Тема ШВБ (Шаг в будущее)

Алгебраические текстовые задачи на ШВБ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела швб (шаг в будущее)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#86476

За время освоения космического пространства на различных орбитах скопилось по данным NASA около 300 тысяч объектов космического мусора. Дальнейшее использование космического пространства в ближайшем будущем может быть существенно осложнено всё возрастающей угрозой столкновения с космическим мусором. Согласно результатам исследований, удаление 3-5 крупных объектов в год с низких околоземных орбит позволяет предотвратить цепную реакцию роста объектов космического мусора в будущем. На данный момент работающей технологией по утилизации космического мусора является увод старых спутников. Это можно сделать с помощью аппаратов-захватчиков, которые буксируют мусор на орбиты для захоронения.

Рассмотрим плоскость орбиты захоронения. Пусть крупный фрагмент мусора движется в этой плоскости по эллиптической орбите с большой полуосью равной 5000 км, малой - 2500 км. (Для удобства вычислений все расчеты будем производить в тысячах километров.) Введем систему координат с началом отсчета в центре рассматриваемого эллипса, с осью абсцисс, направленной вдоль большой полуоси. Тогда уравнение траектории движения обломка запишется следующим образом: $x2+ 4y2 = 25$ .

На некотором удалении по оси абсцисс находится межпланетная научная станция $S$ . С нее стартует летательный аппарат-захватчик, который движется по параболической траектории: $(y+ 1)2 =− 9⋅(x − 7)∕4$ . Он должен совершить маневр по переходу с одной орбиты на другую и плавно подойти к обломку для изменения его скорости и направления движения.

$PIC$

Определите координаты точки касания указанных траекторий и угол, который образует с положительным направлением оси абсцисс касательная к параболической траектории в начальный момент времени в точке $S$ .

Источники: ШВБ - 2024, 11.6 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть 2 уравнения и 2 неизвестных. Мы можем выразить у и приравнять, чтобы найти х.

Подсказка 2

Проблема в том, что уравнения получаются слишком громоздкими. Мы можем найти производные от выраженных у, так как производные тоже должны быть равны. Получится уравнение 3 степени. Какие у него корни?

Подсказка 3

Можно угадать корень x=- 3. Остальные не подходят. Чтобы найти угол, вспомните геометрическое определение производной.

Подсказка 4

Это тангенс искомого угла! Осталось только подставить найденный х, чтобы найти производную и ответ на задачу.

Показать ответ и решение

Выразим из уравнений

2 2 2 x−-7 x + 4y = 25 и (y +1) = −9⋅ 4

функции в явном виде:

∘------ y =± 25-− x2-и y = −1± ∘ −9⋅(x− 7)∕4 4

Найдём их производные:

′ 1-(−2x)- ′ 1---(−9)--- y =± 4√25−-x2 и y =± 4∘ −9⋅(x−-7)

Приравняем производные друг к другу:

± 1√(−2x)-= ±1 ∘--(−9)--- 4 25− x2 4 − 9⋅(x− 7)

√-2x--2 = ∘---9----- 25− x −9⋅(x− 7)

-4x2-- -9-- 25 − x2 = 7− x

28x2− 4x3 =9 ⋅25− 9x2

Будем искать целые решения уравнения. Если такие есть, то они являются делителями свободного члена.

$x= 3$ подходит. Преобразуем уравнение, поделив на $x− 3$ , получим

( 2 ) (x− 3)4x − 25x − 75 = 0

( 25 +5√73) ( 25− 5√73) (x− 3) x −---8---- x− ---8---- = 0

Но $0< x< 7,$ поэтому подходит только $x= 3$ . Подставляя $x= 3$ в любое из исходных выражений, находим $y = 2$ . Значит координаты точки касания $(3;2)$ .

При

y= 0,(1)2 =−9 ⋅(x− 7)∕4

получаем

x= 59 9

Подставляем в производную и находим тангенс угла касательной в начальный момент:

y′ = ±1∘---(−9)---- =± (−-9) 8 −9 ⋅(x− 7)∕4 8

(−9) α = arctg 8

Ответ:

координаты $(3;2)$

угол $(9) − arctg 8$ или $(9) π− arctg 8$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#69312

Во всем мире популярна игра в хоккей. Многое в игре зависит от вратаря. Для отработки навыков вратарей и обеспечения тренировочного процесса, который бы не зависел от других игроков, создали шайбомет. Автомат можно настроить так, чтобы он выбрасывал шайбы с заданной временной частотой, скоростью и под определенным углом.

Пусть линия ворот находится на расстоянии 25 м от центральной точки $O$ хоккейной площадки. Автомат установлен на расстоянии $d =16$ м от точки $O$ по направлению к воротам, скорость выброса шайбы равна $V0 = 20$ м/c. Броски производятся в плоскости, перпендикулярной поверхности льда и линии ворот. При этом для обеспечения безопасности траектория вылетающих шайб должна, с одной стороны, находиться не выше прямой линии, соединяющей центр ледовой площадки $O$ с точкой, находящейся в плоскости полета шайб, в плоскости ворот, и на расстоянии одного метра от поверхности льда, а с другой стороны — должна пересекать плоскость ворот по нисходящей ветви траектории.

$PIC$

Определите максимально возможное значение тангенса угла, под которым могут вылетать шайбы из шайбомета, если траектория движения шайбы, рассматриваемой как материальная точка, в плоскости ее полета в системе координат с центром в $O$ и осью абсцисс, направленной вдоль поверхности льда, описывается уравнениями

({ x =d +V0tcosα ( gt2 y =V0tsinα − 2

Для упрощения вычислений можно считать, что ускорение свободного падения $g = 10$ м/c $2 .$

Источники: ШВБ-2023, 11.6 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1.

Вспоминаем уроки физики:) Так как переменная t у нас нигде не фигурирует, то хорошей идеей было бы от неё избавиться, подставив из первого уравнения во второе. Мы получим выражение вида y(x), в котором из тригонометрии будет находиться tg(a) и 1/cos²(a). Как бы нам получить только тангенс?

Подсказка 2.

1/cos²(a) = 1 + tg²(a). По условию наша шайба должна быть ниже условной линии на протяжении всего полёта. Тогда x * tg(b) <= y(x), где b - угол между осью площадки и линии, соединяющей центр поля с верхним концом ворот. Для каких x это должно выполняться?

Подсказка 3.

Поскольку траектория вылетающих шайб должна пересекать плоскость ворот по нисходящей ветви траектории, получили стандартное квадратичное неравенство, которое должно быть верно для всех x. Осталось записать условие неположительности дискриминанта и неотрицательности старшего члена, и оттуда найти наибольший возможный тангенс

Показать ответ и решение

Введем систему координат с центром в точке $O.$ Ось абсцисс направим к линии ворот.