Отбор Иннополиса
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вписанная окружность треугольника касается сторон и в точках и соответственно, а — центр описанной окружности треугольника Докажите, что
Источники:
Подсказка 1
Давайте подумаем про точку O. Она равноудалена от B, I и C (это ведь центр окружности)...А какая еще точка удовлетворяет этим условиям?)
Подсказка 2
По лемме о трезубце - это середина дуги BC! А т.к. это середина дуги, то углы OAB и OAC равны. Осталось найти еще равенство двух треугольничков, и задача решена)
Рассмотрим точку — середину дуги (дуга не содержит точку ), описанной окружности треугольника По лемме о трезубце получаем
Следовательно, равноудалена от всех трех вершин треугольника поэтому
Так как — середина дуги то К тому же как касательные, проведенные из одной точки В итоге получаем, что треугольник равен треугольнику по двум сторонам и углу между ними. Но тогда как внешние углы равных треугольников.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны два многочлена
и Найдите значение где — корни многочлена
Заметим, что если вынести в то получим
Следовательно, условие про примет вид:
Но, по условию, корни следовательно,
Осталось применить теорему Виета для чтобы найти
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Из множества 1, 2, …, 10 выбираются равновероятно три числа (возможно одинаковых). Какова вероятность того, что сумма этих чисел равна 10?
Источники:
Подсказка 1
Сначала запишем условие в виде равенства, то есть у нас получится x+y+z=10 для каких-то чисел от 1 до 10. Давайте если не сталкивались с такой идеей, попробуем до неё дойти сами. Представим число 10 так, что как будто у нас есть 10 шаров. Что нам надо будет сделать тогда с ними, чтобы наше равенство было верным?
Подсказка 2
Верно, нужно как-то разделить шары на три кучки — это будет равносильно нашему равенству. Понятно, что в каждой кучке должен быть хотя бы один шар. Допустим, мы выложили шары в ряд и делим на кучки перегородками. Сколько тогда есть в принципе вариантов разбить на кучки?
Подсказка 3
Да, нам нужно из девяти мест, которые есть между шарами, выбрать два. И это будут как раз те варианты, когда наше равенство верно. Теперь осталось только посчитать общее число вариантов и найти вероятность. Победа!
Нужно найти, сколькими способами можно решить уравнение
где
Выпишем в ряд десять единиц и поставим между ними две перегородки (в разные места). Тогда это число единиц до левой перегородки, — между левой и правой, — после правой. Так как единиц всего , то . Заметим, что мест для расположения перегородок всего , а нам нужно выбрать только . Поэтому число решений уравнения равно Всего есть способов выбрать числа из . Значит итоговая вероятность равна