8.06 Производная и точки экстремума функции

Точкой экстремума функции называется точка, в которой функция достигает локально минимальное или локально максимальное значение.

По рисунку можно определить, что функция достигает локально минимальные значения в точках 0, 4 и 8, а локально максимальные значения в точках 1 и 6. Таким образом, сумма точек экстремума этой функции равна

Точкой экстремума функции называется точка, в которой функция достигает локально минимального или локально максимального значения.

По рисунку можно определить, что функция достигает локально минимального значения в точках -1, 2 и 5, а локально максимального значения в точках 0, 4 и 8. Таким образом, сумма точек экстремума этой функции равна

Точкой экстремума функции называется точка, в которой функция достигает локально минимального или локально максимального значения.

По рисунку можно определить, что функция достигает локально минимальных значений в точках 1 и 4, а локально максимальных значений в точках -2, 3 и 7. Таким образом, произведение точек экстремума этой функции равно

Так как на рисунке изображен график функции, то точки экстремума — это точки на графике, в которых функция меняется с возрастания на убывание или наоборот. Эти точки: 0; 2; 4; 5; 8. Из них на отрезке лежат только точки 2; 4; 5, следовательно, их сумма равна

Точкой экстремума функции называется точка, в которой функция достигает локально минимальное или локально максимальное значение.

По рисунку можно определить, что функция достигает локально минимальные значения в точках и 5, а локально максимальные значения в точках 4 и 8. Таким образом, произведение точек экстремума этой функции равно

Точка максимума — значение в котором производная меняет свой знак с «» на «» при движении слева направо.

Следовательно, в этой точке график производной пересекает ось абсцисс «сверху вниз». На отрезке таких точек 2.

При переходе слева направо через точку локального минимума функции её производная меняет знак с минуса на плюс. По рисунку видно, что меняет знак с минуса на плюс на промежутке один раз — при

По рисунку можно определить, что функция на полуинтервале принимает положительные значения, на полуинтервале функция отрицательна.

Тогда на полуинтервале функция возрастает, в точке достигается локальный максимум затем на полуинтервале функция убывает.

Таким образом, на отрезке функция имеет 1 точку максимума.

Так как на рисунке изображен график самой функции, то условие задачи нужно свести к функции.

Если касательная параллельна прямой то угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямой то есть равен 0. Следовательно, где — некоторое число.

Если — касательная к графику то ее угловой коэффициент равен где — абсцисса точки касания. Количество таких точек нам и нужно найти.

Следовательно, Но производная функции равна 0 в точках экстремума. Следовательно, так как нарисован график самой функции, то нужно найти количество точек максимума и минимума. Таких точек 7.

По рисунку можно определить, что функция на полуинтервале принимает отрицательные значения, на полуинтервале функция положительна.

Тогда на полуинтервале функция убывает, в точке функция достигает локального минимумума, затем на полуинтервале функция возрастает.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке достигается при

Если касательная параллельна прямой то угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямой то есть и касательная горизонтальна.

Так как на рисунке изображен график функции, то нужно найти точки, в которых касательная горизонтальна. Это точки экстремума: их 7 штук.

В точке минимума функции её производная обнуляется и меняет знак с «–» на «+» при движении слева направо, так как до точки минимума функция убывала, а после — начала возрастать.

На отрезке производная обнуляется два раза — в точках

В точке производная поменяла знак с «+» на «–».

В точке производная поменяла знак с «–» на «+».

Значит, — единственная точка минимума на отрезке

Точки максимума — это точки, в которых функция меняет свой характер монотонности с возрастания на убывание, если смотреть слева направо. Следовательно, в них производная меняет свой знак с плюса на минус.

Значит, на рисунке нужно найти те точки отрезка в которых график функции пересекает ось причем сверху вниз при проходе слева направо. Таких точек две.

Решением уравнения является точка, в которой производная функции равна 0, то есть точка экстремума. По картинке видно, что на отрезке семь точек экстремума.

Рассмотрим производную функции на интервале На интервале производная принимает только отрицательные значения, на интервале — только положительные значения. Значит, в точке производная меняет знак с минуса на плюс, то есть точка — точка минимума.

Рассмотрим производную функции на интервале На интервале производная принимает только положительные значения, на интервале — только отрицательные. Значит, в точке производная меняет знак с плюса на минус, то есть — точка максимума.

Так как требуется найти точку минимума, то ответ -1.

Производная функции равна 0 в точках, в которых касательная к графику функции горизонтальна, то есть в точках экстремума. Таких точек на графике всего 7.

Точка минимума функции – точка, в которой график функции меняет свое направлениес убывания на возрастание. Говоря иначе, на графике нас интересует количество «ямок». На рисунке их 5.

Если производная функции в некой точке положительна, то функция в этой точке возрастает.

Перед нами график производной функции. На данном отрезке все значения производной положительны. Это фактически означает, что на всем отрезке функция возрастает. Значит, своего максимального значения на нём она достигает на его правой границе — в точке

График производной функции пересекает ось абсцисс на отрезке сверху вниз два раза, поэтому на нем у функции две точки максимума.