Тема Теория вероятностей и статистика

06 Предельные теоремы. ЗБЧ. Теорема Пуассона. ЦПТ.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела теория вероятностей и статистика

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#61291

Пусть проводится 1000 независимых испытаний по схеме Бернулли. Пусть вероятность успеха в каждом равна $0.003$

(можно считать, что $n$ достаточно велико, чтобы применять теорему Пуассона с параметром $λ = np (n ) = 3$ ).

По теореме Пуассона оценить приблизительно, чему равна вероятность того, что случится в этой серии из 1000 испытаний будет не больше 5 успехов.

Показать ответ и решение

Вероятность того, что будет в точности $m$ успехов, по теореме Пуассона, приблизительно равна

m λ--e−λ m!

Где $λ = np = 3$ . В нашем случае нас просят оценить вероятность того, что будет хотя бы 5 успехов - эта вероятность складывается из суммы вероятностей того, что будет 0 успехов, 1 успех, 2 успеха, и так далее до 5 успехов.

Таким образом, по теореме Пуассона, такая вероятность примерно равна

∑5 k 0 1 2 3 4 5 λ--e−λ = e−3(3- + 3- + 3- + 3- + 3- + 3-) = e−392-≈ 0.916 k=0 k! 0! 1! 2! 3! 4! 5! 5

Чего и стоило ожидать, с такой маленькой вероятностью успеха - с очень большой вероятностью этих успехов больше не больше 5.

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#61292

Наборщик набирает задачи для задачника по теории вероятностей. Вероятность того, что в очередной задаче будет допущена опечатка, равна $0.01$ .

По теореме Пуассона оценить приблизительно, чему равна вероятность того, что среди $200$ задач будет ровно 4 с опечатками.

(можно считать, что $n$ достаточно велико, чтобы применять теорему Пуассона с параметром $λ = np (n ) = 2$ ))

Показать ответ и решение

Вероятность того, что будет в точности $m$ успехов, по теореме Пуассона, приблизительно равна

m λ--e−λ m!

Где $λ = np = 2$ .

Таким образом, по теореме Пуассона, такая вероятность примерно равна

24 e−2-- ≈ 0.0902 4!

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#90190

Пусть $Ω = (0,1]$ и задана последовательность случайных величин $ξn = n1ω-$ .

1. Показать, что $п.н. ξn−−→ 𝒪$ ;

2. Показать, что, несмотря на это, $Fξn$ не сходится в каждой точке к функции распределения тождественного нуля $F 𝒪$ .

Показать ответ и решение

1. Это более-менее очевидно. Поскольку для любого фиксированного $ω ∈ (0,1]$ выполнено, что

1--→ 0,n → ∞ ωn

то последовательность $ξn$ в каждой точке $ω ∈ Ω$ сходится, а, значит, и сходится почти наверное к нулевой случайной величине.

2. Вспомним, что функция распределения тождественного нуля $F 𝒪$ равна:

( { 1 при x ∈ [0,+ ∞ ] F𝒪 (x) = ( 0, при x ∈ (− ∞, 0)

А чему будут сходиться функции распределения $Fξn$ ?

Давайте посмотрим, как выглядит функция распределения $Fξn$ .

Итак,

1 1 Fξn(x) = P(ξn ≤ x) = P(--- ≤ x) = P(ω ≥ ---) nω nx

Эта последняя вероятность равна длине той части отрезка, которая находится правее $1 nx$ , при условии, что мы вообще попали в наш полуинтервал, то есть при условии, что $1-≤ 1 nx$ , то есть что $1 x ≥ n$ . Если же $-1 nx > 1$ , то таких $ω$ просто не найдется и эта вероятность равна 0.

Таким образом,

( 1 { 0 при x < n Fξn(x) = ( -1 1 1− nx , пр и x ≥ n

К чему же это все сойдется при $n$ стремящемся к бесконечности? Ясно, что сойдется это к вот такой функции

( ( { 0 пр и x < 1 { 0 при x ≤ 0 lim Fξn(x) = lim n = n→ ∞ n→∞ ( 1 − 1nx, при x ≥ 1n ( 1, п ри x > 0

И что-то эта предельная функция распределения не совсем та же самая, что функция распределения тождественного нуля $F𝒪$ .

А именно, в точке разрыва этой последней у нас и нет сходимости $Fξn(x) → F𝒪 (x )$ .

Именно поэтому в определении сходимости по распределению и требуют сходимости функций распределения только в точках непрерывности предельной функции. Иначе нам пришлось бы отказаться от сходимости по распределению даже в таких простецких и наглядных примерах как этот.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#90191

Мы купили $250000$ дешевых китайских шампуней и планируем продавать их на маркетплейсе. Вероятность того, что у отдельно взятой упаковки шампуня будет брак, равна $0.1$ . Тогда логично ожидать, что среди $250000$ упаковок будет примерно $25000$ бракованных.

Задача. Найти вероятность того, что в нашей партии бракованных шампуней будет не меньше $20000$ , но и не больше $30000$ .

Показать ответ и решение

Пусть случайные величины $ξ1,ξ2,...,ξ250000$ — это случайные величины, равные 1, если у $i$ -ой упаковки случился брак и 0, если она не бракована решка. Ясно, что они независимы, имеют конечные мат. ожидания, равные $0.1$ и конечные дисперсии, равные $0.1 ⋅0.9 = 0.09$

Итак, допустимая погрешность относительно мат. ожидания количества бракованных упаковок равна $5000$ упаковок, то есть $0.02$ . С учетом этого, проводим вычисления: