Тема Неравенство

02 единственный ответ - неравенство

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела неравенство

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#44711

Выберите уравнение, которое не может задавать кривую Лоренца. Считайте, что $x$ – доля беднейших жителей в общем населении страны, $y$ – доля в общем доходе страны, которой владеет доля $x$ беднейшего населения.

1) $y = x$

2) $y = 1− (1− x)1.01$

3) $x = ∘2y-−-y2-$

4) $x = 1− (1− √y-)2$

5) все уравнения могут задавать кривые Лоренца.

Показать ответ и решение

Кривая лоренца может существовать, когда ее производная нестрого возрастает, она не имеет разрывов, и проходит через точки (0;0) и (1;1)

Проверим представленные кривые:

1) $y′ = (x)′ = 1$ - производная не меняется и функция проходит через точки (0;0) и (1;1)

2) $y′ = (1 − (1 − x)1,01)′ = − 1,01∗ (1− x)0,01 ∗(− 1) = 1,01 ∗(1− x)0,01$ - несложно заметить, что производная будет убывать, поэтому эта функция не может задавать кривую лоренца

3) $-------- x = ∘ 2∗ y− y2 → y = 1 − √1-−-x2;y′ = −-√1--2 ∗(− 2∗x ) = √-x-2 2∗ 1−x 1−x$ - производная монотонно возрастает и функция проходит через точки (0;0) и (1;1)

4) $x = 1− (1− √y-)2 → y = 2− x − 2∗√1-−-x;y′ = − 1+ √-1 1− x$ - производная монотонно возрастает и функция проходит через точки (0;0) и (1;1)

5) - данное утверждение неверно, т.к. функция номер 2 не может задавать кривую лоренца

Ответ: 2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#44712

Известно, что $50%$ населения владеют $70%$ совокупного дохода. Тогда коэффициент Джини для данного общества равен:

1) 0.1

2) 0.2

3) 0.3

4) 0.5

5) невозможно определить.

Показать ответ и решение

Правильный ответ невозможно определить, т.к. мы не знаем как распределены доходы между этой долей населения. Т.е. внутри этой группы равной половине численности распределение доходов может быть как равномерное, так и неравномерное, из-за чего однозначно определить джини не получится.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#65724

В результате введения налога на добавленную стоимось индекс Джини

1) уменьшается

2) увеличивается

3) не изменяется

4) недостаточно данных

Показать ответ и решение

Коэффициент джини вырастет, т.к. продавцы переложат налог на покупателей, а т.к. он косвенный, то сильнее всего он ударит по людям с низким доходом, таким образом доходы лучше всего сохранят богатые, а бедные хуже всего. Джини вырастет

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#65737

Кривая Лоренца, отражающая неравенство в распределениии доходов в стране Икс, описывается уравнением $y = x2$ . Рассмотрим две группы: $α%$ беднейших и $(100− α)%$ богатейших жителей. Если среди рассматриваемых групп выровнять доходы, то максимальный индекс джини составит:

1) 0,25

2) 0.28

3) 0.32

4) 0.35

Показать ответ и решение

Рассмотрим суммарные доходы обеих групп:

y1 = α2

y2 = 1− α2

Т.к. мы приравниваем доходы внутри каждой из групп, то получаем кусочно-линейного лоренца с двумя группами, тогда джини можно найти по сокращенной формуле G=x-y (на олимпиаде эту формулу нужно предварительно вывести)

2 G = α− α

Это парабола ветвями вниз, а значит максимум в вершине

G′ = 1− 2∗ α = 0

α = 0,5

G = 0,5− 0,25 = 0,25

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#65758

Кривая Лоренца описывается квадратичной функцией $y(x) = αx2 + βx+ γ$ , $α,β,γ ≥ 0$ . Известно, что децильный коэффициент ( отношение доходов 10% богатейших к доходам 10% беднейших) для данной страны составил 19. В этом случае коээфицинт Джини равен

1) 1/2

2) 1/3

3) 1/4

4) 1/5

5) нет верного ответа

Показать ответ и решение

Т.к. кривая лоренца должна проходить через точку (0;0), то $γ = 0$

Также, т.к. кривая лоренца должна проходить через точку (1;1), то $1 = α∗ 12 + β ∗1+ 0 → α + β = 1 → y = α∗ x2 + (1− α) ∗x$

При этом мы знаем, что децильный коэффициент равняется 19, т.е. выполняется:

1−-y(0,9)- 19 = y(0,1)

19 = 1-−-0,81-∗α-−-0,9-+-0,9-∗α 0,01∗α + 0,1− 0,1∗ α

0,1+-0,09∗-α 19 = 0,1− 0,09∗ α

1,9 − 1,71 ∗α = 0,1+ 0,09∗α

α = 1

y = x2

Найдем площадь под кривой лоренца используя интеграл (для многих может быть известен факт, что у данного лоренца площадь под графиком равна 1/3)

3 S(x = 1) = x-= 1 3 3

-S- 1 G = 1 − 0,5 = 3

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#65760

Если увеличить доходы каждого жителя на 10%, то

1) индекс Джини увеличится на 10%, децильный коэффициент уменьшится на 10%

2) индекс Джини уменьшится на 10%, а децильный коэффициент не изменится

3) индекс Джини не изменится, а децильный коэффициент уменьшится на 10%

4) индекс Джини и децильный коэффициент не изменятся.

Показать ответ и решение

Данные коэффициенты не изменятся, т.к. мы увеличим весь суммарный доход на 10 процентов, при этом не поменяв распределение доходов. А значит, что индексы показывающие уровень неравенства не изменятся, т.к. распределение осталось прежним

Ответ: 4

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#65761

В некоторой стране первый житель зарабатывает 1 тыс. руб., второй – 2 тыс. руб., третий – 3, четвертый – 4. В этом случае индекс Робин Гуда равен

1) 0.1

2) 0.2

3) 0.25

4) 0.3

5) нет верного ответа

Показать ответ и решение

N=4

Y=10

Чтобы достичь абсолютного равенства нужно, чтобы каждый получал 10/4=2,5, для этого нужно добавить первому 1,5; добавить второму 0,5; забрать у третьего 0,5; забрать у четвертого 1,5.

Таким образом нужно перераспределить 2 тысячи рублей, что составляет 2/10=0,2 долю дохода

R=0,2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#65762

В странах А и B кривые Лоренца описываются функциями: $y = x3$ и $y = x2(1 − √1-−-x2)$ соотвественно. В этом случае индекс Джини

1) в стране A выше, чем в стране B

2) в стране B выше, чем в стране A

3) в странах A и B совпадают.

Показать ответ и решение

Заметим, что кривые лоренца имеют пересечения только в точках (0;0) и (1;1) на промежутке (0;1)

∘ ------ x2 ∗(1− 1 − x2) = x3

x1 = 0

∘ ------ 1− 1− x2 = x

1− x = ∘1-−-x2

1− 2 ∗x + x2 = 1− x2

x2 = 1

Тогда больший джини будет иметь более выпуклая кривая лоренца, т.к. площадь между ней и линией абсолютного равенства будет больше, чтобы найти какой лоренц более выпуклый найдем значение в точке х=0,5

y1 = 0,125

∘ ---- √ - y2 = 0,25∗ (1 − 0,75) = 0,25 − 0,125 ∗ 3

Т.к. значение у второго лоренца ниже, то он более выпуклый, а значит и коэфф. джини у него выше

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#65763

Кривая Лоренца в стране Альфа описывается функцией $y = x2$ . Если каждый житель относится к одному из социальных классов: к бедным(20% беднейших), средним или богатым( $20%$ богатейших), средний доход представителей среднего класса выше среднего дохода представителей бедного в

1) в 2 раза

2) в 3 раза

3) в 4 раза

4) в 5 раз

5) в 10 раз

Показать ответ и решение

Найдем средние доходы бедного и богатого класса:

y(0,2) y1 = 0,2

0,04 y1 =---- = 0,2 0,2

1−-y(0,2+-0,6) y3 = 0,2

y3 = 1-−-0,64 = 0,36 = 1,8 0,2 0,2

Тогда средний доход среднего класса:

1−-0,04−-0,36- 0,6- y2 = 0,6 = 0,6 = 1

Тогда искомое отношение:

y2 = -1-= 5 y1 0,2

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#119282

Выберите формулу, по которой нельзя найти коэффициент джини при двух группах, внутри которых доход распределен равномерно:

1) G=у-х, где х и у координаты точки излома

2) G=х-у, где х и у координаты точки излома

3) G=1-2*S, где S площадь под графиком кривой лоренца

4) G=2*S, где S площадь между кривой лоренца и линией абсолютного равенства

Показать ответ и решение

1 - данная формула верна, т.к. есть формула расчета джини $G = 1 − 2 ∗S$ , где $S = 0,5∗ x∗ y+ 0,5∗(1 +y) ∗(1− x)$

$S = 0,5− 0,5∗ x+ 0,5∗ y$

$G = 1 − 2 ∗(0,5− 0,5∗ x+ 0,5∗ y)$

$G = x − y$

2 - данная формула не подходит. Пример: точка излома (0,5;0,3), $G = 0,3− 0,5 = − 0,2$ , а коэффициент джини не может быть отрицательным

3 - Суммарная площадь под линией абсолютного равенства равна 0,5. Коэффициент джини это отношение площади между кривой лоренца и линией абсолютного равенства, тогда эту площадь можно найти как 0,5-S, тогда G=(0,5-S)/0,5=1-2*S

4 - верно по определению

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#119428

1) $y = x$

2) $y = x4$

3) $y = √x--$

4) $x = 1− (1− √y-)2$

5) все уравнения могут задавать кривые Лоренца.

Показать ответ и решение

Проверим представленные кривые:

1) $y′ = (x)′ = 1$ - производная не меняется и функция проходит через точки (0;0) и (1;1)

2) $y′ = 4 ∗x3$ - производная возрастает, а функция проходит через точки (0;0) и (1;1)

3) $y′ = -1√-- 2∗ x$ - производная монотонно убывает по х, поэтому эта функция не может задавать кривую лоренца

5) - данное утверждение неверно, т.к. функция номер 3 не может задавать кривую лоренца

Ответ: 3

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#119431

Выберите кривую лоренца, у которой коэффициент джини будет наибольшим

1) $x$

2) $x2$

3) $x3$

4) $x4$

5) $x5$

Показать ответ и решение

Чтобы джини был максимален, должна быть максимальна площадь между линией абсолютного равенства и кривой лоренца.

Чтобы площадь между линией абсолютного равенства и кривой лоренца была максимальна, функция должна быть наиболее выпуклой

Чтобы функция была наиболее выпуклой, ее производная должна возрастать наибольшими темпами. Грубо говоря, степень производной должна быть наибольшей, поэтому правильный ответ 5

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#119434

Выберите утверждение, которое может быть неверно для кривой лоренца

1) проходит через точку (0;0)

2) проходит через точку (1;1)

3) не имеет разрывов

4) не убывает

5) имеет линейный вид

6) имеет неубывающую производную

Показать ответ и решение

Все утверждения кроме номера 5 являются обязательными, чтобы функция могла описывать кривую лоренца. Кривая лоренца может иметь любой вид, а не обязательно линейный.

Ответ: 5