Неравенства с модулями И корнями

Поскольку , то , при этом равенство достигается только при . Аналогично , равенство также достигается при , однако тогда вторая скобка неположительна, откуда произведение будет неотрицательным только при . ОДЗ учтена, поскольку подкоренное выражение при этом значении равно .

Если числитель равен нулю , то неравенство верно в случае необращения в ноль знаменателя. При знаменатель равен , а при равен , так что оба этих значения подходят.

Если числитель не равен нулю, то неравенство равносильно системе

Во втором неравенстве обе части неотрицательны, поэтому возведение в квадрат будет равносильным преобразованием. Получим . После применения метода интервалов в итоге имеем систему:

Откуда . Не забудем учесть решения и .

ОДЗ: .

На ОДЗ корень неотрицателен, так что первая скобка положительна. Вторая неотрицательна, поэтому неравенство достигается только в случае, если вторая скобка равна нулю, то есть

Осталось проверить, что найденные значения входят в ОДЗ неравенства. Раз уж при найденных выражение под модулем равно , то вычтем его из выражения под корнем, в итоге требуется . Для и это неверно, проверим третий корень:

Получаем единственное решение.

Для начала распишем ОДЗ:

Числитель дроби неотрицателен, так как является суммой двух модулей. Тогда, для того, чтобы дробь была не положительной, нужно, чтобы либо знаменатель был не положительным, либо числитель был равен нулю. Поэтому, с учетом ОДЗ, получим совокупность:

Решим первое неравенство:

Теперь решим уравнение из рассматриваемой совокупности. Оно имеет решение тогда и только тогда, когда каждый модуль равен 0 :

Решим первое уравнение:

Подставляя и во второе уравнение системы, видим, что они являются его корнями:

Но не ответ по ОДЗ, а является решением системы, а, значит, и решением исходного неравенства.

Таким образом,

ОДЗ: . Последнее условие эквивалентно тому, что каждая функция на ОДЗ больше . Поскольку обе функции неотрицательны, то неравенство автоматически выполнено при , откуда с учётом ОДЗ получаем решения , далее , тогда можем возвести ограничения на функции в квадрат

Поскольку изначально , то остаются только . Объединяя с первым промежутком, получаем ответ.

Рассмотрим знаменатель дроби. Его можно записать в виде

А если обозначить то в виде

Если вернуться обратно к переменной выходит выражение

Итак, исходное неравенство равносильно следующему

В этом неравенстве необходимо сравнить дробь с нулём, или, что то же самое, определить знак этой дроби. Поэтому если мы заменим числитель или любой из множителей в знаменателе выражением того же знака, то получим неравенство, равносильное исходному.

Заметим, что знак выражения совпадает со знаком выражения при любых и выражение при положительно, а при его знак совпадает со знаком выражения Следовательно, неравенство равносильно

Метод интервалов, применённый к последнему неравенству, даёт

ОДЗ: Сделаем замену

Заметим, что Следовательно

Учитывая

Замечание. Также можно заметить, что и сделать замену

Обе части неравенства определены при . При получим верное неравенство , так что это значение является решением. При можем сократить на положительный корень без смены знака неравенства и возвести обе части в квадрат (это будет равносильным переходом, потому что обе части неотрицательны как модули каких-то выражений), после чего воспользоваться формулой разности квадратов:

Осталось не забыть условие , а также внести в ответ отдельно рассмотренное значение .

ОДЗ: . является решением. Поделим обе части на

Получили неравенство вида

Объединяя с и пересекая с ОДЗ получаем ответ.

Если то неравенство не выполняется, поэтому Отсюда обе дроби положительны и неравенство можно переписать в виде

Рассмотрим случаи

• , здесь

  

  Пересекая с условием, имеем .

• , тогда

  

  Дискриминант квадратного трёхчлена отрицательный, решений нет.

ОДЗ: , то есть мы знаем, что на ОДЗ .

Тогда раскроем модуль

При правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, так что неравенство выполнено. Если же , то обе части равны нулю, что не подходит в силу строгого знака.

Из ОДЗ получим . Отсюда , подставим

Нетрудно видеть, что является корнем для обеих частей неравенства, поэтому в этой точке достигается равенство. Также заметим, что при левая часть неотрицательна, при этом правая часть отрицательна, поскольку — первая скобка будет положительна, а вторая отрицательна на этом промежутке. Значит, на неравенство выполнено, а в нет.

Ограничения:

Рассмотрим неравенство вида . Домножим обе части на Этот переход действительно равносильный, так как — решение.

Тогда на ОДЗ получившееся неравенство равносильно

Пересекая с получаем ответ.

Выпишем ОДЗ этого неравенства:

Заметим, что является решением неравенства. Значит, далее можно считать, что Рассмотрим два случая:

1.

Раскроем модуль, разделим обе части на положительное число

Тогда с учетом ОДЗ в этом случае

2.

Раскроем модуль, разделим обе части на отрицательное число

Тогда с учетом ОДЗ в этом случае получаем, что Объединяя все решения в итоге получим, что

Разберем 3 случая:

1) . В таком случае то есть неравенство примет следующий вид

Так как мы разбираем случай то подходит лишь

2) В этом случае неравенство примет следующий вид

Это просто верное неравенство, значит, подходит любой то есть

3) В этом же случае неравенство после раскрытия модулей примет следующий вид

Но найденные не удовлетворяют неравенству разбираемого случая. Значит, они в ответ не идут.

В итоге получаем, что