Тема Задачи с параметром

Графика. Отрезок, ромб, квадрат

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91169

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система уравнений

{ |y|+|x|=a; y = x2 +1

имеет два различных решения.

Показать ответ и решение

Изобразим фигуры, задаваемые уравнениями системы, в зависимости от $a.$ Первое уравнение — это квадрат с диагональю равной $2a,$ второе уравнение — парабола.

Если $a> 1,$

$PIC$

Если $a= 1,$

$PIC$

Если $a< 1,$

$PIC$

Видно, что система имеет два различных решения при $a> 1.$

Ответ:

$(1;+ ∞)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#64115

Найдите все значения параметра $a$ при которых существует ровно одна пара действительных чисел $(x,y)$ , удовлетворяющих системе неравенств

{ (x2− xy+ y2)(x2− 36)≥ 0, |x− 2+ y|+|x− 2 − y|≤ a?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Начнём с первого неравенства. Рассмотрите скобку (х² - хy + y²) и попробуйте представить её как сумму двух квадратов. Что мы в такой ситуации можем сказать про знак этой скобки?

Подсказка 2

Итак, первое неравенство мы можем уже решить — запишите равносильную ему совокупность.

Подсказка 3

Исследуем теперь второе неравенство: тут понадобится рассмотреть несколько случаев и честно пораскрывать модули. Запишите решения второго неравенства, в зависимости от параметра.

Подсказка 4

Осталось обработать систему: в каких случаях решения первого и второго неравенства будут иметь только одну общую точку?

Показать ответ и решение

Посмотрим внимательно на первое условие.

2 2 2 2 x − xy+ y = (x− 0.5y) + 0.75y

Значит, из первого условия следует, что либо $x= y = 0,$ либо $|x|≥ 6.$

Теперь посмотрим внимательно на второе неравенство. Заметим, что левая часть неравенства может раскрываться 4 способами:

|x− 2+ y|+|x− 2 − y|= 2x− 4

|x− 2 +y|+ |x− 2− y|= −2x+ 4

|x− 2 +y|+ |x− 2− y|= 2y

|x− 2+ y|+ |x − 2− y|= −2y

В первом случае $x − 2 ≥|y|≥ 0,$ значит, $a≥ 2x− 4 =|2x− 4|≥ |2y|.$

В втором случае $− x +2 ≥|y|≥ 0,$ значит, $a≥ −2x+ 4= |2x− 4|≥|2y|.$

В третьем случае $y ≥ 2− x$ и $y ≥ x− 2,$ значит, $y ≥|2− x|$ и $a≥ 2y = |2y|≥|2x− 4|.$

В четвертом случае $y ≤ 2− x$ и $y ≤x − 2,$ значит, $y ≤ |2 − x|≤ 0$ и $a≥− 2y = |2y|≥|2x − 4|.$

Итого, $|2y|≤ a$ и $|2x− 4|≤ a$ это решение второго неравенства.

Если $a≥ 8,$ то $x= 6$ и $y ∈[−16;16]$ подходят и значит решений больше 1.

Если $a< 4,$ то $|2x− 4|<4$ , $− 4< 2x− 4< 4$ и $0< x< 4,$ но в таком случае $x$ не подходит под первое условие.

Если $a∈ [4;8)$ , то есть решение $x =y =0,$ но других решений нет, так как если бы было другое решение, то у него $|x|≥ 6$ и значит $|2x− 4|≥ |2x|− 4 ≥8> a.$ Значит такие $a$ подходят.

Ответ:

$[4;8)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#78774

На координатной плоскости нарисован квадрат, все вершины которого лежат на графике функции $y = x3− ax$ . Известно, что одна из диагоналей квадрата лежит на прямой $y = −4x$ , а центр совпадает с началом координат. Найдите значение параметра $a$ и площадь квадрата.

Источники: Физтех-2023, 11.4 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, давайте заметим, что наша функция нечётная, а потому она центрально-симметрична. Если одна диагональ имеет угол наклона -4, а диагонали перпендикулярны, то какой угол наклона имеет другая диагональ?

Подсказка 2

Верно, с тангенсом 1/4. Если x₀ — абсцисса точки B, которая лежит в 4-ой четверти, то её ордината имеет значение -4x₀. При этом у точки квадрата, которая лежит в первой четверти, то её координаты это (4x₀, x₀). Что даёт нам тот факт, что мы знаем, что две точки лежат на графике x³ + ax? Что это значит для поиска площади?

Подсказка 3

Значит, можно подставить эти два значения в уравнение графика и поскольку точки принадлежат графику, то и подставив значения, мы получим равенство. Откуда можно найти и а, и х₀. А найти диагональ (чтобы найти площадь) совсем нетрудно, если мы знаем про нечётность функции (про симметричность координат противоположных точек)

Показать ответ и решение

Пусть $A$ и $B$ — вершины квадрата, лежащие в первой и четвёртой четвертях соответственно; $O$ — начало координат.

$PIC$

По условию точка $B$ лежит на прямой $y = −4x$ . Если $x0$ — абсцисса точки $B$ , то $x0 >0$ , а координаты точки $B$ — это $(x0;−4x0)$ . Так как точка $A$ получается из $B$ поворотом на $90∘$ против часовой стрелки вокруг точки $O,$ то её координаты $(4x0;x0)$ . Поскольку обе точки лежат на графике $y =x3− ax$ , получаем и решаем систему уравнений (учитываем, что $x0 ⁄= 0$ )

{ −4x0 = x30− ax0 x0 = 64x30− 4ax0

{ a= x20+ 4 4a= 64x20 − 1

{ 2 a= x0+ 4 4x20+16= 64x20− 1

{ x20 = 1670 a= 25607

Пусть $OA= d$ — половина диагонали квадрата. Тогда

OA2 =(4x0)2+ x20 = 17x20

Площадь квадрата $S$ равна полупроизведению его диагоналей, то есть

S = 1⋅2d⋅2d= 2d2 = 289 2 30

Ответ:

$a = 257; S = 289 60 30$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#91967

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система уравнений

{ x2 +(2a− 2)x+ a2− 2a− 3= 0 ∘x2-+-(y-− a)2+∘ (x+-4)2+-(y-− a)2 = 4

имеет ровно одно решение.

Показать ответ и решение

Перепишем первое уравнение.

2 (x− (a− 1)) = 4

Значит, $x= a− 1±2$ . Пусть $A(0,0)$ , $B(x,y− a)$ , $C(−4,0)$ . Тогда по условия $AB +BC = 4≥ AC =4$ . Значит, они лежат на одной прямой и поэтому $y− a= 0$ и $x∈ [− 4;0]$ .

Значит, $y = a$ и $x= a− 1− 2$ или $x= a− 1+ 2,$ если эти числа лежат в $[−4;0]$ . Первое значение $x$ попадает в интервал при $a ∈[−1;3]$ , а второе при $a∈[−5;−1]$ . Значит, ответ $[− 5;−1)∪ (− 1;3]$ .

Ответ:

$[−5;− 1)∪(−1;3]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#92025

Найдите все значения параметра $a$ , при которых система

{ 4|x|+3|y|= 12 x2+y2− 2x+ 1− a2 =0

а) имеет ровно 3 решения;

б) имеет ровно 2 решения.

Показать ответ и решение

Первое уравнение системы не меняется при замене $x$ на $− x$ и/или $y$ на $− y.$ Следовательно, множество точек, задаваемых первым уравнением симметрично относительно обеих осей координат. В первой четверти получаем часть прямой $4 y = 4− 3x−$ отрезок, соединяющий точки $(3;0)$ и $(0;4).$ Используя симметрию множества относительно координатных осей, получаем ромб $c$ вершинами $A(3;0),B(0;4)$ , $C(−3;0),D(0;−4)$

$PIC$

Второе уравнение системы может быть записано в виде $(x− 1)2 +y2 = a2.$ Оно задаёт окружность с центром $Q(1;0)$ радиуса $|a|($ или точку $Q$ , если $a= 0).$ При $a =0$ решений нет, так что рассмотрим случай окружности.

а) И ромб, и окружность симметричны относительно оси абсцисс, следовательно 3 решения возможны только в том случае, когда одна из общих точек окружности и ромба лежит на оси абсцисс. Это происходит, если радиус окружности равен отрезку $QA$ или отрезку $QC$ , т.е. $|a|= 2$ или $|a|= 4.$ Несложно видеть, что при $|a|= 2$ система имеет 3 решения, а при $|a|= 4− 5$ решений. Значит, 3 решения возможны только при $a= ±2$

б) Пусть $R0$ – радиус той окружности, которая касается сторон $BC$ и $CD$ , a $R1−$ радиус той окружности, которая касается сторон $AB$ и $AD$ ромба. Система имеет ровно два решения в том и только том случае, когда $|a|∈{R1}∪ (QA; R0)∪{QB}$ . $QA = 2,QB = √42+-12 = √17.$ Пусть окружность радиуса $R1$ касается стороны $AB$ в точке $J$ , а окружность радиуса $R0$ касается стороны $BC$ в точке $L.$ Треугольник $CLQ −$ прямоугольный, $tg∠C$ равен угловому коэффициенту прямой $BC$ , т.е. $tg∠C = 4. 3$ Тогда $-LQ- 3R0 CL = tg∠C = 4 .$ По теореме Пифагора для треугольника $CLQ$ получаем $2 9R20 16= R0 + 16$ , откуда $16 R0 = 5 .$ Поскольку треугольники $JQA$ и $LQC$ подобны и коэффициент подобия равен $QA- 1 QC = 2$ , то $1 8 R1 = QJ = 2QL = 5.$ Окончательно получаем ${8} ( 16) √ -- |a|∈ 5 ∪ 2; 5 ∪{ 17}.$

Ответ:

a) $|a|= 2;$

б) ${8} ( 16) √-- |a|∈ 5 ∪ 2;5 ∪ { 17}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#33591

Найдите все значения параметра $a$ , при которых система

{ |y− 3 − x|+ |y− 3+ x|= 6 (|x|− 4)2+ (|y|− 3)2 =a

имеет ровно два решения.

Источники: Физтех-2020, 11.5, (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Рассмотрим первое уравнение системы и изобразим множество его решений на координатной плоскости. Для раскрытия модулей найдём множества точек, в которых выражения под модулями обращаются в ноль. Это прямые $y− 3− x= 0$ и $y − 3+ x= 0$ . Они делят плоскость на 4 части, и в каждой из этих частей знаки выражений под модулями постоянны. Чтобы их определить, можно выбрать в каждой из четырёх частей по точке и найти знаки выражений в этих точках. Возьмём область, расположенную снизу от обеих прямых. В ней лежит, например, точка $(0;−10)$ . Подстановкой несложно убедиться, что в этой точке оба выражения $y− 3− x$ и $y− 3+x$ отрицательны. Таким образом, уравнение принимает вид $− (y− 3− x)− (y− 3+ x)=6$ , откуда $y = 0$ . C учётом рассматриваемых ограничений подходит отрезок с концами в точках $A(3;0)$ и $D(−3;0)$ . Аналогично рассматриваем остальные три случая, и в итоге получаем границы квадрата $K$ с вершинами в точках $A(3;0),B(3;6),C(−3;6)$ и $D (− 3;0)$ . Эта фигура не имеет пересечения с полуплоскостью $y < 0$ , поэтому можно считать, что $y ≥0$ . С учётом указанного замечания второе уравнение можно записать в виде $(|x|− 4)2+ (y− 3)2 = a$ (опустив модуль у переменной $y)$ . Обозначим множество точек, определяемых этим уравнением, через $Φ(a)$ . Если $a <0$ , у уравнения нет решений. При $a= 0$ оно задаёт две точки $(4;3)$ и (-4;3). Поскольку обе они не принадлежат квадрату $K$ , система не имеет решений, и значение $a= 0$ не удовлетворяет условию задачи. Перейдём к случаю $a >0$ .

$PIC$

При $x≥ 0$ уравнение принимает вид $(x− 4)2+ (y − 3)2 = a$ , и мы получаем окружность радиуса $√a$ с центром в точке $(4;3)$ (или её часть, лежащую в полуплоскости $x≥ 0$ , если вся она в этой полуплоскости не помещается). Поскольку уравнение инвариантно относительно замены $x$ на $(−x)$ , множество $Φ (a)$ симметрично относительно оси $y$ . Таким образом, $Φ(a)$ есть совокупность полученной выше окружности (или её части) и окружности, получающейся из уже построенной отражением относительно оси $Oy.$

Если $0< a< 1$ , график $2 2 (|x|− 4) +(y− 3) = a$ не пересекает квадрат $K$ , и система уравнений не имеет решений. Если $a =1$ , система уравнения имеет два решения - точки $X (3;3)$ и $Y (− 3;3)$ . Если $a∈ (1,10]$ , дуга окружности $2 2 (x− 4)+ (y− 3) = a,x ≥0$ пересекает отрезок $AB$ дважды эти две точки, а также им симметричные относительно оси $y$ , образуют 4 различных решения системы. Если $a ∈(10,25)$ , дуга окружности $2 2 (x − 4) + (y− 3) =a,x≥ 0$ пересекает отрезки $DA$ и $CB$ в двух точках с положительной абсциссой. Аналогично, эти две точки, а также им симметричные относительно оси Оy, образуют 4 различных решения системы. Если $a =$ 25 , система уравнений имеет два решения - точки $(0;0)$ и $(0;6)$ . Наконец, если $a> 25$ , дуга окружности $2 2 (x− 4) +(y− 3) = a,x≥ 0$ не пересекает стороны квадрата $K$ и система уравнений не имеет решений. Таким образом, система уравнений имеет ровно два решения только при $a= 1$ и $a= 25$ .

Ответ:

${1,25}$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#39868

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система уравнений

{ (|y+ 9|+ |x +2|− 2)(x2+ y2− 3)= 0; (x +2)2+ (y+ 4)2 =a.

имеет ровно три решения.

Источники: Физтех-2016, 11.6 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

x² + y² = 3 - это окружность с центром в начале координат и радиусом корень из 3, выражение с модулями - график квадрата с центром в (-2, -9) и длиной диагонали 4, а график второго уравнения системы - окружность с центром в (-2, -4) и радиусом корень из a. А что же является решением системы?

Подсказка 2

Так как нам достаточно, чтобы решение обнуляло хотя бы одну из скобок первого уравнения (а оно будет обнулять ровно одну, так как графики этих скобочек не пересекаются (можно убедиться на чертеже)), значит, решениями будут все пересечения графика второго уравнения с графиками двух скобочек! Какие особенные точки пересечения нужно рассмотреть, чтобы решений было ровно 3?

Подсказка 3

Точки касаний окружности (второе уравнение) с окружностью с центром в начале координат (причём нужно рассмотреть и внешнее, и внутреннее!), а также случай, когда вершины квадрата лежат на окружности с радиусом корень из a(и только они!), именно тогда решений будет три) Осталось лишь вычислить эти точки!

Показать ответ и решение

При $a≤ 0$ второе уравнение имеет не больше одного решения, а значит, и вся система иметь трёх решений не может. При $a> 0$ второе уравнение задаёт окружность с центром $(− 2,−4)$ и радиусом $√ - a.$ График первого уравнения — объединение окружности с центром $(0,0)$ и радиуса $√- 3$ и квадрата с центром $(−2,−9)$ и длиной диагонали $4$ .

Расстояния от центра второй окружности до углов квадрата по прямой $x= −2$ равны $3$ и $7$ , а до центра другой окружности $√ 2---2- √- 4 +2 = 2 5$ . Мы хотим три точки пересечения с областью решений первого уравнения, поэтому либо окружность с параметром проходит через обозначенные углы квадрата (иначе пересечений с ним чётное число), либо касается окружности с центром в начале координат.

$PIC$

Замечание. Далее цвета окружностей названы в соответствием отображением в светлой, а не тёмной теме на сайте :)

Касание происходит внешним образом и $r= 2√5− √3 <3$ , то есть нет пересечений с квадратом (фиолетовая окружность) и пересечение всего одно.
$r =3,a= 9$ (проходит через вершину квадрата), как раз три точки пересечения, поскольку с красной ровно две точки пересечения (чёрная окружность).
$√- √ - √ - √-2 √-√- r =2 5 + 3<7,a= (2 5+ 3) =4 ⋅5 +2⋅2 5 3 +3$ . Здесь также три решения (синяя окружность).
$r =7$ , не пересекает красную окружность, потому решение всего одно.

Ответ:

${9;23 +4√15}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#80045

При каких значениях параметра $a$ существует единственная пара чисел $(x;y),$ удовлетворяющая системе неравенств

{ (x2 − xy+ y2)(x2− 36)≥0 |x− 2+ y|+|x− 2 − y|≤ a?

Показать ответ и решение

Рассмотрим выражение $A (x;y)= x2 − xy+ y2$ как квадратный трёхчлен относительно $x.$ Его дискриминант равен $D = y2− 4y2 = −3y2.$ При $y ⁄= 0$ дискриминант отрицателен, поэтому $A >0.$ Если $y =0,$ то $2 A = x ,$ т.е. $A > 0$ при $x ⁄=0$ и $A = 0$ при $x =0.$ В итоге получаем, что выражение $A(x;y)$ обращается в ноль в точке $(0;0)$ и положительно во всех остальных точках. Следовательно, первое неравенство системы равносильно совокупности $[ 2 2 [ x2− xy +y = 0, ⇔ x= y = 0 x − 36 ≥0 x∈ (−∞; −6]∪[6;+∞ )$ Изобразим множество точек, удовлетворяющих этой совокупности, на координатной плоскости. Получаем все точки, лежащие на прямой $x= −6$ и левее неё, точки на прямой $x =6$ и правее неё, а также точку $(0;0)$

Перейдём ко второму неравенству. Проведём на координатной плоскости прямые $x − 2+ y = 0$ и $x− 2− y = 0.$ Они разбивают плоскость на 4 области, в каждой из которых знаки выражений под модулями постоянны. Рассматриваем 4 случая. Если $x − 2 +y ≥ 0$ и $x− 2− y ≥ 0,$ то неравенство принимает вид $a x− 2+ y+x − 2− y ≤ a⇔ x ≤2 +2$ Аналогично, если $x− 2+ y < 0$ и $x− 2− y ≥0,$ то $a − x +2− y+ x− 2− y ≤ a⇔ y ≥ −2$ . Если $x− 2+y <0$ и $x − 2− y < 0,$ то $a − x +2− y− x+ 2+y ≤a ⇔ x≥ 2− 2$ Если $x− 2 +y ≥0$ и $x− 2− y < 0,$ то $a x− 2+y − x +2+ y ≤ a⇔ y ≤2$ Окончательно получаем, что при $a =0$ неравенство задаёт точку $(2;0),$ при $a >0−$ квадрат с центром в точке $(2;0)$ и стороной $a,$ а при $a< 0−$ пустое множество.

Очевидно, при $a≤ 0$ система не имеет решений. При $a >0$ для того, чтобы было единственное решение, нужно, чтобы точка $(0;0)$ попадала в квадрат, но чтобы квадрат не пересекал прямую $x= 6,$ откуда следует, что $a 2≤ 2 <4,$ т.e. $4≤ a< 8.$

Ответ:

$4 ≤a< 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#63887

Найдите все значения $a$ , при которых система уравнений

{ |x|+2|y|+ |2y− 3x|=12; x2+y2 = a.

имеет ровно два действительных решения.

Подсказки к задаче

Подсказка

Второе уравнение - уравнение окружности. Для него понятно, как будет выглядеть график при разных значениях а. Тогда нужно лишь построить график первого уравнения. Но что это за страшный зверь? Да это же ломаная!

Показать ответ и решение

Графиком первого уравнения системы является замкнутая ломаная $L$ (граница прямоугольника) с вершинами в точках, лежащих на прямых $3 x= 0,y = 0,y = 2x$ .

Найдем эти вершины. Если $x= 0$ , то $4|y|= 12$ ( $y = 3$ или $y = −3)$ . Если $y = 0$ , то $|x|= 3$ . Если $3 y = 2x$ , то $9 |x|=3⇐ ⇒ |y|= 2$ .

$PIC$

Ломаная $L$ изображена на рисунке, где $A1(−3;0),A2(3;0)$ , $B1(0;−3),B2(0;3),C1(−3;− 92),C2(3;92).$ Графиком второго уравнения при $a >0$ является окружность с радиусом $√a$ с центром $O(0;0)$ , при a=0 точка $O(0;0)$ , при a<0 действительных решений у уравнения нет.

Данная система имеет ровно два решения в следующих случаях:

1) окружность касается отрезков $A1B2$ и $A2B1$ , тогда радиус равен высоте прямоугольного треугольника $OA1B2$ с катетами 3 и 3 $√a-= 3√- 2$ , $a= 9. 2$