Тема ШВБ (Шаг в будущее)

Алгебраические текстовые задачи на ШВБ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела швб (шаг в будущее)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#86476

За время освоения космического пространства на различных орбитах скопилось по данным NASA около 300 тысяч объектов космического мусора. Дальнейшее использование космического пространства в ближайшем будущем может быть существенно осложнено всё возрастающей угрозой столкновения с космическим мусором. Согласно результатам исследований, удаление 3-5 крупных объектов в год с низких околоземных орбит позволяет предотвратить цепную реакцию роста объектов космического мусора в будущем. На данный момент работающей технологией по утилизации космического мусора является увод старых спутников. Это можно сделать с помощью аппаратов-захватчиков, которые буксируют мусор на орбиты для захоронения.

Рассмотрим плоскость орбиты захоронения. Пусть крупный фрагмент мусора движется в этой плоскости по эллиптической орбите с большой полуосью равной 5000 км, малой - 2500 км. (Для удобства вычислений все расчеты будем производить в тысячах километров.) Введем систему координат с началом отсчета в центре рассматриваемого эллипса, с осью абсцисс, направленной вдоль большой полуоси. Тогда уравнение траектории движения обломка запишется следующим образом: $x2+ 4y2 = 25$ .

На некотором удалении по оси абсцисс находится межпланетная научная станция $S$ . С нее стартует летательный аппарат-захватчик, который движется по параболической траектории: $(y+ 1)2 =− 9⋅(x − 7)∕4$ . Он должен совершить маневр по переходу с одной орбиты на другую и плавно подойти к обломку для изменения его скорости и направления движения.

$PIC$

Определите координаты точки касания указанных траекторий и угол, который образует с положительным направлением оси абсцисс касательная к параболической траектории в начальный момент времени в точке $S$ .

Источники: ШВБ - 2024, 11.6 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Выразим из уравнений

2 2 2 x−-7 x + 4y = 25 и (y +1) = −9⋅ 4

функции в явном виде:

∘------ y =± 25-− x2-и y = −1± ∘ −9⋅(x− 7)∕4 4

Найдём их производные:

′ 1-(−2x)- ′ 1---(−9)--- y =± 4√25−-x2 и y =± 4∘ −9⋅(x−-7)

Приравняем производные друг к другу:

± 1√(−2x)-= ±1 ∘--(−9)--- 4 25− x2 4 − 9⋅(x− 7)

√-2x--2 = ∘---9----- 25− x −9⋅(x− 7)

-4x2-- -9-- 25 − x2 = 7− x

28x2− 4x3 =9 ⋅25− 9x2

Будем искать целые решения уравнения. Если такие есть, то они являются делителями свободного члена.

$x= 3$ подходит. Преобразуем уравнение, поделив на $x− 3$ , получим

( 2 ) (x− 3)4x − 25x − 75 = 0

( 25 +5√73) ( 25− 5√73) (x− 3) x −---8---- x− ---8---- = 0

Но $0< x< 7,$ поэтому подходит только $x= 3$ . Подставляя $x= 3$ в любое из исходных выражений, находим $y = 2$ . Значит, координаты точки касания это $(3;2).$

Теперь вычислим тангенс для точки $S$ с оси абсцисс. При $y =0$ из $(0 +1)2 = −9⋅(x − 7)∕4$ получаем абсциссу $x = 599 .$ Подставляем в производную и находим тангенс угла касательной в начальный момент:

( ) y′ = ±1∘--(−9)----=± −-9 4 −9⋅(x− 7) 8

[ 9 tgα= 8 9 tgα= − 8

[ α= arctg(9) α= arctg(−89)= π− arctg (9) 8 8

Ответ:

координаты $(3;2)$

угол может быть $(9) ± arctg 8$ (две касательных из точки $S$ )

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#69312

Во всем мире популярна игра в хоккей. Многое в игре зависит от вратаря. Для отработки навыков вратарей и обеспечения тренировочного процесса, который бы не зависел от других игроков, создали шайбомет. Автомат можно настроить так, чтобы он выбрасывал шайбы с заданной временной частотой, скоростью и под определенным углом.

Пусть линия ворот находится на расстоянии 25 м от центральной точки $O$ хоккейной площадки. Автомат установлен на расстоянии $d =16$ м от точки $O$ по направлению к воротам, скорость выброса шайбы равна $V0 = 20$ м/c. Броски производятся в плоскости, перпендикулярной поверхности льда и линии ворот. При этом для обеспечения безопасности траектория вылетающих шайб должна, с одной стороны, находиться не выше прямой линии, соединяющей центр ледовой площадки $O$ с точкой, находящейся в плоскости полета шайб, в плоскости ворот, и на расстоянии одного метра от поверхности льда, а с другой стороны — должна пересекать плоскость ворот по нисходящей ветви траектории.

$PIC$

Определите максимально возможное значение тангенса угла, под которым могут вылетать шайбы из шайбомета, если траектория движения шайбы, рассматриваемой как материальная точка, в плоскости ее полета в системе координат с центром в $O$ и осью абсцисс, направленной вдоль поверхности льда, описывается уравнениями

({ x =d +V0tcosα ( gt2 y =V0tsinα − 2

Для упрощения вычислений можно считать, что ускорение свободного падения $g = 10$ м/c $2 .$

Источники: ШВБ-2023, 11.6 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Введем систему координат с центром в точке $O.$ Ось абсцисс направим к линии ворот.

Выразим время из первого уравнения системы и подставим во второе

( x − d )2 V0(x− d) g V0cosα g( x − d )2 y(x)= -V0cosα-sin α− -----2-----= (x− d)tgα − 2 V0cosα

2 y(x)=(x− d)tgα − g⋅ (x−2d)-⋅(1+ tg2α) 2 V0

Чтобы шайба была ниже условной линии для любого значения $x,$ требуется выполнение условия

x-≥ y(x) 25

x 25 − y(x)≥ 0

для любого $x ∈[16;25].$ Поскольку траектория вылетающих шайб должна пересекать плоскость ворот по нисходящей ветви траектории, то неравенство

2 -x − (x− d)tgα + g⋅ (x−2d)-⋅(1+ tg2α)≥ 0 25 2 V0

должно выполняться для всех $x.$

Перепишем неравенство в более удобном виде и учтем, что выполнение этого неравенства возможно лишь при неположительном дискриминанте.

g (x-− d)2 2 ( 1-) -d 2 ⋅ V20 ⋅(1+tg α)− (x− d) tgα− 25 + 25 ≥ 0

( )2 D = tgα −-1 − 4⋅-d ⋅ g⋅-12-⋅(1+ tg2α)≤0 25 25 2 V0

Подставляем $g = 10$ м/c $2$

( 1 )2 4d 2 tgα − 25 − 5V20 (1+tg α)≤ 0

′ ( ) ( )( ) D-= -1 − 1 −-4d2 -12 −-4d2 4 25 5V0 25 5V0

D′ -4d 1-- 4d-( -4d) 4d- 626 (-4d )2 4 = 5V20 ⋅252 + 5V02 1− 5V20 = 5V20 ⋅625 − 5V02

Подставляем $d= 16$ м, $V0 = 20$ м/с

( )2 ( ) D′ = 4⋅16-⋅ 626-− 4⋅16- = --4--- 626-− 4 = -4⋅606⋅2-- 4 5⋅400 625 5⋅400 25 ⋅252 5 252 ⋅25⋅5⋅2

Теперь посчитаем сам $tgα$

( 1 2 ∘ 1212) ( 121) 5± 2√121,2 tgα= 25 ±25⋅5 -10- ∕ 125- = ---121---

Значит, максимально возможное значение $tg α$ равно $√---- 5+2121121,2.$

Ответ:

$5-+2√121,2 121$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#105229

Четыре лифта небоскреба, отличающиеся цветовой гаммой (красный, синий, зеленый и желтый) движутся в разных направлениях и с разной, но постоянной скоростью. Наблюдая за лифтами, некто включил секундомер, и, глядя на его показания, стал записывать: 36-я секунда — красный лифт догнал синий (двигаясь с ним в одном направлении). 42-я секунда — красный лифт разминулся с зеленым (двигаясь в разных направлениях), 48-я секунда — красный лифт разминулся с желтым, 51-я секунда — желтый лифт разминулся с синим, 54-я секунда — желтый лифт догнал зеленый лифт. На какой секунде от начала отсчета зеленый лифт разминется с синим, если за период наблюдения лифты не останавливались и не меняли направления движения?

Источники: ШВБ - 2020, 11 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Занумеруем лифты: красный — первый, синий — второй, зеленый — третий, желтый — четвертый. Лифты движутся с постоянными скоростями, следовательно, для каждого лифта пройденное расстояние $Si, i=1,2,3,4,$ в некоторой системе координат зависит от времени по закону.

Si = kit+ bi

По условию задачи красный и синий лифт движутся в одном направлении, причем красный догоняет синий, следовательно:

k1⋅k2 > 0, k1 > k2

Пусть $k1 >0,$ тогда и $k2 > 0.$

Зеленый и желтый лифты движутся в противоположном направлении с двумя первыми, и желтый догоняет зеленый, следовательно:

k < 0, k <0,k < k. 3 4 3 4

Построим графики функций согласно условию задачи.

$PIC$

Нужно определить абсциссу точки $M.$ Точка $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC.$ Воспользуемся теоремой Фалеса:

AM-- x−-36- 2 MD = 51 − x = 1 =⇒ x= 46

Ответ:

на 46 секунде

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#105942

Из пункта $A$ в пункт $B,$ расстояние между которыми равно $8$ км, одновременно вышел турист и выехал велосипедист. Затратив на путь от $A$ до $B$ не менее получаса, велосипедист, не останавливаясь, повернул обратно и стал двигаться по направлению к пункту $A,$ увеличив при этом свою скорость на $25%.$ Через $10$ мин после своего отправления из пункта $B$ велосипедист встретился с туристом. Определите наибольшее возможное целое значение скорости (в км/ч) туриста, и для этого значения скорости туриста найдите первоначальную скорость велосипедиста.

Показать ответ и решение

Пусть $x$ км/ч — скорость туриста, $y$ км/ч — первоначальная скорость велосипедиста, $t$ ч — время, затраченное велосипедистом на путь от $A$ до $B.$ Тогда

( |{ x(t+ 1∕6)+5y∕24 =8 |( yt=8 t≥0,5

(8 1) 5y- x ⋅ y + 6 + 24 = 8

5y2+(4x− 192)y+ 192x= 0

Для того чтобы квадратное уравнение имело решение, необходимо

D∕4 =(2x− 96)2− 960x≥ 0

x2− 336x+ 2304 ≥0

√ - √ - x ∈(−∞;168− 72 5]∪ [168+ 72 5;+∞ )

Поскольку по условию $x∈ N,$ и $x∕6 <8,$ т.е. $x< 48,$ то $√- x∈ [1;168 − 72 5]∩N.$ Используя оценку $√- 2,23< 5< 2,24,$ получаем оценку $√- 160 <72 5 <161$ и $√- 7< 168 − 72 5< 8.$ Наибольшее возможное целое значение скорости $xmax = 7.$ Найдем первоначальную скорость велосипедиста при $x= 7$ из уравнения

5y2− 164y+ 192⋅7= 0

y1 = 84∕5;y2 =16

Поскольку $t≥ 0,5, t= 8 ≥ 1, y 2$ и $y ≤ 16,$ то $y = 16.$

Ответ: 7 км/ч, 16 км/ч.