Тема Неравенства без логарифмов и тригонометрии

Неравенства с модулями И корнями

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела неравенства без логарифмов и тригонометрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31028

Решите неравенство

( |2x−1| )(∘ ----------- ) 2 − 1 4⋅2−|2x−1|− 3− 1 ≥ 0

Показать ответ и решение

Поскольку $|2x− 1|≥0$ , то $2|2x−1| ≥1 =⇒ 2|2x−1|− 1≥ 0$ , при этом равенство достигается только при $x= 1 2$ . Аналогично $−|2x−1| 4⋅2 − 3 ≤1$ , равенство также достигается при $1 x= 2$ , однако тогда вторая скобка неположительна, откуда произведение будет неотрицательным только при $1 x= 2$ . ОДЗ учтена, поскольку подкоренное выражение при этом значении равно $1$ .

Ответ:

$1 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#39886

Решите неравенство:

√−x2+-7x−-6 |x2−-6x+-5|−-|x2-− 2x−-3| ≤0

Показать ответ и решение

Если числитель равен нулю $x2 − 7x+ 6= 0 ⇐⇒ x= 1 или x =6$ , то неравенство верно в случае необращения в ноль знаменателя. При $x =1$ знаменатель равен $0− 4$ , а при $x =6$ равен $5− 21$ , так что оба этих значения подходят.

Если числитель не равен нулю, то неравенство равносильно системе

{ 2 x2− 7x+ 6≤ 0;2 |x − 6x+5|< |x − 2x− 3|.

Во втором неравенстве обе части неотрицательны, поэтому возведение в квадрат будет равносильным преобразованием. Получим $(x2− 6x +5)2 < (x2− 2x− 3)2 ⇐⇒ (4x − 8)(2x2− 8x+ 2)> 0$ . После применения метода интервалов в итоге имеем систему:

{ x∈ [1,6]; x∈ (2− √3,2)∪(2+ √3,+ ∞).

Откуда $x∈[1,2)∪ (2 +√3,6]$ . Не забудем учесть решения $x = 1$ и $x =6$ .

Ответ:

$[1;2)∪(2+ √3;6]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#34753

Решите неравенство

(∘ -3-------- ) |3 | x − 10x+ 7+ 1 ⋅|x − 18x +28|≤ 0.

Источники: Физтех-2020, 10.3, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Корень из чего-то и модуль из чего-то всегда неотрицательны, но нас просят найти иксы, при которых левая часть неположительная —> явный намёк на оценку! Строго оцените левую часть – когда возможно, чтобы она была <0 или хотя бы =0?

Подсказка 2

Левая часть может максимум обнулиться! И обнулить её может лишь модуль, так что осталось решить кубическое уравнение (у которого, к слову, нетрудно отгадать корень). Получается, задачка решена?

Подсказка 3

Не забываем про ОДЗ! Подкоренное выражение должно быть неотрицательно! Да, проверять наши корни непосредственной подстановкой не очень приятно, но попробуйте вычесть из подкоренного выражения заведомо неотрицательное выражение, чтобы избавиться от неприятного x^3. Немножко счёта, и задачка убита!

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x3− 10x+ 7≥ 0$ .

На ОДЗ корень неотрицателен, так что первая скобка положительна. Вторая неотрицательна, поэтому неравенство достигается только в случае, если вторая скобка равна нулю, то есть

3 2 √-- x − 18x +28= 0 ⇐⇒ (x− 2)(x +2x− 14) =0 ⇐ ⇒ x =2 или x= −1± 15

Осталось проверить, что найденные значения входят в ОДЗ неравенства. Раз уж при найденных $x$ выражение под модулем равно $0$ , то вычтем его из выражения под корнем, в итоге требуется $8x − 21≥ 0$ . Для $1 − √15$ и $2$ это неверно, проверим третий корень:

√-- √-- 8⋅(−1+ 15)≥21 ⇐⇒ 8 15≥ 29 ⇐⇒ 960= 64⋅15≥ 931

Получаем единственное решение.

Ответ:

$− 1+ √15$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#110244

Решите неравенство

||3x2+8x − 3||+||3x4+ 2x3− 10x2+30x− 9|| -----------|x−-2|−-2x−-1---------- ≤0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите внимательно на нашу дробь: что можно сказать про знак её числителя?

Подсказка 2

Верно, он неотрицателен. А когда дробь с неотрицательным числителем является неположительной?

Подсказка 3

Да, либо когда её числитель равен нулю, либо когда знаменатель отрицателен. Осталось только разобрать два этих случая. Не забудьте про ОДЗ!

Показать ответ и решение

Для начала распишем ОДЗ:

⌊ ({ x< 2 || 1 ( ) ( ) |x− 2|− 2x− 1⁄= 0⇔ || ({ x⁄= 3 ⇔ x∈ −∞; 1 ∪ 1;+∞ |⌈ x≥ 2 3 3 x⁄= 3

Числитель дроби неотрицателен, так как является суммой двух модулей. Тогда, для того, чтобы дробь была не положительной, нужно, чтобы либо знаменатель был не положительным, либо числитель был равен нулю. Поэтому, с учетом ОДЗ, получим совокупность:

[ | ||x|− 2|− 2x− 1< 0 | |3x2+ 8x− 3|+ |3x4+ 2x3− 10x2+ 30x − 9|= 0

Решим первое неравенство:

⌊ { | x − 2≥ 0 [ ||| { x− 2− 2x− 1 <0 ⇔ 1 x≥ 2 ⇒ x> 1 ⌈ x − 2< 0 3 <x <2 3 x+ 2− 2x− 1 <0

Теперь решим уравнение из рассматриваемой совокупности. Оно имеет решение тогда и только тогда, когда каждый модуль равен 0 :

{ 3x2+ 8x − 3= 0 3x4 +2x3− 10x2+ 30x− 9=0

Решим первое уравнение:

√------ x= −8±--64+-36⇒ x = −3, x = 1 6 1 2 3

Подставляя $x 1$ и $x 2$ во второе уравнение системы, видим, что они являются его корнями:

4 3 3(−3) +2(−3) − 90− 90− 9= 189− 189= 0

(1)4 ( 1)3 10 1 1 3 3 +2 3 − 9 + 1= 9 − 9 =0

Но $x2 = 13$ не ответ по ОДЗ, а $x1 =− 3$ является решением системы, а, значит, и решением исходного неравенства.

Таким образом, $( ) x∈ {−3}∪ 1;+ ∞ . 3$

Ответ:

${− 3} ∪(1;+∞ ) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#51860

Найдите все значения переменной $x$ , при каждом из которых оба выражения $f(x)= √21−-x2− 4x$ и $g(x) =|x+ 2|$ определены, причём $x+4- min(f(x);g(x))> 2$ .

Источники: Физтех-2019, 10.2, (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $− x2− 4x +21≥ 0 ⇐⇒ x∈ [−7;3]$ . Последнее условие эквивалентно тому, что каждая функция на ОДЗ больше $x+4 2$ . Поскольку обе функции неотрицательны, то неравенство автоматически выполнено при $cx+4 2 < 0 ⇐⇒ x< −4$ , откуда с учётом ОДЗ получаем решения $x ∈[−7,−4)$ , далее $x≥ 4$ , тогда можем возвести ограничения на функции в квадрат

{ 2 x2+8x+16 212− x − 4x≥x2+84x+16 x + 4x +4 ≥ 4

{ 5x2+ 24x − 68< 0 3x2+ 8x< 0

{ x ∈(− 34,2) x ∈(−∞5,− 8)∪(0,+ ∞) 3

( ) x∈ − 34,− 8 ∪ (0,2) 5 3

Поскольку изначально $x≥ −4$ , то остаются только $x ∈(−4;− 83)∪ (0;2)$ . Объединяя с первым промежутком, получаем ответ.

Ответ:

$[−7;− 8)∪(0;2) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#110253

Решите неравенство

3∘ x2 6√--2 -------22-−--4x-------≥ 0. (x2 − 4|x|) − 8x2+ 32|x|− 48

Источники: Физтех 2019, 11.2 (olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Знаменатель выглядит страшно.. квадраты, модули, квадраты модулей, брр. Давайте попробуем как-нибудь его упросить. На что похож наш знаменатель?

Подсказка 2

На квадратное уравнение относительно x^2-4|x|. Попробуйте разложить его на множители исходя из этого.

Подсказка 3

Теперь нам надо разобраться с числителем. Вспомните, что у нас неравенство, а не уравнение, и замените числитель на выражение, которое совпадает с ним знаком.

Подсказка 4

Разность кубические корней двух чисел имеет тот же знак, что и обычная разность этих чисел! Теперь осталось только воспользоваться методом интервалов!

Показать ответ и решение

Рассмотрим знаменатель дроби. Его можно записать в виде

( 2 )2 (2 ) x − 4|x| − 8x − 4|x| − 48

А если обозначить $x2− 4|x|=t,$ то в виде

2 t − 8t− 48= (t− 12)(t+4)

Если вернуться обратно к переменной $x,$ выходит выражение

(x2− 4|x|− 12)(x2 − 4|x|+ 4)=(|x|− 6)(|x|+ 2)(|x|− 2)2

Итак, исходное неравенство равносильно следующему

3∘ x2− 3∘2|x| ------2----------2-≥ 0 (|x|− 6)(|x|+2)(|x|− 2)

В этом неравенстве необходимо сравнить дробь с нулём, или, что то же самое, определить знак этой дроби. Поэтому если мы заменим числитель или любой из множителей в знаменателе выражением того же знака, то получим неравенство, равносильное исходному.

Заметим, что знак выражения $3√a −√3b$ совпадает со знаком выражения $a− b$ при любых $a$ и $b;$ выражение $|a|− b$ при $b< 0$ положительно, а при $b>0$ его знак совпадает со знаком выражения $a2− b2 = (a− b)(a+ b).$ Следовательно, неравенство равносильно

x2 --2-2-−-2|x2|--2 ≥ 0 (x − 36)(x − 4)

---|x|(|x|− 4)-- (x2− 36)(x2− 4)2 ≥ 0

x2(x− 4)(x+4) (x−-6)(x+-6)(x−-2)2(x+-2)2 ≥ 0

Метод интервалов, применённый к последнему неравенству, даёт

x∈ (−∞;−6)∪ [−4;−2)∪(−2;2)∪(2;4]∪(6;+ ∞)

Ответ:

$(−∞;− 6)∪[− 4;−2)∪ (− 2;2)∪(2;4]∪ (6;+∞ )$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#70348

Решите неравенство

√ - √- 2 8|x− x+ 2|+ 2x x< x + x+ 28.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С корнем можно разобраться потом, давайте сделаем замену t = √x.

Подсказка 2

Что можно сделать с модулем? Надо ли его раскрывать?

Подсказка 3

Заметим, что t² - t + 2 = (t - 1/2)² + 7/4.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x≥ 0.$ Сделаем замену $√x =t ≥0.$

Заметим, что $2 1 2 7 t − t+ 2= (t− 2) + 4 > 0.$ Следовательно $2 2 |t − t+ 2|= t − t+ 2.$

2 3 4 2 8(t − t+ 2)+ 2t < t +t + 28

4 3 2 t− 2t − 7t +8t+ 12>0

(t+ 2)(t+ 1)(t− 2)(t− 3)>0

Учитывая $t≥0$

(t− 2)(t− 3)> 0 ⇐⇒ t∈[0;2)∪ (3;+∞ ) =⇒ x∈ [0;4)∪(9;+ ∞).

Замечание. Также можно заметить, что $√- √- x2− 2x x+ x= (x− x)2$ и сделать замену $√- t= x− x.$

Ответ:

$[0;4)∪ (9;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#32856

Решите неравенство

√---- |2 | √ ---- |2 | 9− x⋅|x − 1|≤ 9− x⋅|x − 10x+13|.

Источники: ПВГ-2014, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу запишем ОДЗ. Теперь хотелось бы убрать корни и работать только с модулями. Для этого можно отдельно подставить x = 9, далее рассматривать x < 9. При таких условиях корень из (9 - x) больше нуля, а значит, на него можно поделить без изменения знака неравенства.

Подсказка 2

Работать с модулями неудобно, особенно когда внутри стоят не линейные функции: нужно сначала определить промежутки знакопостоянства, а затем раскрывать модули в зависимости от промежутка. Но в данном случае нам повезло, в обеих частях стоят по одному модулю, а значит, они неотрицательны. Тогда можно смело возвести в квадрат! Это равносильное преобразование, поэтому после переноса в одну часть по разности квадратов получим одно неравенство вместо системы, если бы раскрывали модули.

Подсказка 3

Решите полученное неравенство с помощью метода интервалов. Не забудьте учесть ограничение!

Показать ответ и решение

Обе части неравенства определены при $9− x≥ 0$ . При $x =9$ получим верное неравенство $0 ≤0$ , так что это значение $x$ является решением. При $x< 9$ можем сократить на положительный корень без смены знака неравенства и возвести обе части в квадрат (это будет равносильным переходом, потому что обе части неотрицательны как модули каких-то выражений), после чего воспользоваться формулой разности квадратов:

2 2 2 2 2 2 |x − 1|≤ |x − 10x +13|⇐⇒ (x − 1) ≤ (x − 10x+ 13)

2 (10x− 14)(2x − 10x+12)≤ 0

(5x− 7)(x− 2)(x− 3)≤ 0

x∈(−∞; 7]∪[2;3] 5

Осталось не забыть условие $x< 9$ , а также внести в ответ отдельно рассмотренное значение $x =9$ .

Ответ:

$(−∞; 7]∪ [2;3]∪ {9} 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#67700

Решите неравенство

----1----- --1- ∘|x+-2|−-1 ≤5 +x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Возводить сразу в квадрат нехорошо, так как мы не знаем знак правой части. Слева же у нас всегда положительное число из-за корня. Давайте обратим внимание на знак неравенства. А возможно ли вообще такое, что правая часть отрицательная? В чём будет противоречие?

Подсказка 2

Верно, ведь тогда решений просто не будет. Действительно, правая часть меньше нуля, но тогда и левая тоже. Но такое невозможно! Значит, правая часть положительна, откуда получается ограничение на x. Теперь уже можно перемножить крест накрест выражения и возвести в квадрат. У нас получилось квадратное уравнение с простеньким модулем. Что же тогда остаётся сделать?

Подсказка 3

Да, давайте просто рассмотрим два случая раскрытия модуля. Нужно будет решить два раза квадратное неравенство и победа! Только не забудьте про ограничение.

Показать ответ и решение

Если $5 +x <0,$ то неравенство не выполняется, поэтому $x> −5.$ Отсюда обе дроби положительны и неравенство можно переписать в виде

∘-------- 2 5+ x≤ |x+ 2|− 1 ⇐⇒ 25+10x+ x ≤ |x+ 2|− 1

Рассмотрим случаи

$− 5 <x <− 2$ , здесь
$25+ 10x +x2 ≤−x − 3 ⇐ ⇒ x2+ 11x+28≤ 0 ⇐⇒ x∈ [− 7,−4]$
Пересекая с условием, имеем $x∈(−5,−4]$ .
$x ≥− 2$ , тогда
$25+ 10x +x2 ≤ x+ 1 ⇐⇒ x2+ 9x +24≤ 0$
Дискриминант квадратного трёхчлена отрицательный, решений нет.

Ответ:

$(−5,−4]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#33909

Решите неравенство

∘----2--- 2 x − x + 2+ x > 4− 5|x− 2|.

Источники: ПВГ-2011 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз мы решаем неравенство, то что стоит записать первым шагом?

Подсказка 2

Да, решение чаще всего стоит начинать именно с ОДЗ. Кроме того, что можно сказать о модуле на ОДЗ?

Подсказка 3

С учетом ОДЗ модуль раскрывается однозначно. Все, что без корня также перенесем вправо. И теперь получилось обычное неравенство с корнем - какие случаи обычно стоит рассмотреть?

Подсказка 4

Разбиваем на случаи: правая часть ≥ 0 и правая часть <0. Может быть, можно как-то сразу упростить себе жизнь, если сразу что-то учесть?

Подсказка 5

Какой знак принимает правая часть на ОДЗ? И какое значение х стоит рассмотреть отдельно из-за этого?

Показать ответ и решение

ОДЗ: $− x2+x +2 ≥0 ⇐⇒ x∈ [− 1,2]$ , то есть мы знаем, что на ОДЗ $x− 2≤0$ .

Тогда раскроем модуль

∘------------ 2 − (x +1)(x − 2)=> 4+ 5x− 10− x = −(x− 2)(x− 3)

При $x< 2$ правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, так что неравенство выполнено. Если же $x= 2$ , то обе части равны нулю, что не подходит в силу строгого знака.

Ответ:

$[−1;2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#67701

Решите неравенство

∘ ---2---- 2 x− x +2+ x > 4− 5|x− 2|

Источники: ПВГ-2011, 11.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Прежде чем раскрывать модуль, давайте попробуем сначала разложить квадратный трёхчлен на множители. Что можно сказать про модуль, когда мы запишем ограничение на корень?

Подсказка 2

Верно, после этого модуль однозначно раскрывается и справа, и слева у нас получаются квадратные трёхчлены, но слева под корнем. В квадрат мы возводить конечно не будем обе части, потому что появятся четвёртые степени. Давайте же снова разложим на множители квадратные трёхчлены. Что тогда можно сказать про знак второй части, учитывая ограничение?

Подсказка 3

Да, правая часть будет отрицательна там, а корень у нас всегда положительный, и, следовательно, больше нуля. Но при x=2 у нас получается равенство, а знак строгий. То есть x=2 не включаем в ответ.

Показать ответ и решение

Из ОДЗ получим $− x2+x +2 ≥0 ⇐⇒ x∈ [− 1,2]$ . Отсюда $|x− 2|= 2− x$ , подставим

∘ ----2--- 2 x− x +2 >− x +5x− 6

Нетрудно видеть, что $x =2$ является корнем для обеих частей неравенства, поэтому в этой точке достигается равенство. Также заметим, что при $x∈[−1,2)$ левая часть неотрицательна, при этом правая часть отрицательна, поскольку $− x2+ 5x − 6 =(2− x)(x− 3)$ — первая скобка будет положительна, а вторая отрицательна на этом промежутке. Значит, на $[−1,2)$ неравенство выполнено, а в $x= 2$ нет.

Ответ:

$[−1;2)$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#70346

Решите неравенство

√x+-8− |2x+ 1| √7−-x−-|2x+-1| ≥ 1

Источники: Ломоносов-2007, отборочный тур, 11

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Приведите неравенство в виду a/b ≥ 0.

Подсказка 2

Получили в числителе разность 2 корней, а можно ли сделать данное выражение более приятным?

Подсказка 3

Вспомните формулу разности квадратов.

Показать ответ и решение

Ограничения: $− 8≤ x≤ 7.$

√x+-8− |2x+ 1|− √7-− x+ |2x +1| -------√7−-x−-|2x+-1|-------≥ 0

√---- √---- √x-+8−--7-− x-≥ 0 7− x− |2x+ 1|

√x-+8− √7-− x √7-−-x− ∘-(2x+1)2 ≥ 0

Рассмотрим неравенство вида $√ -- √-- A− B ≥ 0$ . Домножим обе части на $(√-- √-) A + B ≥0.$ Этот переход действительно равносильный, так как $√A-+ √B-= 0 ⇐⇒ A= B =0$ — решение.