Тема НадЭн (Надежда энергетики)

Уравнения, неравенства и системы на Энергетике

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела надэн (надежда энергетики)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#121573

Инженер Коворкин установил, что мощность инновационной наноэлектростанции (выраженная в ГВт) должна быть равна корню уравнения

∘---------∘------ 2 1+ 1 +8x2− 6x 1− x2 = 10x

Выясните, имеет ли это уравнение корни и есть ли среди них положительные. Если корни имеются, то найдите максимальный и минимальный по модулю среди них.

Источники: Надежда Энергетики - 2025, 11.1(см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Было бы хорошо, если бы мы могли красиво извлечь хотя бы один корень. А на что похоже большее подкоренное выражение?

Подсказка 2

По ФСУ можно собрать подкоренное выражение в квадрат! Тогда уравнение станет проще.

Подсказка 3

Когда мы извлекли корень, в уравнении появился модуль. Значит, нужно разобрать два случая для знаков подмодульного выражения) В каждом из случаев нужно будет решить квадратное уравнение и не забыть про ОДЗ!

Показать ответ и решение

Сразу отметим, что $|x|≤1.$ Преобразуем подкоренное выражение:

2 ∘ ----- 2 ∘----- 2 (∘ ----- )2 1+ 8x − 6x 1− x2 =1 − x − 6x 1− x2+ 9x = 1− x2− 3x

Тогда изначальное уравнение приводится к виду:

| ∘ ----| 1+ ||3x− 1− x2||= 10x2

Случай 1. Пусть выражение под модулем неотрицательно.

∘----- 3x− 1 − x2 ≥ 0

∘ ----- 3x ≥ 1− x2

{ x ≥0 9x2 ≥ 1− x2

{ x≥ 0 10x2 ≥1

1 x ≥√10-

Изначальное уравнение имеет вид:

∘ ----- 1 +3x− 1− x2 = 10x2

2 ∘ ---2- 2 1− x − 1− x +3x− 9x = 0

Пусть $√1−-x2 = t≥0,$ то

t2− t+ 3x− 9x2 =0

По формуле корней квадратного уравнения

∘ ------------- ∘ ------- t= 1±---1− 4-⋅(3x−-9x2)= 1-±-(6x-− 1)2= 1±-(6x−-1) 2 2 2

Если $t= 1+6x−1= 3x, 2$ то

2 2 1− x = 9x

x = √1- 10

Если $t= 1−6x2+1= 1− 3x,$ то

∘ ---2- 1− x =1 − 3x

{ x ≤1∕3 1− x2 = 1− 6x +9x2

( ||{ x⌊ ≤1∕3 x =0 ||( ⌈ x = 3 5

С учётом $x≥ √1-, 10$ корнем является только $x= √1-. 10$

Случай 2. Пусть выражение под модулем отрицательно.

∘----- 3x− 1 − x2 < 0

∘ ----- 3x < 1− x2

[ 1 ) x∈ −1;√10

Изначальное уравнение приобретает вид:

1 − 3x+ ∘1-− x2 = 10x2

∘ ----- 1− x2+ 1− x2 − 3x− 9x2 = 0

Пусть так же $√ ----- 1− x2 = t≥ 0.$ Тогда

−1 ±∘1-−-4⋅(−-3x-− 12x2) −1± ∘(6x+-1)2 −1± (6x+ 1) t= ----------2--------- = ------2------= ----2-----

Если $−1+6x+1 t= --2---= 3x,$ то

∘ ----- 1− x2 = 3x

{ x ≥02 2 1 − x = 9x

-1- x = √10

Но данный корень не удовлетворяет условиям выше.

Если $−1− 6x−1 t= --2----=− 1− 3x,$ то

∘ ----2 1− x = −1− 3x

{ x ≤−1∕3 1− x2 = 1+ 6x +9x2

{ x≤ −1∕3 10x2 =− 6x

( ||{ x⌊≤ −1∕3 | ⌈ x= 0 |( x= − 3 5

Подходит по условию только $x= − 3. 5$

Таким образом, корни уравнения $3 x= − 5$ и $-1- √10.$ Среди них есть положительный корень. Максимальный по модулю корень – это $x =− 3, 5$ а минимальный по модулю – это $x= √1-. 10$

Ответ:

Уравнение имеет положительные корни. Максимальный по модулю: $x= − 3; 5$ минимальный по модулю: $x = √1-. 10$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#71015

Найдите максимальное значение величины $x2+ y2 +z2,$ если известно, что

2 2 2 x +y + z = 3x+8y+ z.

Источники: Надежда энергетики-2023, 11.2 (см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На что намекает сумма квадратов?)

Подсказка 2

На квадрат длины вектора! Введем декартову систему координат. С левой части мы разобрались - это квадрат длины вектора (x, y, z). А чем является правая часть?)

Подсказка 3

Правая часть - это скалярное произведение векторов a = (x, y, z) и c = (3, 8, 1). Теперь правую часть можно оценить сверху с помощью длин сомножителей, осталось лишь сделать вывод) Помним, что вектор c - фиксированный!

Показать ответ и решение

Введем декартову систему координат и рассмотрим произвольный вектор $a$ с координатами $(x,y,z)$ и фиксированный вектор $c$ с координатами $(3,8,1)$ . Тогда левая часть условия представляет собой квадрат длины вектора $a,$ а правая — скалярное произведение векторов $a$ и $c :$

2 |a|= (a,c)

Оценивая скалярное произведение через длины сомножителей, получаем

2 |a| ≤|a|⋅|c|⇔ |a|≤ |c|

Как известно, равенство возможно, а достигается при векторах, лежащих на одной прямой. Поэтому максимальное значение будет достигаться, например, при $a = c.$

Подставляя значения, получаем $32+ 82 +11 = 74.$

Ответ: 74

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#71016

В уравнении

2022 2021 2020 x − 2x − 3x − ...− 2022x− 2023 =0

можно как угодно переставлять коэффициенты при всех степенях $x$ , кроме самой старшей. Можно ли такой перестановкой добиться, чтобы уравнение имело хотя бы два положительных корня?

Источники: Надежда энергетики-2023, 11.3 (см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте подумаем, какой в этой задаче может быть ответ: если ответ да, то необходимо предъявить пример. Не очень хочется подбирать коэффициенты и искать корни. Давайте попробуем доказать, что, как бы мы не меняли коэффициенты местами, положительных корней будет не больше 1. На что вас наводит последнее предложение?

Подсказка 2

На монотонность! Вспомните, если функция строго монотонна, то она имеет не более 1 корня. Давайте попробуем найти здесь что-то похожее. Пускай (a₂, a₃, ..., a₂₀₂₃)- произвольная перестановка чисел (2, 3, ..., 2023). Тогда наш многочлен имеет вид: x²⁰²²-a₂x²⁰²¹-...-a₂₀₂₃=0. Нам мешаются минусы, может, перенести их в правую часть?

Подсказка 3

x²⁰²²=a₂x²⁰²¹+...+a₂₀₂₃. Теперь справа у нас монотонная функция, при x>0. Но слева у нас также монотонная функция, поэтому сразу завершить решение не получится. Что можно сделать, чтобы слева у нас стояла константа?

Подсказка 4

Можно поделить обе части на x²⁰²² (т.к. нас интересуют положительные корни, мы можем это сделать). Тогда: 1=a₂/x+a₃/x²+...+a₂₀₂₃/x²⁰²². Что мы можем сказать про функцию, стоящую справа?

Подсказка 5

Она строго убывает. Действительно, при увеличении x знаменатель каждой дроби увеличится, а значит, сами они уменьшатся. ⇒ Справа функция монотонно убывает, а слева константа, равная 1 ⇒ она пересекает ее не более чем в 1 точке. Победа!

Показать ответ и решение

Докажем, что это невозможно.

От исходного уравнения перейдем к уравнению, в котором коэффициенты многочлена образуют произвольную перестановку $(a2,a3,...,a2023)$ из чисел ${2,3,...,2023}:$

2022 2021 2020 x − a2x − a3x − ...− a2022x− a2023 = 0

Заметим, что $x= 0$ не является корнем уравнения, т.к. при его подстановке в уравнение получим:

− a2023 =0,

что неверно.

Перенесём все отрицательные члены направо, а затем поделим уравнение на $x2022$ (при условии $x⁄= 0$ ):

x2022 = a2x2021+a3x2020+ ...+ a2022x +a2023

1= a2+ a32 + ...+ a22020221 + a22002322 x x x x

В правой части уравнения получили строго монотонно убывающую на положительной полуоси функцию:

f(x)= 20∑22ak+1 k=1 xk

Доказательство строгой монотонности: пусть $x1 > 0,x2 > 0,x1 <x2.$ Тогда для любого $k ∈{1,2,...,2022}$ выполнено:

ak+k1< ak+k1⇒ f(x2)< f(x1) x2 x1

Строгое монотонное убывание $f(x)$ на положительной полуоси означает, что она пересекает горизонтальную прямую $y = 1$ в единственной точке, которая и будет единственным положительным корнем исходного уравнения.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#76461

Найдите все целочисленные решения данного уравнения, если таковые существуют.

[-x-] [x+-1] [x+-2021] lg(2x-+1)−-lg6 2022 + 2022 + ⋅⋅⋅+ 2022 = lg5− lg10

Через $[a]$ здесь обозначена целая часть числа $a.$

Источники: Надежда энергетики-2022, 11.2 (см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что нужно понять - не стоит бояться задач, которые выглядят громоздко. Они милые внутри. К примеру, в этой задаче, можно взять разные d, разные x, и найти чему будет равна сумма слева, а потом доказать, что так будет всегда. Не могли же нам дать какой-то гроб, где и слева страшная бяка и справа логарифмы, которые вообще мало связаны с нашим «целым» миром.

Подсказка 2

Первое, что надо сделать, чтобы найти эту сумму, это сказать, что x = kd + m. Иначе, не понятно, как можно искать эти самые целые частные от деления на d. Теперь нам надо понять, с какого момента каждая скобка становится равна не k, а k + 1. И посмотреть по сколько у нас значений k и k + 1.

Подсказка 3

Верно, значений k у нас d - m штук, а значений k + 1 ровно m. Значит наша сумма - это k(d - m) + m(k + 1) = kd + m = x. Ого, а теперь задача не такая уж и страшная! Остается преобразовать левую часть по формуле разность логарифмов и получить уравнение вида log_2((2^x + 1)/6) = -x. А это уже крайне понятно решается(квадратно уравнение на 2^x).

Показать ответ и решение

Докажем, что если $x$ целое, $d$ натуральное, то

[x] [x-+1] [x+-d−-1] d + d + ⋅⋅⋅+ d = x

Представим $x$ в виде $x= kd+m,$ где $k∈ ℤ$ (неполное частное), $m ∈ {0,1,...,d − 1}$ (остаток). Тогда величины

[ ] [ ] [ ] x , x+-1 ,..., x+-(d−-m-− 1) d d d

будут равны $k.$ Их количество равно $d− m.$

Величины

[ ] [ ] x-+(d−-m) ,..., x+-(d-− 1) d d

будут равны $k +1.$ Их количество равно $m.$

Итого получаем

[ x ] [x +1] [x+ 2021] 2022 + -2022 +⋅⋅⋅+ --2022-- =k ⋅(d− m)+ (k+1)⋅m = kd+m = x

Преобразуем правую часть уравнения

x x lg(2-+1)−-lg6-= lg[(2-+1)∕6]=− log2[(2x+ 1)∕6] lg5− lg 10 lg1∕2

Таким образом, приходим к уравнению

log [(2x+1)∕6]=− x 2

2x+1 =6 ⋅2−x

Обозначая $t= 2x$ и решая полученное квадратное уравнение, находим, что $2x = 2$ (другой корень не подходит по знаку).

Следовательно, единственное решение $x= 1.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#79621

Для каждого целого значения параметра $K$ решите систему уравнений

{ 2[x]+ y = 3∕2; ([x]− x)2− 2[y]= K.

Здесь $[x]$ означает целую часть числа $x$ .

Источники: Надежда энергетики-2020, 11.2 (см. energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда видим операцию взятия целой части, то стандартной идеей является разложение в виде суммы целой и дробной части.

Подсказка 2

Пусть x = m + a, y = n + b, где m и n — это целые числа, a и b – числа из промежутка [0; 1) Подставим наши разложения в первое уравнение, что тогда можно сказать про b?

Подсказка 3

2m+n+b=3/2, значит, b = 1/2, n = 1 – 2m. Подставим полученные значения во второе уравнение.

Подсказка 4

Учитывая, что K – целое число, чему тогда равно a? Как K можно выразить через m?

Показать ответ и решение

Пусть

x =m + a, y = n+ b, m, n ∈ℤ, a, b∈[0;1)

Из первого уравнения получаем

3 2m + n+ b= 2 ⇒ b= 0,5 n =1− 2m

Подставим эти значения во второе уравнение:

2 (−a )− 2(1− 2m )=K

Тогда

3 a= 0, K = 4m − 2, x= m, y = 2 − 2m

Ответ:

Если $K = 4m − 2,$ где $m ∈ℤ,$ то $x= m, y = 3− 2m. 2$

При других $K$ решений нет.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#108270

Числовая характеристика $x$ некоторого теплоэнергетического процесса является корнем уравнения

3 x − 3x= t,

где $t$ — температура окружающей среды, измеряемая в градусах Цельсия. По некоторым технологическим соображениям корень должен быть единственным. При каких значениях $t$ уравнение имеет единственный корень $x0$ ? Оцените снизу абсолютную величину этого корня и покажите, что полученную оценку улучшить нельзя.

Источники: Надежда энергетики - 2020, 11.1 (см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нарисуем график функции y = x³ - 3x. При каких t будет хотя бы две точки пересечения с прямой y = t?

Подсказка 2

Верно! При |t| ≤ 2. А вот при |t| > 2 уже будет только одна точка пересечения. Попробуем теперь оценить x. При t > 2 получается x³ - 3x > 2, а при t < -2 получается x³ - 3x < -2. А в каких простых случаях эти неравенства обращаются в равенства?

Подсказка 3

Верно! При x = 2 и x = -2 неравенства соответственно обращаются в равенства. А может ли тогда |x| быть между -2 и 2?

Показать ответ и решение

$PIC$

Нетрудно построить график функции $y = x3− 3x,$ заметив, что эта функция нечётная, обращается в $0$ ровно в трёх точках $√- x= 0,± 3;$ ( $1;−2$ ) является точкой минимума, а $(−1;2)$ является точкой максимума, функция неограниченно возрастает при $x> 1$ и неограниченно убывает при $x< −1.$ Таким образом, число корней равно

$3,$ если $|t|< 2,$

$2,$ если $|t|= 2,$

$1,$ если $|t|> 2.$

Единственный корень есть в точности при $|t|>2.$

Далее оценим абсолютную величину корня $x$ при $|t|> 2.$ Из графика видно, что $|x|> √3.$ Можно получить и более точную оценку, рассматривая неравенства $x3− 3x> 2$ при $t>2$ и $x3− 3x< −2$ при $t<− 2.$ Замечая, что $x3 = 2+ 3x$ при $x= 2,$ а также $x3 = −2 +3x$ при $x= −2,$ находим $|x|> 2.$

Замечание.

Допустимо также геометрическое решение, основанное на том наблюдении, что предельный (промежуточный) случай двух корней соответствует ситуации, когда одним из корней является точка экстремума.

Ответ:

Уравнение имеет единственный корень в точности при $|t|>2.$ Для этого корня точная оценка снизу: $|x|>2.$