Тема НадЭн (Надежда энергетики)

Оптимизация на Энергетике

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела надэн (надежда энергетики)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#71015

Найдите максимальное значение величины $x2+ y2 +z2,$ если известно, что

2 2 2 x +y + z = 3x+8y+ z.

Источники: Надежда энергетики-2023, 11.2 (см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На что намекает сумма квадратов?)

Подсказка 2

На квадрат длины вектора! Введем декартову систему координат. С левой части мы разобрались - это квадрат длины вектора (x, y, z). А чем является правая часть?)

Подсказка 3

Правая часть - это скалярное произведение векторов a = (x, y, z) и c = (3, 8, 1). Теперь правую часть можно оценить сверху с помощью длин сомножителей, осталось лишь сделать вывод) Помним, что вектор c - фиксированный!

Показать ответ и решение

Введем декартову систему координат и рассмотрим произвольный вектор $a$ с координатами $(x,y,z)$ и фиксированный вектор $c$ с координатами $(3,8,1)$ . Тогда левая часть условия представляет собой квадрат длины вектора $a,$ а правая — скалярное произведение векторов $a$ и $c :$

2 |a|= (a,c)

Оценивая скалярное произведение через длины сомножителей, получаем

2 |a| ≤|a|⋅|c|⇔ |a|≤ |c|

Как известно, равенство возможно, а достигается при векторах, лежащих на одной прямой. Поэтому максимальное значение будет достигаться, например, при $a = c.$

Подставляя значения, получаем $32+ 82 +11 = 74.$

Ответ: 74

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#76460

Энергетические затраты Пончика во время еды пропорциональны корню квадратному из объема съедаемой порции. Что выгоднее для экономии энергетического запаса: съесть свежую кулебяку как одну порцию или разделить ее на две? В какое максимальное количество раз (и в какую сторону) изменятся затраты при разделении кулебяки на две порции?

Источники: Надежда энергетики-2022, 11.1 (см. www.energy-hope.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что нужно как-то ввести переменные. Пусть две порции относятся друг к другу по величине как с. Также нам нужен какой-то коэффициент пропорциональности, который можно обозначить за а. После этого остается записать отношение двух величин — когда мы едим одну порцию и когда две — через с и х. (где х — переменная: размер, например, первой порции).

Подсказка 2

Мы хотим исследовать это выражение относительно с и найти его экстремум. Он может быть найден с помощью производной или из других соображений.

Показать ответ и решение

Пусть кулебяка делится на порции объёмом $x$ и $cx(c> 0).$ Тогда при съедании всей кулебяки энергетические затраты составят $√ ----- S1 = α x+cx,$ а при разделении на две порции составят $√- √-- S2 =α x+ α cx.$ Требуется исследовать отношение этих величин. Для удобства рассмотрим квадрат их отношения