Тема Иннополис (Innopolis Open)

Функции на Иннополисе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела иннополис (innopolis open)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#119884

Пусть $D$ — некоторое фиксированное непустое множество, а $f(x,y)$ — функция двух переменных, принимающих значения из $D.$ Известно, что

1.: $f(x,f(y,z))= f(f(x,z),y)$ для любых $x,y,z ∈ D,$
2.: для любых значений $x,z ∈ D$ существует такое $y ∈ D,$ что $f(x,y)=z.$

Докажите, что существует такое $t∈D,$ что $f(t,x) =x$ для всех $x∈D.$

Источники: Иннополис - 2025, 11.1 (см. lk-dovuz.innopolis.university)

Показать доказательство

Сначала докажем, что $f(x,y)=f(y,x)$ при любых $x,y ∈ D.$ Согласно свойству $2,$ для $x$ и $y$ существует такое $d,$ что $f(x,d) =y;$ тогда с помощью свойства $1$ получаем $f(x,y) =f(x,f(x,d))= f(f(x,d),x)= f(y,x).$

Далее, пусть $p$ — произвольный элемент $D;$ согласно свойству $2,$ существует такое $t∈ D,$ что $f(p,t)= p.$ Для этого $t$ и произвольного $x∈D$ имеем $f(t,x)= f(t,f(p,c)),$ где $c$ таково, что $f(p,c)= x$ (см. свойство $2).$ Тогда, используя доказанное выше, свойство $1$ и равенство $f(p,c)=x$ получаем

f(t,x)= f(t,f(p,c)) =f(t,f(c,p))=f(f(t,p),c)=f(f(p,t),c)= f(p,c),

что и требовалось доказать.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#65459

Найдите все функции $f(x)$ , которые при любых вещественных $x,y$ удовлетворяют равенству

(2 ) ( 2 ) 4 f x + y = f x − y + 2x f(y)

Источники: Иннополис-2022, 8-9 (см. dovuz.innopolis.university)

Показать ответ и решение

Во-первых, подставим $y =0$ и получим равенство $2x4f(0)= 0$ , $x$ может принимать любые значения, поэтому $f(0)=0$ . Во-вторых, подставим $x= 0$ и получим $f(y)=f(−y)$ , то есть функция является чётной. Теперь подставим $2 y = x$ и $2 y =− x$ . Получим равенства $2 4 2 f(2x)= 2x f(x )$ и $2 4 2 0= f(2x )+2x f(x )$ . Подставим результат первого равенства во второе: $4 2 0= 4x f(x )$ . Получаем, что $2 f(x )= 0$ . Следовательно, во всех положительных точках функция равна $0$ , поскольку $2 x$ пробегает все положительные значения. В силу чётности получаем, что $f(x)= 0$ при всех $x$ .