Тема Теория вероятностей и статистика

05 Неравенства Маркова и Чебышева.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела теория вероятностей и статистика

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#61286

Среднее за час количество заказов в сервис доставки еды в обеденный перерыв равно 300. Оценить при помощи неравенства Маркова вероятность того, что в течение следующего часа число заказов будет больше, либо равно 1000.

Показать ответ и решение

Пусть $ξ$ - случайная величина, равная количеству заказов за час. Тогда по условию мы имеем, что $E ξ = 300$ . Следовательно, по неравенству Маркова можно оценить

P ({ξ ≥ 1000 }) ≤-E-ξ-= 300--= -3- 1000 1000 10

То есть вероятность этого события не больше $0.3$ , чего и стоило ожидать - навряд ли она при таком среднем могла быть уж слишком большой.

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#61287

Показать ответ и решение

P ({ξ ≥ 750}) ≤ Eξ-= 300-= 2- 750 750 5

Но тогда, поскольку

Ω = {ω|ξ(ω) ≥ 750}∪ {ω |ξ(ω) < 750}

то

P{ξ < 750} = 1 − {ξ ≥ 750} ≥ 1− 2-= 3- 5 5

То есть вероятность этого события не меньше $0.6$ . Этого и стоило ожидать, если в среднем у нас 300 заказов, то скорее всего их будет меньше 750.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#61288

В среднем за одни сутки в травмпункт попадает 20 человек. Оценить по неравенству Маркова вероятность того, что за следующие сутки в травмпункт поступит меньше 17 человек.

Показать ответ и решение

Пусть $ξ$ - случайная величина, равная количеству людей, попадающих за сутки в травмпункт. Тогда по условию мы имеем, что $Eξ = 20$ . Следовательно, по неравенству Маркова можно оценить

E ξ 20 P({ξ ≥ 17}) ≤ ---= --- 17 17

Но уже видно, что что-то не так - наша оценка получилась вырожденной, ведь она нам даёт, что вероятность того, что за сутки в травмпункт попадёт больше 17 людей не превосходит $2107$ . Но $2107 > 1$ , то есть мы сказали, что наша вероятность не превосходит чего-то, что больше 1. Но мы это и так знали - любая вероятность не превосходит 1, и уж тем более не превосходит чего-то, что больше 1.

И далее, т.к. $Ω = {ω |ξ(ω) ≥ 17} ∪{ω |ξ(ω ) < 17}$ то

P {ξ < 17 } = 1 − {ξ ≥ 17} ≥ 1− 20= −-3- 17 17

В обратную сторону, как этого и стоило ожидать, оценка тоже получилась совершенно непоказательна, поскольку мы видим, что неравенство Маркова даёт лишь то, что вероятность того, что в травмпункт поступит меньше 17 человек больше какого-то отрицательного числа ( $− 137$ )

Но это тривиальная оценка - мы и так знаем, что вероятность у нас всегда неотрицательная.

Таким образом, эта задача показывает то, насколько неравенство Маркова - слабое, и в некоторых случаях просто-напросто ничего содержательного нам не сообщает.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#61289

Пусть мы бросаем 10000 раз честную монетку. Понятно, что орлов в среднем должно быть $10000 ⋅0.5 = 5000$ .

Оценить по неравенству Чебышева вероятность того, что количество орлов при 10000 кратном подбрасывании монеты будет отличаться в любую сторону не больше чем на 100 от ожидаемых 5000, то есть оценить вероятность того, что кол-во орлов попадёт в диапазон $[4900,5100]$ .

Показать ответ и решение

Пусть $( { 1 если в k -ом и сп ытании вы пал орёл ξk = ( 0, если в k -ом и сп ытании вы пала реш ка$ .

Тогда понятно, что $S = ξ1 + ξ2 + ...+ ξ10000$ - случайная величина, равна количеству орлов при 10000 кратном подбрасывании монетки.

Ясно, что $ES = E (ξ1 + ξ2 + ...+ ξ10000) = E ξ1 + E ξ2 + ...+ E ξ10000 = 10000 ⋅ 1 = 5000 2$ - то есть в среднем должно выпадать 5000 орлов.

Далее, $дисперсия суммы независимых это сумма дисперсий V arS = V ar(ξ1 + ξ2 + ...+ ξ10000) = Var ξ1 + V arξ2 + ...+ V arξ10000$ (мы, разумеется, считаем, что броски монеты друг от друга не зависят).

Varξ1 + Var ξ2 + ...+ V arξ10000 = 10000⋅ Varξk

$V arξk = E (ξ2k) − (E ξk)2 = 1− 1= 1 2 4 4$ . Таким образом,

10000- V arξ1 + V arξ2 + ...+ V arξ10000 = 10000 ⋅Var ξk = 4 = 2500

И осталось применить неравенство Чебышева $P ({ω ||ξ(ω)− Eξ| ≥ a}) ≤ Va2rξ a$ для случайной величины $S$ :

2500-- 1- P ({|S − 5000| ≥ 100}) ≤ 10000 = 4

А поскольку

Ω = {|S − 5000| ≥ 100}∪ {|S − 5000| < 100}

То

P ({|S − 5000| < 100}) = 1 − P ({|S − 5000| ≥ 100}) ≥ 1 − 1-= 3 4 4

Таким образом, вероятность того, что количество орлов попадёт в диапазон $[4900,5100]$ не меньше, чем $0.75$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#61290

В нашей фирме установлено 15 станков. Вероятность поломки каждого из них в течение года равна $0.01$ . Оценить по неравенству Чебышева вероятность того, что в следующий год количество поломанных станков отклонится от ожидаемого (в любую сторону) не меньше, чем на 3.
(В том числе, необходимо вначале найти, какое будет ожидаемое количество поломанных станков).

Показать ответ и решение

Пусть $( { 1 если в k -ы й станок сломался ξk = ( 0, если в k -ы й станок целый$ .

Тогда понятно, что $S = ξ1 + ξ2 + ...+ ξ15$ - случайная величина, равна количеству сломанных станков.

Далее, $E ξk = 1⋅0.01+ 0 ⋅0.99 = 0.01$ , $Var ξk = E (ξ2)− (Eξk)2 = 0.01 − (0.01)2 = 0.0099 k$ .

Ясно, что $ES = E (ξ1 + ξ2 + ...+ ξ15) = Eξ1 + Eξ2 + ...+ E ξ15 = 15 ⋅0.01 = 0.15$ .

Далее, $дисперсия суммы независимых это сумма дисперсий V arS = V ar(ξ1 + ξ2 + ...+ ξ15) = V arξ1 + Varξ2 + ...+ V arξ15$ (мы считаем, что станки ломаются независимо друг от друга).