Тема Задачи с параметром

Графика. Отрезок, ромб, квадрат

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#104258

Найти все значения параметра $a$ , при каждом из которых система уравнений

{ x2 +(2a− 2)x+ a2− 2a− 3= 0 ∘ -2-------2 ∘ -----2-------2 x + (y − a) + (x+ 4) + (y − a) = 4

имеет ровно одно решение.

Показать ответ и решение

Левая часть второго уравнения есть расстояние между точками $A(0;a)$ и $B(−4;a)$ .

Поскольку расстояние между точками $A$ и $B$ равно 4, второе уравнение системы задает отрезок $AB$ , т. е. множество точек вида $(t;a)$ , где $− 4≤t ≤0$ .

Решая первое уравнение как квадратное уравнение относительно $x$ , находим, что $x1 = −a− 1,x2 =− a+3$ . Таким образом, первое уравнение задает две вертикальных прямых на плоскости. Для того чтобы система имела ровно одно решение, необходимо и достаточно, чтобы ровно одна из этих двух вертикальных прямых пересекала отрезок $AB$ .

Первая прямая пересекает $AB$ при $− 4≤ x1 ≤ 0$ , т. е. при $− 1 ≤a≤ 3$ ; вторая прямая - при $− 4≤ x2 ≤0$ , т. е. при $3≤ a≤ 7$ . Следовательно, система имеет ровно одно решение при $a∈ [− 1;3)∪(3,7]$ .

Ответ:

$[−1;3)∪ (3;7]$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#91169

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система уравнений

{ |y|+|x|=a; y = x2 +1

имеет два различных решения.

Показать ответ и решение

Изобразим фигуры, задаваемые уравнениями системы, в зависимости от $a.$ Первое уравнение — это квадрат с диагональю равной $2a,$ второе уравнение — парабола.

Если $a> 1,$

$PIC$

Если $a= 1,$

$PIC$

Если $a< 1,$

$PIC$

Видно, что система имеет два различных решения при $a> 1.$

Ответ:

$(1;+ ∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#64115

Найдите все значения параметра $a$ при которых существует ровно одна пара действительных чисел $(x,y)$ , удовлетворяющих системе неравенств

{ (x2− xy+ y2)(x2− 36)≥ 0, |x− 2+ y|+|x− 2 − y|≤ a?

Показать ответ и решение

Посмотрим внимательно на первое условие.

2 2 2 2 x − xy+ y = (x− 0.5y) + 0.75y

Значит, из первого условия следует, что либо $x= y = 0,$ либо $|x|≥ 6.$

Теперь посмотрим внимательно на второе неравенство. Заметим, что левая часть неравенства может раскрываться 4 способами:

|x− 2+ y|+|x− 2 − y|= 2x− 4

|x− 2 +y|+ |x− 2− y|= −2x+ 4

|x− 2 +y|+ |x− 2− y|= 2y

|x− 2+ y|+ |x − 2− y|= −2y

В первом случае $x − 2 ≥|y|≥ 0,$ значит, $a≥ 2x− 4 =|2x− 4|≥ |2y|.$

В втором случае $− x +2 ≥|y|≥ 0,$ значит, $a≥ −2x+ 4= |2x− 4|≥|2y|.$

В третьем случае $y ≥ 2− x$ и $y ≥ x− 2,$ значит, $y ≥|2− x|$ и $a≥ 2y = |2y|≥|2x− 4|.$

В четвертом случае $y ≤ 2− x$ и $y ≤x − 2,$ значит, $y ≤ |2 − x|≤ 0$ и $a≥− 2y = |2y|≥|2x − 4|.$

Итого, $|2y|≤ a$ и $|2x− 4|≤ a$ это решение второго неравенства.

Если $a≥ 8,$ то $x= 6$ и $y ∈[−16;16]$ подходят и значит решений больше 1.

Если $a< 4,$ то $|2x− 4|<4$ , $− 4< 2x− 4< 4$ и $0< x< 4,$ но в таком случае $x$ не подходит под первое условие.

Если $a∈ [4;8)$ , то есть решение $x =y =0,$ но других решений нет, так как если бы было другое решение, то у него $|x|≥ 6$ и значит $|2x− 4|≥ |2x|− 4 ≥8> a.$ Значит такие $a$ подходят.

Ответ:

$[4;8)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#78774

На координатной плоскости нарисован квадрат, все вершины которого лежат на графике функции $y = x3− ax$ . Известно, что одна из диагоналей квадрата лежит на прямой $y = −4x$ , а центр совпадает с началом координат. Найдите значение параметра $a$ и площадь квадрата.

Источники: Физтех-2023, 11.4 (см. olymp-online.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $A$ и $B$ — вершины квадрата, лежащие в первой и четвёртой четвертях соответственно; $O$ — начало координат.

$PIC$

По условию точка $B$ лежит на прямой $y = −4x$ . Если $x0$ — абсцисса точки $B$ , то $x0 >0$ , а координаты точки $B$ — это $(x0;−4x0)$ . Так как точка $A$ получается из $B$ поворотом на $90∘$ против часовой стрелки вокруг точки $O,$ то её координаты $(4x0;x0)$ . Поскольку обе точки лежат на графике $y =x3− ax$ , получаем и решаем систему уравнений (учитываем, что $x0 ⁄= 0$ )

{ −4x0 = x30− ax0 x0 = 64x30− 4ax0

{ a= x20+ 4 4a= 64x20 − 1

{ 2 a= x0+ 4 4x20+16= 64x20− 1

{ x20 = 1670 a= 25607

Пусть $OA= d$ — половина диагонали квадрата. Тогда

OA2 =(4x0)2+ x20 = 17x20

Площадь квадрата $S$ равна полупроизведению его диагоналей, то есть

S = 1⋅2d⋅2d= 2d2 = 289 2 30

Ответ:

$a = 257; S = 289 60 30$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#91967

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система уравнений

{ x2 +(2a− 2)x+ a2− 2a− 3= 0 ∘x2-+-(y-− a)2+∘ (x+-4)2+-(y-− a)2 = 4

имеет ровно одно решение.

Показать ответ и решение

Перепишем первое уравнение.

2 (x− (a− 1)) = 4

Значит, $x= a− 1±2$ . Пусть $A(0,0)$ , $B(x,y− a)$ , $C(−4,0)$ . Тогда по условия $AB +BC = 4≥ AC =4$ . Значит, они лежат на одной прямой и поэтому $y− a= 0$ и $x∈ [− 4;0]$ .

Значит, $y = a$ и $x= a− 1− 2$ или $x= a− 1+ 2,$ если эти числа лежат в $[−4;0]$ . Первое значение $x$ попадает в интервал при $a ∈[−1;3]$ , а второе при $a∈[−5;−1]$ . Значит, ответ $[− 5;−1)∪ (− 1;3]$ .

Ответ:

$[−5;− 1)∪(−1;3]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#92025

Найдите все значения параметра $a$ , при которых система

{ 4|x|+3|y|= 12 x2+y2− 2x+ 1− a2 =0

а) имеет ровно 3 решения;

б) имеет ровно 2 решения.

Показать ответ и решение

Первое уравнение системы не меняется при замене $x$ на $− x$ и/или $y$ на $− y.$ Следовательно, множество точек, задаваемых первым уравнением симметрично относительно обеих осей координат. В первой четверти получаем часть прямой $4 y = 4− 3x−$ отрезок, соединяющий точки $(3;0)$ и $(0;4).$ Используя симметрию множества относительно координатных осей, получаем ромб $c$ вершинами $A(3;0),B(0;4)$ , $C(−3;0),D(0;−4)$

$PIC$

Второе уравнение системы может быть записано в виде $(x− 1)2 +y2 = a2.$ Оно задаёт окружность с центром $Q(1;0)$ радиуса $|a|($ или точку $Q$ , если $a= 0).$ При $a =0$ решений нет, так что рассмотрим случай окружности.

а) И ромб, и окружность симметричны относительно оси абсцисс, следовательно 3 решения возможны только в том случае, когда одна из общих точек окружности и ромба лежит на оси абсцисс. Это происходит, если радиус окружности равен отрезку $QA$ или отрезку $QC$ , т.е. $|a|= 2$ или $|a|= 4.$ Несложно видеть, что при $|a|= 2$ система имеет 3 решения, а при $|a|= 4− 5$ решений. Значит, 3 решения возможны только при $a= ±2$

б) Пусть $R0$ – радиус той окружности, которая касается сторон $BC$ и $CD$ , a $R1−$ радиус той окружности, которая касается сторон $AB$ и $AD$ ромба. Система имеет ровно два решения в том и только том случае, когда $|a|∈{R1}∪ (QA; R0)∪{QB}$ . $QA = 2,QB = √42+-12 = √17.$ Пусть окружность радиуса $R1$ касается стороны $AB$ в точке $J$ , а окружность радиуса $R0$ касается стороны $BC$ в точке $L.$ Треугольник $CLQ −$ прямоугольный, $tg∠C$ равен угловому коэффициенту прямой $BC$ , т.е. $tg∠C = 4. 3$ Тогда $-LQ- 3R0 CL = tg∠C = 4 .$ По теореме Пифагора для треугольника $CLQ$ получаем $2 9R20 16= R0 + 16$ , откуда $16 R0 = 5 .$ Поскольку треугольники $JQA$ и $LQC$ подобны и коэффициент подобия равен $QA- 1 QC = 2$ , то $1 8 R1 = QJ = 2QL = 5.$ Окончательно получаем ${8} ( 16) √ -- |a|∈ 5 ∪ 2; 5 ∪{ 17}.$

Ответ:

a) $|a|= 2;$

б) ${8} ( 16) √-- |a|∈ 5 ∪ 2;5 ∪ { 17}$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#33591

Найдите все значения параметра $a$ , при которых система

{ |y− 3 − x|+ |y− 3+ x|= 6 (|x|− 4)2+ (|y|− 3)2 =a

имеет ровно два решения.

Источники: Физтех-2020, 11.5, (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Рассмотрим первое уравнение системы и изобразим множество его решений на координатной плоскости. Для раскрытия модулей найдём множества точек, в которых выражения под модулями обращаются в ноль. Это прямые $y− 3− x= 0$ и $y − 3+ x= 0$ . Они делят плоскость на 4 части, и в каждой из этих частей знаки выражений под модулями постоянны. Чтобы их определить, можно выбрать в каждой из четырёх частей по точке и найти знаки выражений в этих точках. Возьмём область, расположенную снизу от обеих прямых. В ней лежит, например, точка $(0;−10)$ . Подстановкой несложно убедиться, что в этой точке оба выражения $y− 3− x$ и $y− 3+x$ отрицательны. Таким образом, уравнение принимает вид $− (y− 3− x)− (y− 3+ x)=6$ , откуда $y = 0$ . C учётом рассматриваемых ограничений подходит отрезок с концами в точках $A(3;0)$ и $D(−3;0)$ . Аналогично рассматриваем остальные три случая, и в итоге получаем границы квадрата $K$ с вершинами в точках $A(3;0),B(3;6),C(−3;6)$ и $D (− 3;0)$ . Эта фигура не имеет пересечения с полуплоскостью $y < 0$ , поэтому можно считать, что $y ≥0$ . С учётом указанного замечания второе уравнение можно записать в виде $(|x|− 4)2+ (y− 3)2 = a$ (опустив модуль у переменной $y)$ . Обозначим множество точек, определяемых этим уравнением, через $Φ(a)$ . Если $a <0$ , у уравнения нет решений. При $a= 0$ оно задаёт две точки $(4;3)$ и (-4;3). Поскольку обе они не принадлежат квадрату $K$ , система не имеет решений, и значение $a= 0$ не удовлетворяет условию задачи. Перейдём к случаю $a >0$ .

$PIC$

При $x≥ 0$ уравнение принимает вид $(x− 4)2+ (y − 3)2 = a$ , и мы получаем окружность радиуса $√a$ с центром в точке $(4;3)$ (или её часть, лежащую в полуплоскости $x≥ 0$ , если вся она в этой полуплоскости не помещается). Поскольку уравнение инвариантно относительно замены $x$ на $(−x)$ , множество $Φ (a)$ симметрично относительно оси $y$ . Таким образом, $Φ(a)$ есть совокупность полученной выше окружности (или её части) и окружности, получающейся из уже построенной отражением относительно оси $Oy.$

Если $0< a< 1$ , график $2 2 (|x|− 4) +(y− 3) = a$ не пересекает квадрат $K$ , и система уравнений не имеет решений. Если $a =1$ , система уравнения имеет два решения - точки $X (3;3)$ и $Y (− 3;3)$ . Если $a∈ (1,10]$ , дуга окружности $2 2 (x− 4)+ (y− 3) = a,x ≥0$ пересекает отрезок $AB$ дважды эти две точки, а также им симметричные относительно оси $y$ , образуют 4 различных решения системы. Если $a ∈(10,25)$ , дуга окружности $2 2 (x − 4) + (y− 3) =a,x≥ 0$ пересекает отрезки $DA$ и $CB$ в двух точках с положительной абсциссой. Аналогично, эти две точки, а также им симметричные относительно оси Оy, образуют 4 различных решения системы. Если $a =$ 25 , система уравнений имеет два решения - точки $(0;0)$ и $(0;6)$ . Наконец, если $a> 25$ , дуга окружности $2 2 (x− 4) +(y− 3) = a,x≥ 0$ не пересекает стороны квадрата $K$ и система уравнений не имеет решений. Таким образом, система уравнений имеет ровно два решения только при $a= 1$ и $a= 25$ .

Ответ:

${1,25}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#39868

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система уравнений

{ (|y+ 9|+ |x +2|− 2)(x2+ y2− 3)= 0; (x +2)2+ (y+ 4)2 =a.

имеет ровно три решения.

Источники: Физтех-2016, 11.6 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

При $a≤ 0$ второе уравнение имеет не больше одного решения, а значит, и вся система иметь трёх решений не может. При $a> 0$ второе уравнение задаёт окружность с центром $(− 2,−4)$ и радиусом $√ - a.$ График первого уравнения — объединение окружности с центром $(0,0)$ и радиуса $√- 3$ и квадрата с центром $(−2,−9)$ и длиной диагонали $4$ .

Расстояния от центра второй окружности до углов квадрата по прямой $x= −2$ равны $3$ и $7$ , а до центра другой окружности $√ 2---2- √- 4 +2 = 2 5$ . Мы хотим три точки пересечения с областью решений первого уравнения, поэтому либо окружность с параметром проходит через обозначенные углы квадрата (иначе пересечений с ним чётное число), либо касается окружности с центром в начале координат.

$PIC$

Замечание. Далее цвета окружностей названы в соответствием отображением в светлой, а не тёмной теме на сайте :)

Касание происходит внешним образом и $r= 2√5− √3 <3$ , то есть нет пересечений с квадратом (фиолетовая окружность) и пересечение всего одно.
$r =3,a= 9$ (проходит через вершину квадрата), как раз три точки пересечения, поскольку с красной ровно две точки пересечения (чёрная окружность).
$√- √ - √ - √-2 √-√- r =2 5 + 3<7,a= (2 5+ 3) =4 ⋅5 +2⋅2 5 3 +3$ . Здесь также три решения (синяя окружность).
$r =7$ , не пересекает красную окружность, потому решение всего одно.

Ответ:

${9;23 +4√15}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#80045

При каких значениях параметра $a$ существует единственная пара чисел $(x;y),$ удовлетворяющая системе неравенств

{ (x2 − xy+ y2)(x2− 36)≥0 |x− 2+ y|+|x− 2 − y|≤ a?

Показать ответ и решение

Рассмотрим выражение $A (x;y)= x2 − xy+ y2$ как квадратный трёхчлен относительно $x.$ Его дискриминант равен $D = y2− 4y2 = −3y2.$ При $y ⁄= 0$ дискриминант отрицателен, поэтому $A >0.$ Если $y =0,$ то $2 A = x ,$ т.е. $A > 0$ при $x ⁄=0$ и $A = 0$ при $x =0.$ В итоге получаем, что выражение $A(x;y)$ обращается в ноль в точке $(0;0)$ и положительно во всех остальных точках. Следовательно, первое неравенство системы равносильно совокупности $[ 2 2 [ x2− xy +y = 0, ⇔ x= y = 0 x − 36 ≥0 x∈ (−∞; −6]∪[6;+∞ )$ Изобразим множество точек, удовлетворяющих этой совокупности, на координатной плоскости. Получаем все точки, лежащие на прямой $x= −6$ и левее неё, точки на прямой $x =6$ и правее неё, а также точку $(0;0)$

Перейдём ко второму неравенству. Проведём на координатной плоскости прямые $x − 2+ y = 0$ и $x− 2− y = 0.$ Они разбивают плоскость на 4 области, в каждой из которых знаки выражений под модулями постоянны. Рассматриваем 4 случая. Если $x − 2 +y ≥ 0$ и $x− 2− y ≥ 0,$ то неравенство принимает вид $a x− 2+ y+x − 2− y ≤ a⇔ x ≤2 +2$ Аналогично, если $x− 2+ y < 0$ и $x− 2− y ≥0,$ то $a − x +2− y+ x− 2− y ≤ a⇔ y ≥ −2$ . Если $x− 2+y <0$ и $x − 2− y < 0,$ то $a − x +2− y− x+ 2+y ≤a ⇔ x≥ 2− 2$ Если $x− 2 +y ≥0$ и $x− 2− y < 0,$ то $a x− 2+y − x +2+ y ≤ a⇔ y ≤2$ Окончательно получаем, что при $a =0$ неравенство задаёт точку $(2;0),$ при $a >0−$ квадрат с центром в точке $(2;0)$ и стороной $a,$ а при $a< 0−$ пустое множество.

Очевидно, при $a≤ 0$ система не имеет решений. При $a >0$ для того, чтобы было единственное решение, нужно, чтобы точка $(0;0)$ попадала в квадрат, но чтобы квадрат не пересекал прямую $x= 6,$ откуда следует, что $a 2≤ 2 <4,$ т.e. $4≤ a< 8.$

Ответ:

$4 ≤a< 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#63887

Найдите все значения $a$ , при которых система уравнений

{ |x|+2|y|+ |2y− 3x|=12; x2+y2 = a.

имеет ровно два действительных решения.

Показать ответ и решение

Графиком первого уравнения системы является замкнутая ломаная $L$ (граница прямоугольника) с вершинами в точках, лежащих на прямых $3 x= 0,y = 0,y = 2x$ .

Найдем эти вершины. Если $x= 0$ , то $4|y|= 12$ ( $y = 3$ или $y = −3)$ . Если $y = 0$ , то $|x|= 3$ . Если $3 y = 2x$ , то $9 |x|=3⇐ ⇒ |y|= 2$ .

$PIC$

Ломаная $L$ изображена на рисунке, где $A1(−3;0),A2(3;0)$ , $B1(0;−3),B2(0;3),C1(−3;− 92),C2(3;92).$ Графиком второго уравнения при $a >0$ является окружность с радиусом $√a$ с центром $O(0;0)$ , при a=0 точка $O(0;0)$ , при a<0 действительных решений у уравнения нет.

Данная система имеет ровно два решения в следующих случаях:

1) окружность касается отрезков $A1B2$ и $A2B1$ , тогда радиус равен высоте прямоугольного треугольника $OA1B2$ с катетами 3 и 3 $√a-= 3√- 2$ , $a= 9. 2$

2) радиус окружности равен расстоянию от точки $O$ до точки $C 1$ (или $C 2$ ), тогда $a= 32+ (9)2 = 117- 2 4$ .

Ответ:

$9,117 2 4$