Действия с числами, составление уравнений и формулы сокращённого умножения

Пусть наши числа — и Из условия следует система:

Преобразуем второе уравнение системы — раскроем скобки по формуле сокращенного умножения:

Раскроем скобки в этом равенстве и приведем подобные слагаемые в левой части:

Из первого уравнения системы Подставляя это значение в полученное равенство, имеем:

Перенесем в правую часть и разделим равенство на :

Вернемся теперь к первому уравнению системы, в нем левую часть разложим по формуле сокращенного умножения:

Теперь, подставим в это равенство тогда получаем:

Разделив уравнение на получаем нужное значение суммы

Пусть наши числа равны Рассмотрим разность двух соседних выражений из условия, то есть Тогда почти все квадраты сократятся, кроме и И того получим после разложения на скобки но числа у нас положительные, поэтому Аналогично проводя преобразования получим, что все равны между собой. Ответ получить уже несложно.

Вычтем из каждого числа, которое больше Получатся разных чисел, то есть числа от до Их сумма равна а сумма исходных чисел —

Пусть — наименьшее натуральное число из Тогда

Сумма всех чисел равна

Переберем сумму шестёрок чисел:

Тогда, По условию задачи или то же самое, что и

Следовательно, может быть только множеством

Проверка: — простое, — простое.

Так как — целое, его квадрат тоже целое число. Значит, — целое число. Но от искомого оно отличается только на целое число 2.

Преобразуем функцию по аналогии с выделением целой части у дроби:

Тогда

Так как второе слагаемое меньше то наибольшее не превосходящее целое число это

Обозначим данные числа через и По условию

Приведя в последнем равенстве подобные члены, получаем

Тогда

Возведём первое равенство в квадрат:

Далее вычтем из полученного второе исходное равенство:

Значит, учитывая, что получаем:

Из условия следует тогда

Обозначим По условию

Рассмотрим :

Получили систему:

Так как число и является корнем уравнения то и Рассмотрим разность двух получившихся выражений:

Мы смогли поделить обе части уравнения на так как по условию числа и различны.

В данном выражении квадраты и изначально находятся с разных сторон от равенства. Давайте перенесём их в одну часть и разложим по формуле разности квадратов, а остальное выражение соберём в правой части:

В последнем выражении мы получили разность как множитель с обеих сторон равенства. Сократим на этот общий множитель: он не равен 0 из условия, что числа и различны. Получим а именно эту сумму нас и просили найти.

Пусть нам даны числа и Перепишем условие через равенства. Нам дано:

Нужно найти

Заметим, что выражение определено, так как числа и ненулевые. Теперь приведем все дроби к общему знаменателю. Значит

Итак, знаменатель не равен нулю — и не равны — а числитель равен нулю. Теперь нам нужно посчитать, чему равно но это выражение равно нулю, так как числитель равен нулю.

Обозначим числа в вершинах через и Тогда на сторонах будут написаны числа и а внутри — По условию,

Добавим к обеим частям по единице и разложим на скобки:

Так как числа — натуральные, то каждая скобка больше Число и так как — простые числа, других разложений в произведение трёх натуральных чисел, больших единицы, у числа нет. Значит, скобки равны и в каком-то порядке, а числа и — и

Пусть исходные числа это и , тогда:

Из первых двух уравнений можно заключить

тогда из последнего

Обозначим наши числа через Тогда Петя получил число

Обозначим наши числа через и . Тогда по условию и , откуда . Но тогда .

Обозначим наши числа через и пусть они стоят по кругу именно в таком порядке.Обозначим через Тогда наша сумма равна

То есть, если умножить нашу сумму на то получится удвоенный квадрат целого числа.

Заметим, что наши суммы разбиваются на 3 пары, в каждой из которых сумма равна сумме всех 4 исходных чисел. Тогда среди 5 сумм есть 2 такие пары с одинаковой суммой. Единственный такой вариант — это . Тогда шестая сумма равна .

Возведем наше равенство в квадрат. Тогда . Теперь заменим в правой части полученного равенства на . То есть , откуда .