, учитывая, что p< q,  получаем:

p= 2,q = 29⇒ r= p+ q = 31
Ответ:

 p =2,q = 29,r= 31

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#89774

Известно, что x:y =19:17  . Найдите x+-y
x− y  .

Источники: ДВИ - 2023, вариант 237, задача 1 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Если мы знаем отношение двух неизвестных, значит, можем ввести третью переменную, через которую будут выражаться x и y, и после этого можно будет подставить в искомое выражение и вычислить его

Показать ответ и решение

Из условия следует x =19t,y =17t,  тогда

x+-y  19t+17t  36t
x− y = 19t− 17t = 2t = 18
Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#90319

Чему равна сумма выражений √2023+-t2  и √999+t2  , если их разность равна 8  ?

Источники: ДВИ - 2023, вариант 238, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте вспомнить какую-нибудь формулу, которая связывает сумму и разность двух чисел

Подсказка 2

Давайте воспользуемся формулой а² - b² = (a-b)(a+b)! Отсюда мы без труда сможем найти искомую сумму

Показать ответ и решение

Обозначим a= √2023+-t2, b= √999+-t2.  По условию

a− b= 8

Рассмотрим a2− b2  :

a2− b2 =(∘2023+-t2)2− (∘999-+t2)2 = 2023+t2− 999 − t2 = 1024

Получили систему:

{
   a− b =8                                       1024-
   a2 − b2 = 1024 =⇒   (a− b)(a +b)= 1024 =⇒   a+ b=  8  =128
Ответ: 128
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!