Тема Теория вероятностей и статистика

04 Независимость событий. Формула Байеса.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела теория вероятностей и статистика

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#53936

Из колоды, в которой всего 52 карты, случайным образом вытягивается одна карта, а затем ещё одна, при этом первая карта НЕ ВОЗВРАЩАЕТСЯ в колоду. Будут ли события $A$ = $”$ первая карта дама $”$ и $B$ = $”$ вторая карта пики $”$ независимы?

Показать ответ и решение

Ясно, что $P (A) = 452 = 113$ .

В свою очередь, $P (B)$ можно посчитать по формуле полной вероятности. Обозначим за $C$ событие, состоящее в том, что первая карта была пики. Тогда

P (B ) = P(B ∩ C )+ P (B ∩ (Ω ∖ C)) = 13-⋅ 12-+ 39-⋅ 13-= 1 52 51 52 51 4

С другой стороны, $P (A ∩ B )$ тоже можно посчитать, разбив на 2 случая, в зависимости от того, была ли первая дама пиковой или нет:

P(A ∩B ) = P ( первая дама -п иковая ∩B )+P ( п ер вая дама -не пиковая ∩B ) =-1⋅12-+-3-⋅13= 1-- 52 51 52 51 52

И мы видим, что

P (A ∩ B) = P (A)⋅P (B )

Следовательно, события $A$ и $B$ - независимы.

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#53937

Из колоды, в которой всего 52 карты, случайным образом вытягивается одна карта, а затем ещё одна, при этом первая карта НЕ ВОЗВРАЩАЕТСЯ в колоду. Будут ли события $A =$ $”$ первая карта дама $”$ и $B =$ $”$ вторая карта девятка $”$ независимы?

Показать ответ и решение

Ясно, что $P (A) = 452 = 113$ .

В свою очередь, $P (B)$ можно посчитать по формуле полной вероятности. Обозначим за $C$ событие, состоящее в том, что первая карта была девятка. Тогда

P (B ) = P (B ∩ C)+ P(B ∩ (Ω ∖C )) = 4-⋅ 3-+ 48⋅ 4--= -1- 52 51 52 51 13

$P (A ∩ B) = 542 ⋅ 451 = 113 ⋅541 = 6463$ - поскольку первая карта дама, то на втором вытягивании осталось 4 девятки из 51 карты.

И мы видим, что

-4--= P (A ∩ B) ⁄= P (A)⋅P (B ) =-1-- 663 169

Следовательно, события $A$ и $B$ - зависимы.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#53938

Пусть монету бросают 10 раз. Какая вероятность того, что будет последовательность исходов оооооооооо? (10 орлов подряд).

Показать ответ и решение

При каждом броске монеты вероятность орла равна $12$ . Поскольку все броски монеты совместно независимы, то $1 1 1-- P ( оооооооооо ) = 2 ⋅...⋅2 = 210$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#53939

Пусть монету бросают 10 раз. Какая вероятность того, что будет последовательность исходов оррорророр? (о - орёл, р - решка).

Показать ответ и решение

При каждом броске монеты вероятность орла равна $12$ , и вероятность решки тоже равна $12$ . Поскольку все броски монеты совместно независимы, то $1 1 1-- P ( оррор ророр ) = 2 ⋅...⋅ 2 = 210$ .

Комментарий. Как мы видим, вероятность довольно $”$ случайной $”$ , и в каком-то смысле непредсказуемой последовательности орлов и решек ровно такая же, как и вероятность очень регулярной и предсказуемой последовательности из одних сплошных орлов. Это говорит о том, что понятие вероятности не способно ухватить и полностью смоделировать наше житейское представление о том, насколько то или иное событие действительно случайно.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#53940

Привести пример трёх событий $A, B,C$ , которые попарно независимы, но неверно, что они совместно независимы.

Показать ответ и решение

Рассмотрим правильный тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, синий, зелёный цвета, а четвёртая грань содержит все три цвета.

Пусть $A$ - событие, означающее выпадение грани, содержащей красный цвет, $B$ - событие, означающее выпадение грани, содержащей синий цвет, $C$ - событие, означающее выпадение грани, содержащей зелёный цвет.

Так как каждый цвет есть на двух гранях из четырёх, вероятность каждого из этих событий равна:

2- 1- 2- 1- 2- 1- P (A) = 4 = 2, P (B ) = 4 = 2,P (C ) = 4 = 2

Далее, так как только одна грань - четвёртая - содержит какие-то два цвета, то вероятность попарных пересечений:

1- 1- 1- P(A ∩ B ) = 4 = P (A) ⋅P(B ), P (A ∩ C) = 4 = P (A)⋅P (C ), P (B ∩C ) = 4 = P (B )⋅P (C)

Следовательно, события $A, B, C$ - попарно независимы.

Однако $1 P (A ∩B ∩C ) = 4$ (есть только одна грань, содержащая все три цветы). Но при этом $P (A) ⋅P(B )⋅P (C ) = 1⋅ 1⋅ 1 = 1 2 2 2 8$ . Следовательно, $A,B, C$ - не совместно независимы.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#53941

Жюри состоит из трёх человек. Два эксперта и один профан. Им нужно принять верное решение по какому-то вопросу. Первый эксперт принимает верное решение с вероятностью $0.65$ . Второй эксперт принимает верное решение, независимо от другого эксперта и профана, с вероятностью $0,8$ . Третий - профан, и просто копирует решение первого эксперта.

Решение жюри принимается большинством голосов.

Найти вероятность, с которой жюри выносит верное решение.

Показать ответ и решение

Поскольку профан всегда копирует решение первого эксперта, то всего у нас возможные исходы вот такие:

Ω = { ввв, внв, нвн, нн н }, где в о зн ачает вер ное реш ение, а н означает н&

Устраивают нас только исходы ввв и внв.

Поскольку эксперты принимают решения независимо, то $P ( ввв ) = 0.65 ⋅0.8$ , $P ( вн в ) = 0.65⋅(1− 0.8)$ .

Тогда вероятность принять верное решение будет равна

0.65⋅0.8+ 0.65⋅ (1 − 0.8) = 0.65

Комментарий. Ничего удивительного в таком ответе нет. Жюри принимает верное решение в том и только в том случае, если верное решение принимает первый эксперт. Потому что профан копирует его решение. Именно поэтому и получается такая вероятность.

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#53942

Доказать формулу Байеса. То есть, доказать, что для любых событий $A$ и $B,$ таких что $P (A),P (B ) ⁄= 0$ выполнено

P (B|A) ⋅P(A ) P (A |B) = -------------- P (B)

Показать ответ и решение

Распишем правую часть формулы.

Ясно, что $P-(B|PA()B⋅P)(A)$ равна $P(B∩A)⋅P(A) -P(A)P(B-)---$ - мы просто расписали по определению условную вероятность $P (B|A )$ .

Далее, $P(B∩A) --P(A)-⋅P(A-)= P(B-∩A)= P(A∩B)-= P (A |B) P (B ) P(B) P(B)$ . Но это и есть левая часть формулы Байеса. Значит, мы всё доказали.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#53944

Мы держим в руках монетку. С вероятностью $91900-$ она честная. С вероятностью $1100$ это нечестная монетка, которая всегда выпадает орлом вверх. Мы подбросили монетку $20$ раз, и все разы она выпала орлом вверх. Ясно, что это наблюдение свидетельствует в пользу нечестности монетки. Какова вероятность того, что монетка нечестная?

Показать ответ и решение

Пусть событие $A$ - монетка нечестная. Событие $B$ - монетка выпала орлом вверх 20 раз подряд. Тогда, понятное дело, нам по условию дано $P (B |A) = 1$ - это фактически и есть определение нечестной монетки.

Тогда вычислим безусловные вероятности: $P (A )$ нам тоже дано и $P (A) = 1100$ .

$P (B)$ можно посчитать по формуле полной вероятности:

1 99 1 41947 P(B ) = P (B ∩ A) + P(B ∪ (Ω ∖A )) = 100 + 100 ⋅ 220 = 4194304

Таким образом, по формуле Байеса имеем:

-1- P (A|B) = P-(B|A)-⋅P(A-)= 1-⋅100-= 4194304- P (B ) 441199443704 4194700

И нетрудно заметить, что $P(A |B )$ в таком случае уже ну очень близко к единице. То есть в таком случае шанс на то, что монетка нечестная уже близок к 100 процентам.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#53945

Вы покупаете лампочки для своего предприятия в трёх магазинах: $A$ , $B$ и $C$ .

В магазине $A$ вы купили 600 лампочек. Известно, что среди лампочек, которые вы покупаете в магазине $A$ , доля брака $0.1$ .
В магазине $B$ вы купили 300 лампочек. Известно, что среди лампочек, которые вы покупаете в магазине $B$ , доля брака $0.2$ .
В магазине $C$ вы купили 100 лампочек. Известно, что среди лампочек, которые вы покупаете в магазине $C$ , доля брака $0.05$ .

Задача. Вы взяли в руки какую-то конкретную лампочку, и она оказалась бракованной. Какова вероятность, что эта лампочка была из магазина $B$ ?

Показать ответ и решение

Пусть $X$ - событие, что лампочка была из магазина $B$ . Пусть $Y$ - событие, что лампочка бракована.

Нам требуется найти $P (X|Y )$ .

По формуле Байеса это равна

P(X |Y ) = P-(Y-|X-)⋅P(X-)- P(Y )

Ясно, что $P (Y |X ) = 0.2$ - это фактически условие задачи. Ясно, что $P (X) = -300-= 3- 1000 10$ .

А вот $P (Y)$ можно посчитать по формуле полной вероятности.

$-600- 300- -100- P (Y) = P (Y ∩ лам почка из магазина A )+ P (Y ∩ лампоч ка из ма газин а B )+ P (Y ∩ лам &#x04$ .

Тогда

0.2 ⋅ 3- P (X |Y ) = ----10-= 0.48 0.125

Ответ: