Регион 11 класс → .11 Регион 2024
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
График 
квадратного трехчлена 
с вещественными коэффициентами пересекает график 
квадратного трехчлена 
в точках 
и 
Касательные в точках 
и 
к графику 
пересекаются в
точке 
Оказалось, что точка 
лежит на графике 
Найдите все возможные значения 
Источники:
Подсказка 1
Вычтем из обоих трехчленов линейную функцию, проходящую через A и B. Как теперь выглядят условия задачи?
Подсказка 2
На самом деле, условия касания парабол и прямых, а также пересечение прямых на параболе сохраняются и для новых трехчленов. Осталось решить задачу для более простого случая, когда параболы пересекаются в 2 точках, являющиеся из нулями.
Вычтем из обоих трехчленов линейную функцию, график которой проходит через точки 
и 
Обозначим
полученные трехчлены соответственно 
и 
(где у 
старший коэффициент равен 
а у 
он равен
). Пусть абсциссы точек 
и 
равны соответственно 
и 
Тогда 
и
касательные в точках 
и 
к графику трехчлена 
пересекаются на графике 
В самом деле,
вычитание линейной функции сохраняет условия касания прямой и параболы в точке с заданной абсциссой, а также
пересечения двух прямых и параболы в одной точке.
Обозначим 
через 
Поскольку 
график трехчлена 
симметричен
относительно прямой 
поэтому касательные к этому графику в точках 
и 
пересекаются на оси
симметрии. Пусть также точка пересечения касательных имеет координаты 
а вершина параболы-графика
имеет координаты 
Поскольку старший коэффициент трехчлена 
равен 
имеет место равенство 
или
поскольку график 
есть парабола 
, перенесенная параллельно так, чтобы вершина
попала в 
По этой же причине угловые коэффициенты касательных в точках 
и 
есть
значит, 
Таким образом, если перенести параболы-графики 
и 
так, чтобы
их вершины попали в 
то ординаты точек с абсциссой 
на этих параболах будут соответственно
и 
из чего следует, что старший коэффициент у 
в 
раза больше, чем у
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Правильный треугольник 
со стороной 111 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со
стороной 1. Все вершины этих треугольников, кроме центра треугольника 
отмечены. Назов¨ем множество из нескольких
отмеченных точек линейным, если все эти точки лежат на одной прямой, параллельной стороне 
Сколько существует
способов разбить все отмеченные точки на 111 линейных множеств? (Способы, отличающиеся порядком множеств, считаются
одинаковыми.)
Источники:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
У учителя есть 100 гирь массами 1 г, 2 г, …, 100 г. Он хочет раздать Пете и Васе по 30 гирь так, чтобы выполнялось следующее условие: никакие 11 Петиных гирь не уравновешиваются никакими 12 Васиными гирями, а также никакие 11 Васиных гирь не уравновешиваются никакими 12 Петиными гирями. Сможет ли учитель это сделать?
Источники:
сможет
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В пространстве расположены отрезки 
и 
с общей серединой 
Оказалось, что сфера 
описанная около тетраэдра
касается плоскости 
в точке 
Точка 
— центр окружности, описанной около треугольника 
Докажите, что
Источники:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дано натуральное число 
Изначально на доске написано число 1. Каждую минуту Петя представляет число, записанное на доске, в
виде суммы двух неравных положительных несократимых дробей, а Вася оставляет на доске только одну из этих двух дробей. Докажите,
что Петя может добиться того, чтобы знаменатель оставшейся дроби через 
минут не превышал 
вне зависимости от действий
Васи.
Источники:
