Тема Уравнения без логарифмов и тригонометрии

Правильная замена или группировка на скобки

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела уравнения без логарифмов и тригонометрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91511

Решите уравнение

4 3 2 x − 5x +4x + 5x+ 1= 0.

Показать ответ и решение

Заметим, что данное уравнение возвратное. Тогда поделим его на $x2 ⁄= 0:$

2 5 1 x − 5x+ 4+ x + x2 = 0

( 1 ) ( 1) x2− 2+ x2 − 5 x− x + 4+2 =0

( ) ( ) x− 1 2− 5 x− 1 +6= 0 x x

Замена $1 t= x− x$

2 t − 5t+ 6= 0

⌊ | t= 2 =⇒ x − 1= 2 |⌈ x1 t= 3 =⇒ x − x = 3

[ x2− 2x− 1= 0 x2− 3x− 1= 0

⌊ √- | x =1± 2 |⌈ 3±√13- x = --2---

Ответ:

$√- 3±√13- 1± 2; 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#91513

Решите уравнение

----6----- -----8---- (x +1)(x+ 2) + (x− 1)(x+4) =1.

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

(| x⁄= 1 |||{ x⁄= −1 | |||( x⁄= −2 x⁄= −4

Раскроем скобки:

---6----- ----8---- x2 +3x+ 2 + x2+ 3x− 4 = 1

Сделаем замену $2 t= x +3x$

6 8 t+-2 + t−-4 = 1

2 6t−-24-+8t+-16-− t-+-2t+-8= 0 (t+ 2)(t− 4)

2 --−t-+16t-= 0 (t+ 2)(t− 4)

[ t=0 =⇒ x2+ 3x = 0 t=16 =⇒ x2+3x =16

Итого:

⌊ x= 0 || x= −3 ||⌈ √-- x= −3±--73- 2

Ответ:

$−3±-√73- 0; − 3; 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#91514

Решите уравнение $-x2-= 12x2+7x− 6 1−2x2$ .

Показать ответ и решение

Перепишем изначальное равенство:

x2 2 1− 2x2-=6⋅(2x − 1)+ 7x

Сделаем замену: $2x2− 1= t$ , ОДЗ: $t⁄= 0$

2 x-= 6t+7x t

6t2+ 7tx +x2 =0

6t2+6tx+ tx+ x2 = 0

6t(t+ x)+x(t+x)= 0

(6t+ x)(t+ x)=0

Рассмотрим два случая:

1.

$t= −x$

2x2 − 1= −x

2 2x +x − 1 =0

[ x= 1 x= 1 2

2.

$6t= −x$

2 12x − 6= −x

12x2+ x− 6= 0

[ x= − 3 x= 2 4 3

Ответ:

$3 ;2 ;1;1 4 3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#97567

Решите уравнение

6 3 x + 9x +8 =0.

Показать ответ и решение

Решим уравнение:

6 3 x + 9x +8 =0.

Сделаем замену переменной $t= x3$ , тогда уравнение примет вид:

2 t +9t+ 8= 0.

Решим это квадратное уравнение по формуле:

√------ t= −b±--b2−-4ac, 2a

где $a =1$ , $b= 9$ , $c= 8$ . Подставим эти значения:

− 9±√92-− 4⋅1⋅8 −9± √81−-32- −9± √49 t= ------2⋅1----- = -----2-----= ---2---.

Таким образом, получаем два решения:

t1 = −9-+7 = −2= −1, 2 2

t2 = −9−-7= −16 =− 8. 2 2

Теперь вернемся к переменной $x$ . Напомним, что $t=x3$ , поэтому решаем уравнение $x3 =t$ для каждого значения $t$ .

1. Если $t =−1$ , то уравнение $x3 = −1$ имеет решение:

x= −1.

2. Если $t =−8$ , то уравнение $x3 = −8$ имеет решение:

x= −2.

Таким образом, корни исходного уравнения: $x =− 1$ и $x =−2$ .

Ответ:

-1; -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#97568

Решите уравнение

(x − 1)(x +1)(x +2)(x +4)= 7.

Показать ответ и решение

Перегруппируем первую и четвертую скобки, а также вторую и третью:

(x − 1)(x +4)(x +1)(x +2)= 7.

Теперь раскроем каждую из пар скобок:

2 (x− 1)(x+ 4)= x + 3x− 4,

(x+ 1)(x+ 2)= x2+ 3x+ 2.

Тогда уравнение приобретает вид:

(x2+ 3x − 4)(x2+ 3x+ 2)=7.

Введем замену $t= x2+3x$ . Тогда уравнение перепишется следующим образом:

(t− 4)(t+ 2)= 7.

Раскроем скобки:

t2− 2t− 8= 7,

t2− 2t− 15= 0.

Это квадратное уравнение, решаем его с использованием дискриминанта:

2 Δ = (− 2) − 4⋅1⋅(− 15)= 4+ 60= 64.

Корни уравнения:

−(−2)+√64- 2+ 8 t1 = ---2⋅1----= -2--= 5,

√-- t2 = −(−2)−-64= 2−-8= −3. 2 ⋅1 2

Теперь вернемся к переменной $x$ , используя уравнение $t=x2+ 3x$ . Нам нужно решить два квадратных уравнения:

$x2 +3x= 5$ , $x2 +3x= −3$ .

Первое уравнение:

x2+3x− 5= 0.

Используем формулу для квадратного уравнения:

∘----------- √----- √-- x = −-3±-32−-4⋅1⋅(−-5) = −3±--9+-20= −3±--29. 2 ⋅1 2 2

Корни первого уравнения:

−3+ √29 −3− √29 x1 =---2---, x2 = ---2---.

Второе уравнение:

x2+3x+ 3= 0.

Дискриминант этого уравнения:

2 Δ =3 − 4⋅1⋅3= 9− 12= −3.

Так как дискриминант отрицательный, вещественных корней нет.

Ответ:

$−-3+√29 2$ , $−-3−√29 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#97569

Решите уравнение

x2+-2x+-1 x2+2x-+2- 7 x2+ 2x+ 2 + x2+2x +3 = 6.

Показать ответ и решение

Введем замену $t= x2 +2x$ . Тогда уравнение можно переписать в виде:

t+-1 t+2- 7 t+ 2 + t+3 = 6.

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

(t+1)(t+ 3)+(t+ 2)2 7 ----(t+-2)(t+-3)--- =6 .

Раскроем скобки в числителе:

(t+ 1)(t+ 3)= t2+ 4t+ 3,

(t+ 2)2 =t2+ 4t+ 4.

Теперь числитель примет вид:

t2+ 4t+3+ t2+4t+ 4= 2t2+ 8t+7.

Знаменатель:

(t+ 2)(t+ 3)= t2+ 5t+ 6.

Уравнение теперь имеет вид:

2t2+ 8t+ 7 7 -t2-+5t+6-= 6.

Применим правило крест-накрест:

6(2t2+ 8t+7)= 7(t2+ 5t+ 6).

Раскроем скобки:

2 2 12t + 48t+ 42= 7t+ 35t+ 42.

Упростим уравнение:

12t2+48t+ 42 − 7t2− 35t− 42 =0,

5t2+ 13t= 0.

Решим квадратное уравнение:

t(5t+ 13)=0.

Отсюда $t= 0$ или $5t+ 13= 0$ , следовательно, $13 t= −5$ .

Напомним, что $2 t= x + 2x$ . Теперь решим два уравнения:

x2+ 2x= 0.

Корни:

x1 = 0, x2 = −2.

13 x2+2x =− 5-.

Умножим на 5:

5x2+ 10x+13 =0.

Дискриминант:

Δ = 102− 4⋅5⋅13= 100 − 260= −160.

Так как дискриминант отрицательный, вещественных корней нет.

Корни уравнения:

x1 = 0, x2 = −2.

Ответ:

$0;−2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#97570

Решите уравнение

( 2 )2 2 x − 4x + (x − 2) = 6.

Показать ответ и решение

Выделим внутри первой скобки полный квадрат:

2 2 2 ((x− 2) − 4) +(x− 2) =6

Сделаем замену $t= (x − 2)2 ≥ 0,$ тогда исходное уравнение преобразуется в

2 (t− 4) +t= 6

t2 − 7t+ 10 =0

[ t= 5 t= 2

Делаем обратную замену

[ (x− 2)2 =5 (x− 2)2 =2

[ √- x= 2± √5 x= 2± 2

Ответ:

$2± √5,2± √2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#97571

Решите уравнение

4 3 2 x − 8x + 17x − 8x+ 1= 0.

Показать ответ и решение

4 3 2 x − 8x +17x − 8x +1= 0

Разделим уравнение на $x2$ :

x4− 8x3+ 17x2− 8 x-+ 1-= 0, x2 x2 x2 x2 x2

что упрощается до:

2 8 -1 x − 8x+ 17− x + x2 = 0.

Введем замену $1 t= x+ x$ . Тогда:

1 x2+ x2 = t2− 2.

Перепишем уравнение через $t$ :

t2− 2− 8t+ 17=0,

упрощаем:

t2− 8t+15= 0.

Решим квадратное уравнение:

2 t− 8t+15= 0.

Найдем дискриминант:

Δ = (−8)2− 4⋅1⋅15= 64− 60= 4.

Корни:

8+ √4 8+2 t1 =--2-- = -2--= 5,

√- t2 = 8−-4 = 8− 2-= 3. 2 2

Решим уравнение $t= x+ 1x$ для каждого значения $t$ .

Для $t1 = 5$ :

x+ 1= 5. x

Умножим обе части на $x$ :

2 x − 5x+ 1= 0.

Решим это уравнение:

5± √25−-4 5 ±√21- x= ----2---- =---2--.

Корни:

√-- √ -- x1 = 5+-21, x2 = 5−--21. 2 2

Для $t2 = 3$ :

x+ 1= 3. x

Умножим обе части на $x$ :

2 x − 3x+ 1= 0.

Решим это уравнение:

3± √9−-4 3 ±√5- x= ----2--- =---2- .

Корни:

√- √ - x3 = 3+-5, x4 = 3−--5. 2 2

Ответ:

$5+√21,5−√21,3+√5,3−√5 2 2 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#97572

Решите уравнение

4 ( 2 ) x − (x− 1) 5x − 4(x− 1) =0.

Показать ответ и решение

Решим уравнение

4 ( 2 ) x − (x− 1) 5x − 4(x− 1) =0.

Подставим замены:

$2 t= x$
$h =x − 1$

Теперь мы имеем

2 2 t− 5ht+4h = 0.

Решим это уравнение относительно $t$ :

D =(−5h)2− 4⋅1⋅4h2 = 25h2− 16h2 = 9h2.

Корни:

t= 5h±3h-= 8h= 4h или t= 2h-= h. 2 2 2

Теперь подставим обратно:

Если $t= 4h$ :
$x2 =4(x− 1) =⇒ x2 =4x − 4 =⇒ x2− 4x+ 4= 0 =⇒ (x− 2)2 = 0 =⇒ x= 2.$
Если $t= h$ :
$x2 = x− 1 =⇒ x2− x+ 1= 0.$
Дискриминант отрицательный, вещественных корней нет.

x= 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#67150

Решите уравнение

3 2 --8--- x − x − x3− x2 = 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Тут сразу напрашивается замена x^3-x^2 = t. Тогда если все привести к одному знаменателю, то будет квадратное уравнение относительно t в числителе)

Подсказка 2

После решения квадратного уравнения нужно делать обратную замену, но тут выходит какое-то кубическое уравнение...Постарайтесь угадать корень и поделить это уравнение на соответствующий одночлен)

Показать ответ и решение

Сделав замену $t=x3 − x2$ получаем

8 t2− 2t− 8 { t2− 2t− 8 =0 t− t = 2 ⇐ ⇒ ---t----= 0 ⇐ ⇒ t⁄=0

[ t= −2 t= 4

Обратная замена:

t=4 =⇒ x3− x2− 4 =0

(x − 2)(x2+ x+ 2)=0 ⇐ ⇒ x =2

t= −2 =⇒ x3− x2+ 2= 0

(x +1)(x2− 2x+ 2) =0 ⇐⇒ x =−1

Ответ:

$− 1; 2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#67151

Решите уравнение

3 3 (x+ 5)+ (x+ 7) = 8

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте посмотрим внимательнее на левую часть как на функцию. Это сумма двух кубических функций. А справа у нас стоит константа. Есть ли в этом что-то примечательное?

Подсказка 2

Кубическая функция - монотонная) Т.е. слева стоит монотонная функция как сумма двух монотонных функций! Остается угадать корень и объяснить, что только он один и подойдет)

Показать ответ и решение

Первое решение.

После замены $x +6 =t$ получаем уравнение

3 3 (t− 1)+ (t+1) = 8

3 2t+ 6t− 8 =0

2(t− 1)(t2+ t+4)= 0

t= 1 =⇒ x= −5

Второе решение.

Левая часть является монотонно возрастающей функцией как сумма двух монотонно возрастающих кубических функций. Поэтому значение $8$ она может принимать не более, чем в одной точке. Легко видеть, что это значение достигается при $x= −5,$ потому что $x +5= 0,x+ 7=2 =⇒ (x+ 7)3 = 8.$

Ответ: -5

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#67152

Решите уравнение

( 2 ) x − 5x (x+ 3)(x− 8)+108= 0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть скобка где стоит что-то квадратное, и две скобки-одночлены. Давайте перемножим скобки-одночлены между собой, вдруг выйдет что-то похожее)

Подсказка 2

Вышло x^2-5x-24, что как раз похоже на первую скобку, но с -24. Тогда давайте сделаем просто замену t = x^2-5x и решим квадратное уравнение, после сделаем обратные замены)

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное уравнение:

( 2 )( 2 ) x − 5x x − 5x − 24 + 108= 0

Пусть $2 x − 5x= t$

t(t− 24)+ 108 =0

2 t − 24t+ 108= 0

[ t=6 t=18

Обратная замена:

[ t =6⇒ x2 − 5x− 6= 0⇔ x =6 x =−1 2 5±-√97 t= 18⇒ x − 5x− 18= 0⇔ x= 2

Ответ:

$5±√97; 6; − 1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#67536

Решите уравнение

x(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3)= 0,5625

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В таких случаях, когда мы видим много скобочек, бывает полезно разбить скобочки на группы и выполнить умножение внутри групп, ориентируясь на то, чтобы после умножения пары стали в чём-то похожи.

Подсказка 2

Здесь лучше разбить скобки на две пары, например, чтобы в результате умножения в каждой паре был одинаковый коэффициент при х.

Подсказка 3

Умножьте первую скобочку на последнюю, а вторую на третью. Получатся две очень похожие скобочки. Замените общую часть на временную переменную и решите полученное уравнение. Не забывайте про обратную замену!

Показать ответ и решение

9- x(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3)= 16

Сгруппируем сомножители:

9 x(x +3)⋅(x+1)(x+2)= 16

(x2+ 3x)⋅(x2+ 3x+ 2)= -9 16

Пусть $t=x2+ 3x.$ Тогда:

t(t+ 2)= 9-|⋅16 16

16t2+ 32t− 9= 0

D 4-= 162+9 ⋅16= 16⋅25.

t= −16±-20= −1± 5 16 4

t∈ {− 9,1} 4 4

Выполним обратную замену:

1.: $t= − 9. 4$ Тогда
$4x2+12x+ 9= 0,x =− 3 2$
2.: $1 t= 4.$ Тогда
$√ -- ∘ -- 4x2+ 12x− 1 =0,x= −-6±-40-= − 3 ± 5. 4 2 2$

Ответ:

$− 3,− 3±∘ 5 2 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#67825

Решите уравнение

6 5 4 3 2 x − x +x − x + x − x +1 =0

Показать ответ и решение

При $x= −1$ в левой части получается $1+ 1+ 1+1 +1+ 1+ 1,$ так что $x= −1$ это не корень, поэтому мы можем домножить обе части уравнения на $x+ 1:$

(6 5 4 3 2 ) 6 5 4 3 2 xx − x + x − x +x − x+ 1 +x − x + x − x + x − x+ 1= 0

7 6 5 4 3 2 x − x + x − x +x − x + x +

+ x6− x5+x4− x3+ x2− x +1 =0

x7+1 =0

x7 =− 1

Как мы уже отметили, $x =− 1$ не является корнем, и других решений у уравнения нет.

Ответ: корней нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#40721

Решите уравнение

(x − 4)(x − 5)(x − 6)(x − 7)= 1680

Показать ответ и решение

После замены $t= x− 7$ получаем уравнение

(t+ 3)(t+2)(t+ 1)t= 1680

Первое решение.

Перемножим первую и четвёртую скобки, затем вторую и третью:

2 2 (t +3t)(t +3t+ 2)=1680

После замены $y =t2+ 3t$ получаем уравнение

y(y +2)= 1680

y2+2y− 1680 =0

y =− 1±√1-+-1680= −1± 41

При обратной замене получаем $t2+ 3t− 40= 0 ⇐⇒ t∈{−8;5}$ или $t2+ 3t+42= 0 ⇐⇒ t ∕∈ℝ.$

Наконец, $x= t+7 ∈{−1;12}$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Из разложения на множители

1680 =5⋅6⋅7⋅8 =(−8)⋅(− 7)⋅(−6)⋅(− 5)

имеем корни $t=5,t= −8$ . Введём функцию

f(t)= t(t+ 1)(t+ 2)(t+3)− 1680

Заметим, что $f(0)= −1680< 0$ , а при $t≥ 0$ функция $f(t)$ монотонно возрастает, так что при $t> 0$ может быть не более одного корня. Мы уже поняли, что один корень всё-таки есть и это $t= 5$ .

Заметим, что $f(− 3)=− 1680< 0$ , а при $t≤ −3$ функция $f(t)$ монотонно возрастает, так что при $t<− 3$ может быть не более одного корня. Мы уже поняли, что один корень всё-таки есть и это $t= −8$ .

При $t∈ [−3,0]$ можно сделать оценку

f(t)= t(t+ 1)(t+ 2)(t+3)− 1680< 34− 1680< 0

Значит, на этом отрезке нет корней.

Осталось сделать обратную замену $x =t+ 7$ и записать ответ.

Ответ:

$− 1;12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#92082

Решите уравнение:

(2 ) ( 2 ) ( 2 ) (2 ) x + x+ 1 + x + 2x+ 3+ x +3x +5 + ...+ x + 20x+39 = 4500.

Показать ответ и решение

Перепишем левую часть

(x2+x +1)+ (x2 +2x+ 3)+(x2+ 3x+ 5) +...+ (x2+20x+ 39)= 2 = 20x +(1+ 2+ ...+20)x+ (1+ 3+ ...+ 39)= = 20x2+ 20-⋅21x+ 10⋅40= 20x2+ 210x +400 2

Нам осталось решить уравнение

20x2+ 210x+ 400 =4500 2 2x +21x− 410 =0

Его корни 10 и -20.5 .

Ответ: 10, -20.5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#97650

Решите уравнение $6x2+ 10x+25+ 5y2+10xy = 0.$

В ответ запишите возможные значения суммы $x+ y$ через пробел, если решений нет, введите « $−$ ».

Источники: ВСОШ - 2022, школьный этап, 8 класс

Показать ответ и решение

Выделим в данном выражении два полных квадрата:

2 2 ( 2 ) ( 2 2) 2 2 6x +10x+ 25+5y + 10xy = x + 10x +25 + 5y + 10xy +5x = (x+ 5) +5(y+ x) =0

Итак, у нас получилось, что сумма двух неотрицательных выражений равна нулю. Такое возможно, только если оба выражения равны нулю, так как каждый их квадратов не отрицателен. То есть

{ x+ 5= 0 { x= −5 x+ y = 0 ⇐⇒ y = 5

Итак, $x =− 5,$ $y = 5.$

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#99200

Решить уравнение:

9 3 √---- x − 2021x + 2022= 0.

Источники: Газпром - 2022, 11.1 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что у нас есть корень из 2022. А также интересный коэффициент 2021. Что хочется сделать?

Подсказка 2

Давайте вычтем x³, чтобы получить коэффициент 2022. Ведь тогда мы сможем разложить выражение на множители!

Подсказка 3

Попробуем разложить на скобки. Получится, что хотя бы одна из двух скобок должна равняться 0. Один из корней сразу виден – это корень 6-ой степени из 2022. А вот второй пока непонятен. Что нужно сделать с уравнением 6-ой степени, чтобы мы умели его решать?

Подсказка 4

Конечно же, делаем замену на x³. Дальше остаётся неприятное квадратное уравнение, но даже с таким Вы точно справитесь!

Показать ответ и решение

Разложим на скобки:

9 3 3 √---- x − 2022x +x + 2022= 0

x3(x6− 2022)+ x3+ √2022-=0

x3 (x3 − √2022)(x3+ √2022) +(x3+ √2022) = 0

( 3 √----)( 6 3√ ---- ) x + 2022 x − x 2022+ 1 = 0

[ √---- x3+ 2√022-=0 x6− x3 2022+ 1= 0

Первое уравнение совокупности имеет одно решение $6√---- x =− 2022$ .

Введём замену во втором уравнении $t= x3$ , тогда:

√ ---- t2− t 2022+ 1= 0

[ √2022+√2018 t= √20222−√2018 t= 2

Вернемся к исходной переменной и получим

∘ √------√---- x = 3--2022±--2018 2

Ответ:

$−√62022; 3∘ √2022±√2018 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#77813

Решите уравнение

10 4 2 x − 3x + x + 1= 0.

Показать ответ и решение

Сделаем замену: $t= x2,t≥ 0.$ Получим, уравнение:

5 2 t− 3t+ t+ 1= 0

Заметим, что $t= 1$ является корнем и разделив уравнение на $(t− 1),$ получим следующее:

(t− 1)(t4+ t3+ t2 − 2t− 1) =0

Многочлен $t4+ t3+ t2− 2t− 1$ также имеет корень $t=1.$ После деления этого многочлена на $(t− 1)$ получаем уравнение:

(t− 1)2(t3 +2t2+3t+ 1)=0

Многочлен $t3+ 2t2+ 3t+1$ имеет только положительные коэффициенты и поэтому у него нет неотрицательных корней. Таким образом, $t=1$ $−$ единственный корень (кратности $2$ ) и, возвращаясь к переменной $x,$ получаем два корня $x =±1.$