Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Производная и скорость/ускорение материальной точки

Тема 8. Взаимосвязь функции и ее производной

8.08 Производная и скорость/ускорение материальной точки

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела взаимосвязь функции и ее производной

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#275

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t)= t2 +2t+ 3,$ где $t$ — время от начала движения в секундах, $x(t)$ — расстояние от положения точки в соответствующий момент времени до точки $x =0$ в метрах. Найдите скорость точки в момент времени $t =1$ с. Ответ дайте в метрах в секунду.

Показать ответ и решение

Скорость движущейся по закону $x(t)$ точки в момент времени $t0$ равна $x′(t0).$ Найдем производную закона движения:

′ x(t) = 2t+ 2

Тогда в момент времени $t= 1$ с скорость в метрах в секунду равна

x′(1)= 2 ⋅1 +2 = 4

Ответ: 4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1589

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t)= 7t2 − 12t.$ Здесь $x$ — расстояние от точки $x= 0$ в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени $t= 1$ с. Ответ дайте в метрах в секунду.

Показать ответ и решение

Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону $x(t),$ в момент времени $t0$ равна $x′(t0).$ Найдем производную закона движения:

′ x(t)= 14t− 12

Тогда в момент $t= 1$ с скорость в метрах в секунду равна

′ x (1) =14 ⋅1 − 12 = 2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1590

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t)= 2t2 − 8t.$ Здесь $x$ — расстояние от точки $x= 0$ в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени $t= 2$ с. Ответ дайте в метрах в секунду.

Показать ответ и решение

′ x(t) = 4t− 8

Тогда в момент $t= 2$ с скорость в м/с равна

′ x (2)= 4 ⋅2 − 8 = 0

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1592

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t)= 3t2+ 6t+ 2,$ где $x$ — расстояние от точки $x= 0$ в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени её скорость составляла 15 м/с? Ответ дайте в секундах.

Показать ответ и решение

Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону $x(t),$ в момент времени $t0$ равна $x′(t0).$

Найдем производную:

′ x(t) = 6t+ 6

Тогда для момента $t,$ когда скорость материальной точки была равна 15 м/с, выполнено

6t+6 = 15 ⇒ t= 1,5

Ответ: 1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#1593

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t)= t2 +3t− 1.$ Здесь $x$ — расстояние от точки $x= 0$ в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени её скорость составляла 11 м/с? Ответ дайте в секундах.

Показать ответ и решение

′ x(t) = 2t+ 3

Тогда для момента $t,$ когда скорость материальной точки была равна 11 м/с, выполнено

2t+ 3 =11

Отсюда получаем $t= 4$ с.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#276

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x (t) = 7t4 + 6t3 + 5t2 + 4t + 2016$ , где $x$ – расстояние от точки $x = 0$ в метрах, $t$ – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени $t = 0,5$ с. Ответ дайте в метрах в секунду.

Показать ответ и решение

Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону $x (t)$ , в момент времени $t0$ равна $x ′(t0)$ .

$x′(t) = 28t3 + 18t2 + 10t + 4$ , тогда в момент $t = 0, 5$ с:

$1 1 1 x′(0,5 ) = 28 ⋅-+ 18 ⋅--+ 10 ⋅--+ 4 = 3,5 + 4,5 + 5 + 4 = 17 8 4 2$ м/с.

Ответ: 17

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#277

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t)= t3 +3t+ π,$ где $x$ — расстояние от точки $x =0$ в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени её скорость составляла 15 м/с? Ответ дайте в секундах.

Показать ответ и решение

Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону $x(t)$ , в момент времени $t0$ равна $x′(t0).$

Найдем производную:

′ 2 x (t)= 3t + 3

Тогда для момента $t,$ когда скорость материальной точки была равна 15 м/с, выполнено

2 3t + 3= 15 ⇒ t= ±2

Но так как время $t$ отсчитывается от начала движения, то корень $t= −2$ с не подходит. Тогда ответ $t= 2$ с.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#912

Дифференцируемый путь материальной точки, движущейся по прямой, имеет вид $x (t) = t2(esint2 + eπt) + 2t + e$ . Найдите скорость этой точки в момент $t = 0$ .

Показать ответ и решение

Скорость в момент времени $t$ :

x′(t) = 2t(esint2 + eπt) + t2(esin t2 + eπt)′ + 2.

Так как путь материальной точки дифференцируемый, то $(esint2 + eπt)′$ при $t = 0$ есть величина конечная, тогда при $t = 0$ :

′ sin 0 π⋅0 sint2 πt ′ x (0) = 0 ⋅ (e + e ) + 0 ⋅ (e + e ) |t=0 + 2 = 2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1591

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t)= 2t3− t2+ 2t+3.$ Здесь $x$ — расстояние от точки $x = 0$ в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени $t= 2$ с. Ответ дайте в метрах в секунду.

Показать ответ и решение

′ 2 x (t)= 6t − 2t+2

Тогда в момент $t= 2$ с скорость в м/с равна

′ 2 x(2)= 6⋅2 − 2⋅2+ 2= 22

Ответ: 22

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1594

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t)= 12t3− 5t2− t+2,$ где $x$ — расстояние от точки $x = 0$ в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите её ускорение в момент $t= 1$ с. Ответ дайте в метрах в секунду в квадрате.

Показать ответ и решение

Ускорение материальной точки, прямолинейно движущейся по закону $x(t),$ в момент времени $t0$ равно второй производной от скорости, то есть равно $x′′(t0).$

Найдем производную:

′ 2 x(t) =36t − 10t− 1

Тогда производная от скорости равна

′′ ′ ′ 2 ′ x (t) =(x (t))= (36t− 10t− 1)= 72t− 10

В момент $t= 1$ с ускорение в метрах в секунду в квадрате равно

′′ x (1)= 72⋅1− 10= 62

Ответ: 62

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1595

Материальная точка движется прямолинейно по закону $√ -- √ -- x(t) = t3 − t2 − 2t + 2 3$ , где $x$ – расстояние от точки $x = 0$ в метрах, $t$ – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите её ускорение в момент $t = 2$ с. Ответ дайте в метрах в секунду в квадрате.

Показать ответ и решение

Ускорение материальной точки, прямолинейно движущейся по закону $x(t)$ , в момент времени $t0$ равно производной от скорости, то есть равно $x′′(t0)$ .

$-- x′(t) = 3t2 − 2t − √ 2$ , тогда

$′′ ′ ′ 2 √ --′ x (t) = (x (t)) = (3t − 2t − 2) = 6t − 2$ .

В момент $t = 2$ с: $′′ x (2) = 6 ⋅ 2 − 2 = 10$ м/с $2$ .

Ответ: 10

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1968

Материальная точка движется прямолинейно по закону $√ -- x(t) = t3 − 10, 5t2 + 27t + π + 22$ , где $x$ – расстояние от точки $x = 0$ в метрах, $t$ – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой самый поздний момент времени её скорость составляла $9$ м/с? Ответ дайте в секундах.

Показать ответ и решение

Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону $x (t)$ , в момент времени $t0$ равна $x ′(t0)$ .

$x′(t) = 3t2 − 21t + 27$ , тогда для моментов $t$ , когда скорость материальной точки была равна $9$ м/с, выполнено $2 3t − 21t + 27 = 9$ , откуда $t1 = 1$ с, $t2 = 6$ с. Самый поздний момент времени, когда скорость материальной точки составляла $9$ м/с, это $t = 6$ с.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#2215

Путь материальной точки, движущейся по прямой, имеет вид $x(t) =t3+ 2t2− t+ 1.$ Известно, что при $t= t0$ ускорение этой точки было равно 7. Найдите $t0.$

Показать ответ и решение

Найдем ускорение в момент времени $t:$

′′ 3 2 ′′ 2 ′ x (t)= (t+ 2t − t+1) = (3t +4t− 1) = 6t+ 4

Тогда $6t + 4= 7, 0$ откуда $t = 0,5. 0$

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#74186

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t)= t4− 3t3− 6t2+ 41t− 18,$ где $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени $t= 2$ c.

Показать ответ и решение

Скорость — это производная от координаты (по переменной $t),$ то есть

4 3 2 ′ 3 2 V(t)= (t − 3t − 6t + 41t− 18) = 4t− 9t − 12t+ 41.

Тогда

V(2)= 4⋅8− 9⋅4− 12⋅2 +41 =32 − 36− 24+ 41= 13.

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#74187

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t)= 1t3− t2 +t− 11, 3$ $x$ — расстояние от точки отсчета в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 16 м/с?

Показать ответ и решение

Скорость — это производная от координаты (по переменной $t),$ то есть

2 V(t)= t − 2t+ 1.

Нам сказано, что скорость равна 16, подставим и решим квадратное уравнение:

2 t − 2t+ 1= 16,

2 t − 2t− 15= 0,

2 D =4 +60 = 64 = 8,

$⌊ |t= 2+-8 =5 ⌈ 22− 8 t= -2-- =− 3$

Т.к. $t> 0,$ то $t= 5.$

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#75173

Вычисление величины новогоднего настроения $f′(t)$ в декабре производится по закону

t3- 2 f (t) = 3 + t + 4t +2024,

где $t$ — номер какого-то декабрьского дня. Найдите значение новогоднего настроения 31-го декабря.

Показать ответ и решение

Найдём $f′(t)$ :

f′(t) = t2 + 2t+ 4.

Найдём $f ′(t)$ в день 31-го декабря:

f′(31) = 312 + 2 ⋅31+ 4 = 961 + 62+ 4 = 1027.

Ответ: 1027

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#80084

Материальная точка движется прямолинейно по закону

3 15t2 x (t) = t − 2 + 18t+ 9,

где $x (t)$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите число секунд, в течение которых скорость тела была отрицательна.

Показать ответ и решение

Заметим, что по физическому смыслу производной скорость тела $v(t) =x′(t):$

V(t) =x′(t)= 3t2− 15t+18.

Найдём промежуток по $t,$ на котором скорость тела была отрицательна:

3t2 − 15t+ 18< 0,

t2− 5t+6 < 0,

t2− 2t− 3t+6 < 0,

t(t− 2) − 3(t− 2) < 0,

(t− 3)(t− 2)< 0.

По методу интервалов получаем интервал $(2,3).$ Его длина $3− 2= 1.$ То есть в течение ровно одной секунды скорость тела будет отрицательной.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#19182

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t)= − 1t4+ 4t3− t2+ 14, 2$ где $x$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость в момент времени $t= 5$ с. Ответ дайте в метрах в секунду.

Показать ответ и решение

Найдём функцию скорости как производной функции $x:$

′ 3 2 v(t) = x(t) =− 2t+ 12t − 2t

Найдём скорость при $t= 5$ с в метрах в секунду:

3 2 v(5)= −2⋅5 + 12⋅5 − 2⋅5= − 250 +300 − 10 =40

Ответ: 40