Тема Геометрия помогает алгебре

Увидеть векторы

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия помогает алгебре

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#83742

Даны числа $x,y,z$ такие, что

x 4 6 4 + sin y+ ln z = 16

Докажите, что

x+1 2 3 2 + 3sin y− 6ln z ≤ 28

Источники: Звезда - 2024, 11.3 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Тригонометрия, логарифм и показательная функция в одном месте — вряд ли мы здесь обойдёмся банальными преобразованиями. Видно только, что первое выражение, равное 16, — сумма трёх квадратов каких-то величин, а во втором выражении стоят похожие величины, но без квадратов. Какие есть неравенства, связывающие такие суммы?

Подсказка 2

Неравенство Коваля-Белова-Шурыгина! Ой, то есть Коши-Буняковского-Шварца) Ну то самое про квадрат суммы и сумму квадратов. Говоря по простому, это факт, что скалярное произведение не больше произведения длин (это же и так понятно, да?..) Давайте соорудим векторы с нужными координатами!

Подсказка 3

Компоненты первого вектора — величины, сумма квадратов которых равна 16. А второй вектор нужно подобрать так, чтобы их скалярное произведение выглядело как то выражение, которое не должно превосходить 28. Пробуйте!

Показать доказательство

Используем неравенство КБШ в векторном виде. Рассмотрим векторы $⃗a= (2x;sin2y;ln3z)$ и $⃗b= (2;3;−6).$ Скалярное произведение

x+1 2 3 ⃗a ⋅⃗b =2 + 3sin y− 6ln z ≤ |⃗a|⋅|⃗b|

Имеем

⃗ √-------- |b|= 4+ 9+ 36 =7

|⃗a|= ∘4x+-sin4y+-ln6z =4

Тогда получаем, что

2x+1+ 3sin2y− 6ln3z ≤ 28

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#63951

Найдите наименьшее значение функции

∘ --2------- ∘--2------- f(x)= 2x + 2x +13+ 2x + 8x+ 26.

Источники: Миссия выполнима - 2023, 11.7 (см. mission.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Конечно, эту задачу можно решить с помощью производной… Но давайте попробуем найти более красивое решение! Давайте подумаем, нам нужно найти минимальное значение суммы двух корней, а что мы знаем про корни и как тогда можно представить их?

Подсказка 2

Да, корни всегда положительны! Поэтому мы можем представить их как отрезок или же вектор на плоскости! То есть, корень – это длина нашего вектора! В таком случае, каких векторы можно взять(с какими координатами), чтобы длина первого равнялась первому корню, а длина второго равнялась второму корню?

Подсказка 3

Так, длина вектора – это корень из суммы квадратов его координат! Первое подкоренное выражение обращается в ноль при x=-3 и при x=2, а второе при x=1 и при x=-5. Поэтому первый вектор равен (x+3;2-x), а второй вектор: (1-x)(x+5). Что можно сказать про сумму этих векторов?

Подсказа 4

Да, сумма этих векторов равна другому вектору: (4; 7). А длина этого вектора равна √65. Но заметим, что сумма длин исходных векторов не меньше чем длина получившегося вектора! Осталось показать, что минимальное значение достигается и задача решена!

Показать ответ и решение

Рассмотрим векторы

⃗ ⃗ ⃗a= (x +3;2− x),b= (1− x;x+ 5) и⃗s= ⃗a+ b= (4;7)

Так как

∘ -2-------- ⃗ ∘ --2------- |⃗a|= 2x + 2x+ 13, |b|= 2x + 8x +26

то

f(x)= |⃗a|+|⃗b|≥|⃗a+⃗b|= |⃗s|= √65

Равенство $|⃗a|+|⃗b|= |⃗a +⃗b|$ выполняется, когда эти векторы сонаправлены; соответствующие значения $x$ является корнем уравнения $x1+−3x = 2−xx+5$ и равно $− 1311-$ .

Ответ:

$√65$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#71015

Найдите максимальное значение величины $x2+ y2 +z2,$ если известно, что

2 2 2 x +y + z = 3x+8y+ z.

Источники: Надежда энергетики-2023, 11.2 (см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На что намекает сумма квадратов?)

Подсказка 2

На квадрат длины вектора! Введем декартову систему координат. С левой части мы разобрались - это квадрат длины вектора (x, y, z). А чем является правая часть?)

Подсказка 3

Правая часть - это скалярное произведение векторов a = (x, y, z) и c = (3, 8, 1). Теперь правую часть можно оценить сверху с помощью длин сомножителей, осталось лишь сделать вывод) Помним, что вектор c - фиксированный!

Показать ответ и решение

Введем декартову систему координат и рассмотрим произвольный вектор $a$ с координатами $(x,y,z)$ и фиксированный вектор $c$ с координатами $(3,8,1)$ . Тогда левая часть условия представляет собой квадрат длины вектора $a,$ а правая — скалярное произведение векторов $a$ и $c :$

2 |a|= (a,c)

Оценивая скалярное произведение через длины сомножителей, получаем

2 |a| ≤|a|⋅|c|⇔ |a|≤ |c|

Как известно, равенство возможно, а достигается при векторах, лежащих на одной прямой. Поэтому максимальное значение будет достигаться, например, при $a = c.$

Подставляя значения, получаем $32+ 82 +11 = 74.$

Ответ: 74

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#73449

Положительные числа $a,b,c$ удовлетворяют соотношению

2 2 2 a +b + c =1

Найдите наибольшее возможное значение выражения $ab+ bc√3.$

Источники: ДВИ - 2023, вариант 233, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, как можно получить оценку? Через производную не получится. Какие ещё варианты есть?

Подсказка 2

Давайте решим через векторы. Пусть |х| = √(а² + с²), |у| = b и 2·х·у = аb + bc√3. Какие векторы х и у выбрать?

Подсказка 3

х = (а, с), у = (b/2, √3b/2). Тогда нам нужно максимизировать 2· x⋅y. Как это можно сделать?

Подсказка 4

Вспомним, что x⋅y = |x|⋅|y|⋅cos(θ), где θ - угол между векторами. Косинус ≤ 1. Тогда x⋅y ≤ |x|⋅|y|. Как тогда можно оценить правую часть?

Подсказка 5

По неравенству о средних! Сумму длин векторов x и у мы знаем. Тогда ab + bc√3 ≤ 1. Когда достигается равенство в неравенстве о средних?

Подсказка 6

Когда векторы х и у равны! Далее не трудно подобрать, чему равны a, b и c. Проверим, что они подходят.

Показать ответ и решение

Первое решение.

По неравенству о средних

2 b2 √- 3b2 2 ab≤ a + 4 , 3bc ≤-4-+ c,

то есть

√ - ab+ 3bc≤ a2+ b2 +c2 = 1.

Равенство достигается при

2 b2 3b2 2 a = 4 ,-4-=c .

Подставляя это в равенство из условия, получим конкретные

√ - √- √- a =--2,b= -2,c= -6. 4 2 4

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Из условия имеем

( |||{a2+ b2+ c2 = 1 a,b,c> 0 |||( √- ab+bc 3→ max

Рассмотрим вспомогательные векторы на плоскости

1 √3 ⃗x= (a,c);⃗y = (2b,2-b)

Для них выполнено

b2 3b2 1 √- |⃗x|2 = a2+ c2, |⃗y|2 =-4 +-4-= b2, ⃗x⋅⃗y = 2(ab+bc 3)

Тогда условие задачи перепишется как

( |||{|⃗x|2+ |⃗y|2 = 1 2 ⃗x⋅⃗y → max |||( a,b,c> 0

Как известно,

⃗x ⋅⃗y = |⃗x|⋅|⃗y|⋅cos(⃗x;⃗y)≤ |⃗x|⋅|⃗y|

По неравенству о средних $2|⃗x||⃗y|≤ |⃗x|2+|⃗y|2 = 1$

В итоге получается, что

√- ab +bc 3= 2⃗x⋅⃗y ≤ 2|⃗x|⋅|⃗y|≤21 = 1 2

При этом равенство достигается, когда векторы $⃗x,⃗y$ равны. Тогда $√- a= b2,c= -32b$ и $b2 =|⃗y|2 = 12$ . То есть подойдут, например,

√- √- √- a = -2,b= -2,c= -6- 4 2 4

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#75238

Даны $8$ ненулевых вещественных чисел $a,a ,...,a . 1 2 8$ Докажите, что по крайней мере одна из шести сумм $a1a3+ a2a4,a1a5+ a2a6,a1a7 +a2a8,a3a5+a4a6,a3a7+ a4a8,a5a7+ a6a8$ неотрицательна.

Показать доказательство

Пусть векторы $v,v ,v ,v 1 2 3 4$ в прямоугольной системе координат имеют координаты $(a,a ),(a,a ),(a,a ),(a,a ) 1 2 3 4 5 6 7 8$ соответственно. Тогда среди указанных сумм встречаются значения всевозможных скалярных произведений двух векторов из набора $(v1,v2,v3,v4).$

Скалярное произведение двух векторов отрицательно тогда и только тогда, когда угол $α$ между этими векторами является тупым. Таким образом, достаточно показать, что среди любых четырех векторов в двумерном пространстве найдутся два, угол между которыми не превосходит $∘ 90.$

Предположим противное, тогда каждый из направленных углов $∠(v1,v2),∠(v2,v3),∠(v3,v4),∠(v4,v1)$ больше $∘ 90$ (без ограничений общности считаем, что каждый из углов принимает положительное значение). Следовательно, их сумма больше $∘ 360.$ C другой стороны,

∠(v1,v2)+ ∠(v2,v3)+ ∠(v3,v4)+ ∠(v4,v1)=360∘

тем самым получено противоречие.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#90856

Числа $x ,...,x ,y ,...,y 1 n 1 n$ удовлетворяют условию

2 2 2 2 x1 +...+ xn+ y1 + ...+yn ≤2.

Найдите максимальное значение выражения

A= (2(x1+ ...+ xn)− y1− ...− yn)⋅(x1+ ...+ xn +2 (y1+ ...+ yn)).

Показать ответ и решение

Рассмотрим такие векторы в $ℝn$

x= (x1,x2,...,xn,y1,y2,...,yn)

a =(2,2,...,2,− 1,− 1,...,−1)

b =(1,1,...,1,2,2,...,2)

Заметим, что $a⊥b$ . Значит, $x= αa+ βb+ c$ , где $c⊥a,b$ . Тогда

A =< x,a> ⋅<x,b>= α|a|2β|b|2 = 25αβ

Из перпендикулярности

|x|2 = α2|a|2+ β2|b|2 +|c|2 = 5α2+5β2+ |c|2 =x21 +...+ x2n+ y21 + ...+y2n ≤2

2 2 αβ ≤ a-+2-b-≤ 15

A ≤ 5

Такое значение достигается при $xi = √35n$ и $y = √15n.$

Ответ: 5

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#77219

Решите уравнение

|| ∘ ----2|| ∘ ---2- |x +x 1− x|= 1+x

Показать ответ и решение

Первое решение.

Поскольку выражение слева и справа — чётные функции, то достаточно рассмотреть случай $x ≥0.$

Тогда на ОДЗ $x∈ [0;1]$ все преобразования равносильны. А при $x∈∕$ $[0;1]$ решений нет.

∘ ----- ∘ ----- x 1− x2+x = 1+ x2

∘ ----2 ∘----2 x 1− x = 1+ x − x

x2− x4 = 1+2x2− 2x∘1+-x2

2x∘1-+-x2-=x4+ x2+ 1

4x2(1+ x2)=(x2(x2+ 1)+ 1)2

(x2(x2+ 1) − 1)2 = 0

x4+x2− 1= 0.

Решив квадратное относительно $2 x$ уравнение, получим $∘ √5−1- x= 2 .$

Учитывая чётность всех выражений в исходном уравнении $∘√---- x =± --5−21.$

Второе решение.

Используем неравенство Коши–Буняковского(скалярное произведение двух векторов на плоскости не превосходит произведения их длин) для векторов на плоскости вида $√ ----- ( 1− x2,x)$ и $± (x,1)$ . Получим