Тема ШВБ (Шаг в будущее)

Алгебраические текстовые задачи на ШВБ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела швб (шаг в будущее)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#119904

Сотовая связь — это целый мир возможностей. Но чтобы пользоваться ими, нужно быть в зоне действия базовой станции. Сети GSM (2G) имеют мощность, которая позволяет покрывать территорию радиусом до 35 километров на открытой местности. В городских условиях, где много зданий, зона приема сигнала значительно уменьшается. Сети 3G и 4G (LTE) работают на более высоких частотах, чем сети 2G, и их сигнал хуже проникает сквозь препятствия и больше подвержен помехам. В сетях GSM было достаточно нескольких вышек, чтобы покрывать большие территории, а для 3G и 4G сетей для обеспечения надежной связи требуется больше вышек.

В городе установлен ретранслятор GSM сети, который обеспечивает покрытие в пределах окружности радиусом $R = 24$ км. Центр окружности — основание вышки. Однако из-за особенностей рельефа зона покрытия этого ретранслятора ограничена хордой, проведенной внутри этой окружности. Хорда находится на расстоянии $d= 3$ км от центра окружности.

В меньшем сегменте, образованном хордой, необходимо установить два дополнительных ретранслятора (3G вышки) так, чтобы их зоны покрытия касались друг друга, хорды и основной окружности. Каждый из этих ретрансляторов имеет круговую зону покрытия одинакового радиуса $r.$

Найдите радиусы зон покрытия двух дополнительных ретрансляторов, которые нужно установить в меньшем сегменте. Определите площадь части меньшего сегмента, которая не попадает в зону действия дополнительных ретрансляторов.

Источники: ШВБ - 2025, 11.6 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Изобразим условие на рисунке. Пусть O — центр окружности, в радиусе которой действует GSM вышка, AB —хорда, OP = d — расстояние от основания вышки до хорды, C и D — основания 3G вышек. Что можно сказать про их расположение, исходя из условия?

Подсказка 2

Верно! Они касаются прямой OP в одной точке (пусть K)! Проведём радиусы в точки касания. Какая теорема поможет найти нам радиус малых окружностей?

Подсказка 3

Конечно! Давайте применим теорему Пифагора для △OCK, предварительно выразив отрезки OC и OK через радиус малой окружности и данные в условии величины. А что делать с площадью части меньшего сегмента, которая не попадает в зону действия вышек?

Подсказка 4

Введите угол с вершиной O и выразите искомую площадь, равную разности площадей сегмента и площади, которую покрывают 3G вышки.

Подсказка 5

△OPA — прямоугольный. Пусть ∠POA = α. Тогда cos(α)=OP/OA = d/R — известное нам отношение! Значит через этот угол можно выразить нужные нам площади! Осталось только аккуратно посчитать и записать ответ!

Показать ответ и решение

Пусть $3G$ вышки имеют одинаковый радиус действия $r.$ Радиус основной окружности $R,$ расстояние от центра большой окружности до хорды $d.$ Введем точки, как показано на чертеже: $O$ — центр большой окружности, $C,$ $D$ — центры маленьких окружностей, $K$ — точка касания маленьких окружностей, $E$ — точка касания окружности с хордой. $OP =d$ — заданное расстояние от центра до хорды $AB.$

$PIC$

Тогда из рисунка понимаем следующие вещи:

CE ⊥ AB, OP ⊥AB, CE ∥OP, CD ∩ OG =K

OC = R− r, CK = r, OK = d+r

Запишем теорему Пифагора для $△OCK$ и выразим меньший радиус:

2 2 2 2 2 2 (R − r) = r +(d+ r) =⇒ r + 2r(d+ R)− (R − d )= 0

∘--2----- r= −(R +d)+ 2R + 2Rd

Подсчитаем площадь части сегмента, которая не попадает в зону действия ретрансляторов $3G.$
Пусть $∠AOP =α,$ $Sc = Sсегмента,S3 — площадь, покрытая действием выш ек 3G.$

Выразим нужные нам синусы и косинусы углов, а потом посчитаем нужную площадь как разность:

OP d ∘---(-d)2 d∘ ---(d-)2 cosα= OA- =R- =⇒ sin α= 1 − R- =⇒ sin2α= 2R- 1− R-

( ∘ -------) 1 2 2 1 2 d ( d)2 2 S =Sc− 2S3 = 2R (2α − sin 2α )− 2πr = 2R (2α − 2R 1− R- ) − 2πr

Подставим значения $R = 24,$ $d= 3:$

r= −(24+3)+ ∘2-⋅24⋅(24+3)= −27+ √362 = 36− 27= 9

1 3√7- 1 cosα = 8, sinα = -8-, α =arccos8

Итого, подставив все значения, получаем конечный ответ:

( √-) ( √-) S = 1 ⋅242 2arccos1 − 2 ⋅ 1⋅ 3-7 − 2π ⋅92 = 288 2arccos1− 3-7 − 162π 2 8 8 8 8 32

Ответ:

$r= 9км,S = 576arccos1− 162π− 27√7 8$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#86476

За время освоения космического пространства на различных орбитах скопилось по данным NASA около 300 тысяч объектов космического мусора. Дальнейшее использование космического пространства в ближайшем будущем может быть существенно осложнено всё возрастающей угрозой столкновения с космическим мусором. Согласно результатам исследований, удаление 3-5 крупных объектов в год с низких околоземных орбит позволяет предотвратить цепную реакцию роста объектов космического мусора в будущем. На данный момент работающей технологией по утилизации космического мусора является увод старых спутников. Это можно сделать с помощью аппаратов-захватчиков, которые буксируют мусор на орбиты для захоронения.

Рассмотрим плоскость орбиты захоронения. Пусть крупный фрагмент мусора движется в этой плоскости по эллиптической орбите с большой полуосью равной 5000 км, малой - 2500 км. (Для удобства вычислений все расчеты будем производить в тысячах километров.) Введем систему координат с началом отсчета в центре рассматриваемого эллипса, с осью абсцисс, направленной вдоль большой полуоси. Тогда уравнение траектории движения обломка запишется следующим образом: $x2+ 4y2 = 25$ .

На некотором удалении по оси абсцисс находится межпланетная научная станция $S$ . С нее стартует летательный аппарат-захватчик, который движется по параболической траектории: $(y+ 1)2 =− 9⋅(x − 7)∕4$ . Он должен совершить маневр по переходу с одной орбиты на другую и плавно подойти к обломку для изменения его скорости и направления движения.

$PIC$

Определите координаты точки касания указанных траекторий и угол, который образует с положительным направлением оси абсцисс касательная к параболической траектории в начальный момент времени в точке $S$ .

Источники: ШВБ - 2024, 11.6 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть 2 уравнения и 2 неизвестных. Мы можем выразить у и приравнять, чтобы найти х.

Подсказка 2

Проблема в том, что уравнения получаются слишком громоздкими. Мы можем найти производные от выраженных у, так как производные тоже должны быть равны. Получится уравнение 3 степени. Какие у него корни?

Подсказка 3

Можно угадать корень x=- 3. Остальные не подходят. Чтобы найти угол, вспомните геометрическое определение производной.

Подсказка 4

Это тангенс искомого угла! Осталось только подставить найденный х, чтобы найти производную и ответ на задачу.

Показать ответ и решение

Выразим из уравнений

2 2 2 x−-7 x + 4y = 25 и (y +1) = −9⋅ 4

функции в явном виде:

∘------ y =± 25-− x2-и y = −1± ∘ −9⋅(x− 7)∕4 4

Найдём их производные:

′ 1-(−2x)- ′ 1---(−9)--- y =± 4√25−-x2 и y =± 4∘ −9⋅(x−-7)

Приравняем производные друг к другу:

± 1√(−2x)-= ±1 ∘--(−9)--- 4 25− x2 4 − 9⋅(x− 7)

√-2x--2 = ∘---9----- 25− x −9⋅(x− 7)

-4x2-- -9-- 25 − x2 = 7− x

28x2− 4x3 =9 ⋅25− 9x2

Будем искать целые решения уравнения. Если такие есть, то они являются делителями свободного члена.

$x= 3$ подходит. Преобразуем уравнение, поделив на $x− 3$ , получим

( 2 ) (x− 3)4x − 25x − 75 = 0

( 25 +5√73) ( 25− 5√73) (x− 3) x −---8---- x− ---8---- = 0

Но $0< x< 7,$ поэтому подходит только $x= 3$ . Подставляя $x= 3$ в любое из исходных выражений, находим $y = 2$ . Значит, координаты точки касания это $(3;2).$

Теперь вычислим тангенс для точки $S$ с оси абсцисс. При $y =0$ из $(0 +1)2 = −9⋅(x − 7)∕4$ получаем абсциссу $x = 599 .$ Подставляем в производную и находим тангенс угла касательной в начальный момент:

( ) y′ = ±1∘--(−9)----=± −-9 4 −9⋅(x− 7) 8

[ 9 tgα= 8 9 tgα= − 8

[ α= arctg(9) α= arctg(−89)= π− arctg (9) 8 8

Ответ:

координаты $(3;2)$

угол может быть $(9) ± arctg 8$ (две касательных из точки $S$ )

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#69312

Во всем мире популярна игра в хоккей. Многое в игре зависит от вратаря. Для отработки навыков вратарей и обеспечения тренировочного процесса, который бы не зависел от других игроков, создали шайбомет. Автомат можно настроить так, чтобы он выбрасывал шайбы с заданной временной частотой, скоростью и под определенным углом.

Пусть линия ворот находится на расстоянии 25 м от центральной точки $O$ хоккейной площадки. Автомат установлен на расстоянии $d =16$ м от точки $O$ по направлению к воротам, скорость выброса шайбы равна $V0 = 20$ м/c. Броски производятся в плоскости, перпендикулярной поверхности льда и линии ворот. При этом для обеспечения безопасности траектория вылетающих шайб должна, с одной стороны, находиться не выше прямой линии, соединяющей центр ледовой площадки $O$ с точкой, находящейся в плоскости полета шайб, в плоскости ворот, и на расстоянии одного метра от поверхности льда, а с другой стороны — должна пересекать плоскость ворот по нисходящей ветви траектории.

$PIC$

Определите максимально возможное значение тангенса угла, под которым могут вылетать шайбы из шайбомета, если траектория движения шайбы, рассматриваемой как материальная точка, в плоскости ее полета в системе координат с центром в $O$ и осью абсцисс, направленной вдоль поверхности льда, описывается уравнениями

({ x =d +V0tcosα ( gt2 y =V0tsinα − 2

Для упрощения вычислений можно считать, что ускорение свободного падения $g = 10$ м/c $2 .$

Источники: ШВБ-2023, 11.6 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1.

Вспоминаем уроки физики:) Так как переменная t у нас нигде не фигурирует, то хорошей идеей было бы от неё избавиться, подставив из первого уравнения во второе. Мы получим выражение вида y(x), в котором из тригонометрии будет находиться tg(a) и 1/cos²(a). Как бы нам получить только тангенс?

Подсказка 2.

1/cos²(a) = 1 + tg²(a). По условию наша шайба должна быть ниже условной линии на протяжении всего полёта. Тогда x * tg(b) <= y(x), где b - угол между осью площадки и линии, соединяющей центр поля с верхним концом ворот. Для каких x это должно выполняться?

Подсказка 3.

Поскольку траектория вылетающих шайб должна пересекать плоскость ворот по нисходящей ветви траектории, получили стандартное квадратичное неравенство, которое должно быть верно для всех x. Осталось записать условие неположительности дискриминанта и неотрицательности старшего члена, и оттуда найти наибольший возможный тангенс

Показать ответ и решение

Введем систему координат с центром в точке $O.$ Ось абсцисс направим к линии ворот.

Выразим время из первого уравнения системы и подставим во второе

( x − d )2 V0(x− d) g V0cosα g( x − d )2 y(x)= -V0cosα-sin α− -----2-----= (x− d)tgα − 2 V0cosα

2 y(x)=(x− d)tgα − g⋅ (x−2d)-⋅(1+ tg2α) 2 V0

Чтобы шайба была ниже условной линии для любого значения $x,$ требуется выполнение условия

x-≥ y(x) 25

x 25 − y(x)≥ 0

для любого $x ∈[16;25].$ Поскольку траектория вылетающих шайб должна пересекать плоскость ворот по нисходящей ветви траектории, то неравенство

2 -x − (x− d)tgα + g⋅ (x−2d)-⋅(1+ tg2α)≥ 0 25 2 V0

должно выполняться для всех $x.$

Перепишем неравенство в более удобном виде и учтем, что выполнение этого неравенства возможно лишь при неположительном дискриминанте.

g (x-− d)2 2 ( 1-) -d 2 ⋅ V20 ⋅(1+tg α)− (x− d) tgα− 25 + 25 ≥ 0

( )2 D = tgα −-1 − 4⋅-d ⋅ g⋅-12-⋅(1+ tg2α)≤0 25 25 2 V0

Подставляем $g = 10$ м/c $2$

( 1 )2 4d 2 tgα − 25 − 5V20 (1+tg α)≤ 0

′ ( ) ( )( ) D-= -1 − 1 −-4d2 -12 −-4d2 4 25 5V0 25 5V0

D′ -4d 1-- 4d-( -4d) 4d- 626 (-4d )2 4 = 5V20 ⋅252 + 5V02 1− 5V20 = 5V20 ⋅625 − 5V02

Подставляем $d= 16$ м, $V0 = 20$ м/с

( )2 ( ) D′ = 4⋅16-⋅ 626-− 4⋅16- = --4--- 626-− 4 = -4⋅606⋅2-- 4 5⋅400 625 5⋅400 25 ⋅252 5 252 ⋅25⋅5⋅2

Теперь посчитаем сам $tgα$

( 1 2 ∘ 1212) ( 121) 5± 2√121,2 tgα= 25 ±25⋅5 -10- ∕ 125- = ---121---

Значит, максимально возможное значение $tg α$ равно $√---- 5+2121121,2.$

Ответ:

$5-+2√121,2 121$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#105229

Четыре лифта небоскреба, отличающиеся цветовой гаммой (красный, синий, зеленый и желтый) движутся в разных направлениях и с разной, но постоянной скоростью. Наблюдая за лифтами, некто включил секундомер, и, глядя на его показания, стал записывать: 36-я секунда — красный лифт догнал синий (двигаясь с ним в одном направлении). 42-я секунда — красный лифт разминулся с зеленым (двигаясь в разных направлениях), 48-я секунда — красный лифт разминулся с желтым, 51-я секунда — желтый лифт разминулся с синим, 54-я секунда — желтый лифт догнал зеленый лифт. На какой секунде от начала отсчета зеленый лифт разминется с синим, если за период наблюдения лифты не останавливались и не меняли направления движения?

Источники: ШВБ - 2020, 11 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В задаче описано много величин, поэтому записывать все уравнения и решать их не хочется. Скорость движения лифтов постоянна, поэтому графиком координаты от времени будет являться прямая.

Подсказка 2

Без ограничения общности можно считать, что красный лифт едет наверх. Тогда направления остальных лифтов определяются однозначно. Теперь нужно использовать геометрические соображения.

Подсказка 3

Времена из условия имеют чёткую связь между собой: 42 = (48+36)/2 и 51 = (48 + 54)/2. Мы много знаем про чевианы, которые делят сторону треугольника в отношении 1:1. Теперь нужно понять, координата по времени какой точки в треугольнике нас интересует.

Показать ответ и решение

Занумеруем лифты: красный — первый, синий — второй, зеленый — третий, желтый — четвертый. Лифты движутся с постоянными скоростями, следовательно, для каждого лифта пройденное расстояние $Si, i=1,2,3,4,$ в некоторой системе координат зависит от времени по закону.

Si = kit+ bi

По условию задачи красный и синий лифт движутся в одном направлении, причем красный догоняет синий, следовательно:

k1⋅k2 > 0, k1 > k2

Пусть $k1 >0,$ тогда и $k2 > 0.$

Зеленый и желтый лифты движутся в противоположном направлении с двумя первыми, и желтый догоняет зеленый, следовательно:

k < 0, k <0,k < k. 3 4 3 4

Построим графики функций согласно условию задачи.

$PIC$

Нужно определить абсциссу точки $M.$ Точка $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC.$ Воспользуемся теоремой Фалеса:

AM-- x−-36- 2 MD = 51 − x = 1 =⇒ x= 46

Ответ:

на 46 секунде

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#105942

Из пункта $A$ в пункт $B,$ расстояние между которыми равно $8$ км, одновременно вышел турист и выехал велосипедист. Затратив на путь от $A$ до $B$ не менее получаса, велосипедист, не останавливаясь, повернул обратно и стал двигаться по направлению к пункту $A,$ увеличив при этом свою скорость на $25%.$ Через $10$ мин после своего отправления из пункта $B$ велосипедист встретился с туристом. Определите наибольшее возможное целое значение скорости (в км/ч) туриста, и для этого значения скорости туриста найдите первоначальную скорость велосипедиста.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Решение любой задачи на скорость начинается с правильного введения неизвестных. Пусть x км/ч — скорость туриста, а y км/ч суть первоначальная скорость велосипедиста, t — время в часах, затраченное велосипедистом на путь от A до B. Какие уравнения можно составить, исходя из условия?

Подсказка 2

Верно! Из условия имеем x(t + 1/6) + 5y/24 = 8, yt = 8 и, кроме того, t ≥ 0,5. Можно ли теперь в первом уравнении оставить две переменных?

Подсказка 3

Конечно! Тогда получится 5y² + (4x-192)y + 192x = 0. Какое теперь нужно условие, чтобы это уравнение имело решения?

Подсказка 4

Верно! Нужно потребовать неотрицательность дискриминанта! Какое тогда наибольшее возможное значение x (с учетом, что это натуральное число) и какое значение y ему соответствует?

Показать ответ и решение

Пусть $x$ км/ч — скорость туриста, $y$ км/ч — первоначальная скорость велосипедиста, $t$ ч — время, затраченное велосипедистом на путь от $A$ до $B.$ Тогда

( |{ x(t+ 1∕6)+5y∕24 =8 |( yt=8 t≥0,5

(8 1) 5y- x ⋅ y + 6 + 24 = 8

5y2+(4x− 192)y+ 192x= 0

Для того чтобы квадратное уравнение имело решение, необходимо

D∕4 =(2x− 96)2− 960x≥ 0

x2− 336x+ 2304 ≥0

√ - √ - x ∈(−∞;168− 72 5]∪ [168+ 72 5;+∞ )

Поскольку по условию $x∈ N,$ и $x∕6 <8,$ т.е. $x< 48,$ то $√- x∈ [1;168 − 72 5]∩N.$ Используя оценку $√- 2,23< 5< 2,24,$ получаем оценку $√- 160 <72 5 <161$ и $√- 7< 168 − 72 5< 8.$ Наибольшее возможное целое значение скорости $xmax = 7.$ Найдем первоначальную скорость велосипедиста при $x= 7$ из уравнения

5y2− 164y+ 192⋅7= 0

y1 = 84∕5;y2 =16

Поскольку $t≥ 0,5, t= 8 ≥ 1, y 2$ и $y ≤ 16,$ то $y = 16.$

Ответ: 7 км/ч, 16 км/ч.