Тема Иннополис (Innopolis Open)

Функции на Иннополисе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела иннополис (innopolis open)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#65459

Найдите все функции $f(x)$ , которые при любых вещественных $x,y$ удовлетворяют равенству

(2 ) ( 2 ) 4 f x + y = f x − y + 2x f(y)

Источники: Иннополис-2022, 8-9 (см. dovuz.innopolis.university)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В аргументах функции f фигурируют х^2 и у. Это говорит о том, что их можно воспринимать как 2 переменные и пытаться делать подстановки х^2 и у по отдельности.

Подсказка 2

Чтобы избавиться от одной из двух переменных, можно применить подстановку х:=0 или у:=0. Эти подстановки дадут нам информацию про значение в нуле и чётность функции.

Подсказка 3

Ещё одна “классическая” подстановка для избавления от одной из двух переменных — x^2=у и x^2=-y (в нашем случае именно эти величины мы воспинимаем как переменные).

Подсказка 4

Данных подстановок должно быть достаточно! Осталось лишь собрать вместе всю полученную информацию про функцию f и получить ответ!

Показать ответ и решение

Во-первых, подставим $y =0$ и получим равенство $2x4f(0)= 0$ , $x$ может принимать любые значения, поэтому $f(0)=0$ . Во-вторых, подставим $x= 0$ и получим $f(y)=f(−y)$ , то есть функция является чётной. Теперь подставим $2 y = x$ и $2 y =− x$ . Получим равенства $2 4 2 f(2x)= 2x f(x )$ и $2 4 2 0= f(2x )+2x f(x )$ . Подставим результат первого равенства во второе: $4 2 0= 4x f(x )$ . Получаем, что $2 f(x )= 0$ . Следовательно, во всех положительных точках функция равна $0$ , поскольку $2 x$ пробегает все положительные значения. В силу чётности получаем, что $f(x)= 0$ при всех $x$ .