Тема Иннополис (Innopolis Open)

Отбор Иннополиса

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела иннополис (innopolis open)
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68310

Вписанная окружность треугольника ABC  касается сторон AB  и AC  в точках D  и E  соответственно, а O  — центр описанной окружности треугольника BCI.  Докажите, что ∠ODB  = ∠OEC.

Источники: Иннополис-2017

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем про точку O. Она равноудалена от B, I и C (это ведь центр окружности)...А какая еще точка удовлетворяет этим условиям?)

Подсказка 2

По лемме о трезубце - это середина дуги BC! А т.к. это середина дуги, то углы OAB и OAC равны. Осталось найти еще равенство двух треугольничков, и задача решена)

Показать доказательство

Рассмотрим точку O′ — середину дуги BC  (дуга не содержит точку A  ), описанной окружности треугольника ABC.  По лемме о трезубце получаем

 ′    ′     ′
O C = O B =O I

Следовательно, O′ равноудалена от всех трех вершин треугольника BIC,  поэтому O′ = O.

PIC

Так как O  — середина дуги BC,  то ∠BAO = ∠CAO.  К тому же AD = AE  как касательные, проведенные из одной точки A.  В итоге получаем, что треугольник ADO  равен треугольнику AEO  по двум сторонам и углу между ними. Но тогда ∠ODB = ∠OEC  как внешние углы равных треугольников.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#76054

Даны два многочлена

       4    3    2
G(x)= x +Ax  +Bx  +Cx +D

и H(x)= x2+Ax + B.  Найдите значение G(x1)+G (x2),  где x1,x2  — корни многочлена H (x).

Показать ответ и решение

Заметим, что если вынести x2  в G(x),  то получим

       2  2                   2
G (x)= x ⋅(x + Ax +B)+ Cx +D = x ⋅H(x)+Cx +D

Следовательно, условие про G(x1)+G(x2)  примет вид:

              2                  2
G (x1)+ G(x2)= (x ⋅H (x1)+ Cx1+ D)+ (x ⋅H (x2)+ Cx2+ D)

Но, по условию, x1,x2  корни H(x),  следовательно,

G(x )+G (x )= C(x +x )+ 2D
   1     2      1  2

Осталось применить теорему Виета для H(x),  чтобы найти x1 +x2 :

G(x1)+ G(x2)= C(x1+ x2)+ 2D =C ⋅(− A)+2D = 2D− AC
Ответ:

 2D − AC

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#78842

Из множества 1, 2, …, 10 выбираются равновероятно три числа (возможно одинаковых). Какова вероятность того, что сумма этих чисел равна 10?

Источники: Иннополис-2017, отборочный тур, 11 класс (см. olymp.innopolis.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала запишем условие в виде равенства, то есть у нас получится x+y+z=10 для каких-то чисел от 1 до 10. Давайте если не сталкивались с такой идеей, попробуем до неё дойти сами. Представим число 10 так, что как будто у нас есть 10 шаров. Что нам надо будет сделать тогда с ними, чтобы наше равенство было верным?

Подсказка 2

Верно, нужно как-то разделить шары на три кучки — это будет равносильно нашему равенству. Понятно, что в каждой кучке должен быть хотя бы один шар. Допустим, мы выложили шары в ряд и делим на кучки перегородками. Сколько тогда есть в принципе вариантов разбить на кучки?

Подсказка 3

Да, нам нужно из девяти мест, которые есть между шарами, выбрать два. И это будут как раз те варианты, когда наше равенство верно. Теперь осталось только посчитать общее число вариантов и найти вероятность. Победа!

Показать ответ и решение

Нужно найти, сколькими способами можно решить уравнение

x1+ x2+x3 =10

где x1,x2,x3 ∈ 1,2 ...,10

Выпишем в ряд десять единиц и поставим между ними две перегородки (в разные места). Тогда x1  это число единиц до левой перегородки, x2  — между левой и правой, x3  — после правой. Так как единиц всего 10  , то x1 +x2+ x3 = 10  . Заметим, что мест для расположения перегородок всего 9  , а нам нужно выбрать только 2  . Поэтому число решений уравнения равно C2 = 36.
  9  Всего есть  103  способов выбрать 3  числа из 10  . Значит итоговая вероятность равна -36-.
103

Ответ: 0.036
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!