Тема Курчатов

Уравнения и неравенства на Курчатове

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела курчатов

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#78976

Положительные числа $a,b$ и $c$ таковы, что выполнены равенства

2 2 2 2 2 2 a +ab+ b =1, b+ bc+c = 3, c + ca +a = 4.

Найдите $a +b+ c$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте немного остановим свой взгляд на равенства из условия. Можно сказать, что нам дали идентичные выражения. Где ещё с таким видом равенств вы могли встречаться?

Подсказка 2

Точно, это же теорема косинусов для угла в 120 градусов. Так давайте же попробуем это изобразить на рисунке. Какая фигура там получается?

Подсказка 3

Верно, получается прямоугольный треугольник, а внутри него точка, из которой все стороны видны под углом 120 градусов. Причём расстояние от точки до вершин треугольника и есть наши a, b, c. А у нас просят найти их сумму. Хм, чтобы тогда хорошо сделать... Что будет с нашими отрезками, если повернуть наш треугольник на 60 градусов вокруг вершины с углом 90 градусов?

Подсказка 4

Верно, если посчитать углы и воспользоваться простым свойствами поворота, то получится, что наши отрезки "выпрямляются". То есть мы получили треугольник с известным углом и смежными сторонами, а напротив как раз то, что надо найти. Осталось только воспользоваться известной теоремой, и победа!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Отложим из одной точки $T$ отрезки $TA, T B и TC$ с длинами $a, b и c$ соответственно так, чтобы $∘ ∠AT B = ∠BT C = ∠CT A= 120.$

Тогда по теореме косинусов при учете соотношения $∘ 1 cos120 = −2,$ получаем, что $√ - AB = 1,BC = 3,CA = 2.$ Видим, что по теореме Пифагора треугольник $ABC$ прямоугольный $∘ (∠B = 90 ),$ причем его катет $AB$ в два раза короче гипотенузы $AC,$ откуда следует равенства $∘ ∘ ∠BAC = 60 ,∠BCA =30 .$

Отметим точку $B1$ — середину гипотенузы $AC$ и точку $C1,$ что $△ABC = △AB1C1$ и точки $C1$ и $B$ по разные стороны от $AC :$

$PIC$

По построению треугольники $ABC$ и $AB1C1$ отличаются поворотом на $60∘$ с центром в точке $A.$ Отметим точку $T1$ в треугольнике $AB1C1,$ соответсвующую точке $T$ в треугольнике $ABC.$ Тогда $BT = B1T1, CT = C1T1, и AT = AT1 = TT1.$ Последнее равенство обусловлено тем, что треугольник $AT T1$ получается равносторонним, поскольку точки $T$ и $T1$ отличаются поворотом на $60∘$ с центром в точке $A.$

Осталось отметить, что точки $B, T, T1, C1$ лежат на одной прямой, поскольку $∠ATB = ∠AT1C1 = 120∘ и ∠ATT1 =∠AT1T = 60∘.$ В итоге получаем, что

a+ b+ c= AT + BT +CT = BT +T T1 +T1C1 = BC1,

а $BC1$ может быть вычислено из теоремы косинусов для треугольника $BAC1 :$

BC2 = AB2 +AC2 +AB ⋅AC = 1+ 4+1 ⋅2 =7. 1 1

Второе решение.

Вычтем из первого равенства второе. Получим $(a− c)(a+c)+ b(a− c)=− 2,$ т.е.

-−2- a +b+ c= a− c

Аналогично, вычитая из второго равенства третье и из третьего первое, получим

−2 −1 3 a+ b+ c= a−-c = b−-a = c−-b

Если обозначить $s=a +b+ c,$ то можно переписать предыдущее соотношения как

a− c=− 2s−1, b− a= −s−1, c− b= 3s−1

Теперь сложим все исходные равенства:

2a2+ 2b2+ 2c2 +ab+ bc +ca= 8

(1)

Нетрудно заметить, что левую часть можно выразить следующим образом:

2 1 2 2 2 (a+ b+c) + 2((a− c)+ (b− a) + (c− b))= 8

что означает

2 1 −2 −2 −2 s + 2(4s + s + 9s )= 8

Домножением на $s2$ получаем биквадратное уравнение

s4 − 8s2+ 7=0

корнями которого являются $2 2 s = 1 и s =7.$ Однако первое из значений явно вступает в противоречие с равенством $(1):$

2 2 2 2 2 1 1 1 s = (a+b +c) >a + b + c+ 2ab+ 2bc+ 2ca =4.

Значит, остается $s2 = 7,$ т.е. $√ - a+ b+c = 7.$

Ответ:

$√7$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#32158

Найдите все вещественные числа $x$ , удовлетворяющие уравнению

1- -1- 2 [x] + [2x] = {x}+ 5.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу заметим, что как слева, так и справа выражения принимают достаточно маленькие значения —> стоит попробовать их оценить! Правая часть оценивается легко сверху и снизу, ведь мы знаем часто помогающую оценку на {x}. Попробуйте порассматривать маленькие целые иксы, поймав момент, когда правая часть выходит из границ значений для левой части

Подсказка 2

Остаётся перебор по конкретным полуинтервалам – на них ведь мы точно знаем, чему равен [x], но вот с [2x] всё не так однозначно. Его значение зависит от дробной части: x=3,1 —> [2x]=6, x=3,6 —> [2x]=7. Так что поможет нам вновь оценка дробной части! Только более точная с учётом того, что мы знаем, в каком полуинтервале работаем. А определив [x] и [2x] мы как раз и {x} сразу найдём, откуда тут же получим сам x

Показать ответ и решение

$∙$ $x< 0$ не может быть, так как тогда $1-+ -1-<0 <{x}+ 2. [x] [2x] 5$

$∙$ $0 ≤x <1$ не может быть, так как мы делим на $[x].$

$∙$ Если $1≤x < 2,$ то $2 1- 1-- 1 1 {x}+ 5 = [x] + [2x] ≥1+ 3 =13$ . Значит, $1 {x} >2$ и поэтому так как $2x= 2[x]+ 2{x}$ и $2{x}≥1$ , то $[2x]= 2[x]+ 1= 3$ . Отсюда $1- 1-- 2 14- {x} = [x] + [2x] −5 = 15$ и $29- x = 15$ подходит.

$∙$ Если $2≤x < 3,$ то $2 1- 1-- 1 1 3 {x}+ 5 = [x] + [2x] ≤ 2 + 4 = 4$ . Значит, $1 {x}< 2$ и поэтому так как $2x= 2[x]+2{x}$ и $2{x}< 1$ , то $[2x]= 2[x]= 4$ . Отсюда $1- -1- 2 7- {x}= [x] + [2x] − 5 = 20$ и $7- 47- x= 2+ 20 = 20$ подходит.

$∙$ Если $3≤x < 4,$ то $2 1- 1-- 1 1 1 {x}+ 5 = [x] + [2x] ≤ 3 + 6 = 2$ . Значит, $1 {x}< 2$ и поэтому так как $2x= 2[x]+2{x}$ и $2{x}< 1$ , то $[2x]= 2[x]= 6$ . Отсюда $1 1 2 1 {x}= [x] + [2x] − 5 = 10$ и $31 x= 10$ подходит.