Тема НадЭн (Надежда энергетики)

Уравнения, неравенства и системы на Энергетике

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела надэн (надежда энергетики)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#71015

Найдите максимальное значение величины $x2+ y2 +z2,$ если известно, что

2 2 2 x +y + z = 3x+8y+ z.

Источники: Надежда энергетики-2023, 11.2 (см. www.energy-hope.ru)

Показать ответ и решение

Введем декартову систему координат и рассмотрим произвольный вектор $a$ с координатами $(x,y,z)$ и фиксированный вектор $c$ с координатами $(3,8,1)$ . Тогда левая часть условия представляет собой квадрат длины вектора $a,$ а правая — скалярное произведение векторов $a$ и $c :$

2 |a|= (a,c)

Оценивая скалярное произведение через длины сомножителей, получаем

2 |a| ≤|a|⋅|c|⇔ |a|≤ |c|

Как известно, равенство возможно, а достигается при векторах, лежащих на одной прямой. Поэтому максимальное значение будет достигаться, например, при $a = c.$

Подставляя значения, получаем $32+ 82 +11 = 74.$

Ответ: 74

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#71016

В уравнении

2022 2021 2020 x − 2x − 3x − ...− 2022x− 2023 =0

можно как угодно переставлять коэффициенты при всех степенях $x$ , кроме самой старшей. Можно ли такой перестановкой добиться, чтобы уравнение имело хотя бы два положительных корня?

Источники: Надежда энергетики-2023, 11.3 (см. www.energy-hope.ru)

Показать ответ и решение

Докажем, что это невозможно.

От исходного уравнения перейдем к уравнению, в котором коэффициенты многочлена образуют произвольную перестановку $(a2,a3,...,a2023)$ из чисел ${2,3,...,2023}:$

2022 2021 2020 x − a2x − a3x − ...− a2022x− a2023 = 0

Заметим, что $x= 0$ не является корнем уравнения, т.к. при его подстановке в уравнение получим:

− a2023 =0,

что неверно.

Перенесём все отрицательные члены направо, а затем поделим уравнение на $x2022$ (при условии $x⁄= 0$ ):

x2022 = a2x2021+a3x2020+ ...+ a2022x +a2023

1= a2+ a32 + ...+ a22020221 + a22002322 x x x x

В правой части уравнения получили строго монотонно убывающую на положительной полуоси функцию:

f(x)= 20∑22ak+1 k=1 xk

Доказательство строгой монотонности: пусть $x1 > 0,x2 > 0,x1 <x2.$ Тогда для любого $k ∈{1,2,...,2022}$ выполнено:

ak+k1< ak+k1⇒ f(x2)< f(x1) x2 x1

Строгое монотонное убывание $f(x)$ на положительной полуоси означает, что она пересекает горизонтальную прямую $y = 1$ в единственной точке, которая и будет единственным положительным корнем исходного уравнения.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#76461

Найдите все целочисленные решения данного уравнения, если таковые существуют.

[-x-] [x+-1] [x+-2021] lg(2x-+1)−-lg6 2022 + 2022 + ⋅⋅⋅+ 2022 = lg5− lg10

Через $[a]$ здесь обозначена целая часть числа $a.$

Источники: Надежда энергетики-2022, 11.2 (см. www.energy-hope.ru)

Показать ответ и решение

Докажем, что если $x$ целое, $d$ натуральное, то

[x] [x-+1] [x+-d−-1] d + d + ⋅⋅⋅+ d = x

Представим $x$ в виде $x= kd+m,$ где $k∈ ℤ$ (неполное частное), $m ∈ {0,1,...,d − 1}$ (остаток). Тогда величины

[ ] [ ] [ ] x , x+-1 ,..., x+-(d−-m-− 1) d d d

будут равны $k.$ Их количество равно $d− m.$

Величины

[ ] [ ] x-+(d−-m) ,..., x+-(d-− 1) d d

будут равны $k +1.$ Их количество равно $m.$

Итого получаем

[ x ] [x +1] [x+ 2021] 2022 + -2022 +⋅⋅⋅+ --2022-- =k ⋅(d− m)+ (k+1)⋅m = kd+m = x

Преобразуем правую часть уравнения

x x lg(2-+1)−-lg6-= lg[(2-+1)∕6]=− log2[(2x+ 1)∕6] lg5− lg 10 lg1∕2

Таким образом, приходим к уравнению

log [(2x+1)∕6]=− x 2

2x+1 =6 ⋅2−x

Обозначая $t= 2x$ и решая полученное квадратное уравнение, находим, что $2x = 2$ (другой корень не подходит по знаку).

Следовательно, единственное решение $x= 1.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#79621

Для каждого целого значения параметра $K$ решите систему уравнений

{ 2[x]+ y = 3∕2; ([x]− x)2− 2[y]= K.

Здесь $[x]$ означает целую часть числа $x$ .

Источники: Надежда энергетики-2020, 11.2 (см. energy-hope.ru)

Показать ответ и решение

Пусть

x =m + a, y = n+ b, m, n ∈ℤ, a, b∈[0;1)

Из первого уравнения получаем

3 2m + n+ b= 2 ⇒ b= 0,5 n =1− 2m

Подставим эти значения во второе уравнение:

2 (−a )− 2(1− 2m )=K

Тогда

3 a= 0, K = 4m − 2, x= m, y = 2 − 2m

Ответ:

Если $K = 4m − 2,$ где $m ∈ℤ,$ то $x= m, y = 3− 2m. 2$

При других $K$ решений нет.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#108270

Числовая характеристика $x$ некоторого теплоэнергетического процесса является корнем уравнения

3 x − 3x= t,

где $t$ — температура окружающей среды, измеряемая в градусах Цельсия. По некоторым технологическим соображениям корень должен быть единственным. При каких значениях $t$ уравнение имеет единственный корень $x0$ ? Оцените снизу абсолютную величину этого корня и покажите, что полученную оценку улучшить нельзя.

Источники: Надежда энергетики - 2020, 11.1 (см. www.energy-hope.ru)

Показать ответ и решение

$PIC$

Нетрудно построить график функции $y = x3− 3x,$ заметив, что эта функция нечётная, обращается в $0$ ровно в трёх точках $√- x= 0,± 3;$ ( $1;−2$ ) является точкой минимума, а $(−1;2)$ является точкой максимума, функция неограниченно возрастает при $x> 1$ и неограниченно убывает при $x< −1.$ Таким образом, число корней равно

$3,$ если $|t|< 2,$

$2,$ если $|t|= 2,$

$1,$ если $|t|> 2.$

Единственный корень есть в точности при $|t|>2.$

Далее оценим абсолютную величину корня $x$ при $|t|> 2.$ Из графика видно, что $|x|> √3.$ Можно получить и более точную оценку, рассматривая неравенства $x3− 3x> 2$ при $t>2$ и $x3− 3x< −2$ при $t<− 2.$ Замечая, что $x3 = 2+ 3x$ при $x= 2,$ а также $x3 = −2 +3x$ при $x= −2,$ находим $|x|> 2.$

Замечание.

Допустимо также геометрическое решение, основанное на том наблюдении, что предельный (промежуточный) случай двух корней соответствует ситуации, когда одним из корней является точка экстремума.

Ответ:

Уравнение имеет единственный корень в точности при $|t|>2.$ Для этого корня точная оценка снизу: $|x|>2.$