Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.16 Окружность: отрезки хорд, секущих, касательных

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#703

Из точки $A$ вне окружности проведена касательная $AB$ и секущая $AD,$ как показано на картинке. Найдите длину отрезка $AC,$ если $CD = 14,$ а $AB = 6√2.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то

2 AB = AC ⋅AD = AC ⋅(AC +CD )

Отсюда имеем:

√- (6 2)2 = AC ⋅(AC +14) ⇒ AC2 + 14AC − 72= 0 ⇒ AC = 4 или AC = −18

Так как длина отрезка — неотрицательное число, то $AC =4.$

Ответ: 4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1997

Из точки $A$ вне окружности проведена касательная $AB$ и секущая $AD,$ как показано на рисунке. Найдите длину отрезка $CD,$ если $AC =5,$ а длина отрезка $AB$ касательной равна 10.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то

2 AB = AC ⋅AD = AC ⋅(AC +CD )

Отсюда имеем:

102 = 5⋅(5+ CD ) ⇒ CD = 15

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#229

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠C = 90∘,$ $AB = 10,$ $CO$ — медиана. Найдите длину $CO.$

Показать ответ и решение

В прямоугольном треугольнике медиана из вершины прямого угла равна половине гипотенузы. Покажем это. Опишем около треугольника $ABC$ окружность.

$PIC$

Так как $∠ACB = 90∘$ — вписанный, то он равен половине градусной меры дуги, на которую опирается. Следовательно, градусная мера дуги $AB,$ не содержащей точку $C,$ равна $180∘.$ Значит, $AB$ — диаметр и $O$ — центр описанной около треугольника $ABC$ окружности.

Тогда $AO = BO = CO$ как радиусы и искомый отрезок равен

CO = 0,5AB = 5

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#704

Из точки $A$ вне окружности проведены две касательные $AB$ и $AC$ (где $B, C$ — точки касания). Через произвольную точку $X$ на окружности проведена касательная к окружности, пересекающая $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите периметр треугольника $AMN,$ если $AB = 10.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Рассмотрим картинку:

$PIC$

Т.к. отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны, то $AB = AC = 10,$ $MB = MX$ и $NC =NX.$

Следовательно, периметр

PAMN = AM + MN + AN =AM + (MX + XN )+ AN = = AM + (MB +NC )+ AN =(AM +MB )+ (NC +AN )= = AB + AC = 10+ 10= 20

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#943

Дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R.$ Её хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K.$ Известно, что $AK = KB,$ $CK = AB.$ Найдите $KD :CD.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $AB$ и $CD$ — пересекающиеся в точке $K$ хорды, то

AK ⋅KB = CK ⋅KD

Тогда $AK2 =2AK ⋅KD,$ откуда имеем:

KD = 0,5AK = 0,25AB = 0,25CK

Следовательно, $CK =4KD,$ тогда

CD = CK + KD =5KD ⇒ KD :CD = 0,2

Ответ: 0,2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#1554

Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P,$ причём $AP = 6,$ $PB = 4,$ $P C =3.$ Найдите $PD.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Произведение отрезков одной из пересекающихся хорд равно произведению отрезков другой. Покажем это. Соединим $AC$ и $BD.$

$PIC$

Рассмотрим треугольники $APC$ и $PBD :$ $∠AP C = ∠BP D$ как вертикальные, $∠ACD$ и $∠ABD$ — вписанные, опирающиеся на одну дугу, следовательно, $∠ACD = ∠ABD.$

Таким образом, треугольники $AP C$ и $P BD$ подобны по двум углам. Из их подобия следует, что

CP-= AP- PB P D

(в подобных треугольниках против равных углов лежат пропорциональные стороны), откуда можно получить $CP ⋅P D =AP ⋅P B.$ В данной задаче имеем: $3 ⋅PD = 6⋅4,$ откуда $P D =8.$

Ответ: 8

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#1555

Луч $PA$ касается окружности в точке $A,$ а луч $P C$ пересекает эту окружность в точках $B$ и $C.$ При этом $PA = 4,$ $P C = 8.$ Найдите $PB.$

$PIC$

Показать ответ и решение

По свойству окружности квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей:

2 AP =P B ⋅P C

Покажем это. Проведем хорды $AB$ и $AC.$

$PIC$

Рассмотрим треугольники $APB$ и $AP C.$ В них $∠AP C$ — общий. Далее, так как угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, заключённой между ними, то

∠P AB = 0,5 ⌣ AB = ∠ACB

Таким образом, треугольники $AP C$ и $AP B$ подобны по двум углам. Из их подобия следует, что

AP- P-B PC = AP

Отсюда получаем то, что требовалось:

AP2 =P B ⋅P C

Тогда окончательно имеем:

16= P B⋅8 ⇒ PB = 2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1998

Диаметр $AA1$ окружности пересекает хорду $BB1$ под прямым углом в точке $C,$ причем делится этой точкой на отрезки длиной 18 и 32, считая от точки $A.$ Найдите $BB1.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Проведем из центра окружности точки $O$ радиус $OB.$

$PIC$

Так как весь диаметр равен $18+ 32= 50,$ то радиус равен 25. Следовательно, $OB = 25,$ $OC = 25− 18= 7.$

Так как радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам, то $BC = CB1.$ Найдем $BC.$ Треугольник $BOC$ — прямоугольный, следовательно,

BC2 = BO2 − OC2 BC2 = 252 − 72 2 2 BC = 24 BC = 24

Значит, $BB1 = 2BC = 48.$

Ответ: 48

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1999

Из некоторой точки $C$ на окружности к диаметру $AB$ проведен перпендикуляр $CH,$ причем $H$ разделила диаметр на отрезки длиной $28$ и $7,$ считая от точки $A.$ Найдите длину отрезка $CH.$

Показать ответ и решение

Рассмотрим картинку:

$PIC$

Т.к. угол $ACB$ опирается на диаметр, то он прямой. Следовательно, треугольник $ABC$ прямоугольный, и $CH$ — высота, опущенная из вершины прямого угла. Следовательно, она делит треугольник $ABC$ на два подобных треугольника $ACH$ и $BCH.$ Значит:

AH- = CH-- ⇒ CH2 = AH ⋅HB ⇒ CH = √28-⋅7= 14 CH HB

Ответ: 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#2184

$AB$ – хорда окружности с центром в точке $O$ . При этом $AB = 10$ . Какую наименьшую длину может иметь радиус $R$ такой окружности, если известно, что $AB > 1,5R$ ?

Показать ответ и решение

Докажем, что диаметр — это хорда наибольшей длины. Пусть $MN$ — произвольная хорда, не являющаяся диаметром, а $MK$ — диаметр. Тогда треугольник $MNK$ прямоугольный, $MK$ — гипотенуза, $MN$ — катет, следовательно, $MK > MN,$ то есть диаметр больше любой хорды.

$PIC$

Чтобы радиус исходной окружности был наименьшим, необходимо, чтобы хорда $AB$ была наибольшей, то есть чтобы $AB$ была диаметром окружности. При этом $AB = 2R > 1,5R,$ то есть условие выполнено.

Таким образом, наименьшее возможное значение $R$ равно

AB :2= 10:2 =5

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#2692

Точки $B$ , $C$ , $D$ и $E$ угла $CAE$ лежат на окружности, причём точка $B$ лежит на $AC,$ $AB =3,$ $AC = 6,$ $AD = 2.$ Найдите $DE.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Произведение отрезков секущих равны:

AB ⋅AC = AD ⋅AE

Покажем это. Построим $AF$ — касательную.

$PIC$

Так как квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, то

AB ⋅AC = AF 2 = AD ⋅AE

В данной задаче имеем: $18= 2⋅AE,$ откуда $AE = 9,$ тогда

DE = AE − AD = 9− 2= 7

Ответ: 7

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#12940

Две окружности имеют общую точку $M$ и общую касательную в этой точке. Прямая $AB$ касается одной окружности в точке $A,$ а другой — в точке $B.$ Докажите, что точка $M$ лежит на окружности с диаметром $AB.$

Показать ответ и решение

Пусть $K$ — точка пересечения общей касательной и прямой $AB.$ Тогда $KM = KB$ как отрезки касательных к окружности из одной точки, аналогично $KM = KA.$ Получили, что точка $K$ равноудалена от точек $A,$ $M$ и $B,$ следовательно, $A,$ $M$ и $B$ лежат на окружности с центром в $K$ и радиусом $KM.$ Кроме того, хорда $AB$ проходит через центр окружности $K,$ значит, $AB$ — диаметр этой окружности.

$PIC$

Ответ:

Предыдущий раздел

Следующий раздел