Проективные преобразования

Проективным преобразованием переведем прямую в бесконечно удаленную. После преобразования противоположные стороны четырехугольника параллельны, следовательно, он является параллелограммом. Осталось заметить, что чевианы и в треугольниках и образующие прямую параллельную равны, т.к. являются соответственными элементами в равных треугольниках, но двойное отношение где — бесконечно удаленная точка, в которой пересекаются прямые, которые имеют то же направление, что и равно а значит было таковым и до преобразования, следовательно, являлось серединой отрезка

Пусть прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников и пересекаются в точке и Переведем прямую в бесконечно удаленную. После преобразования и

Рассмотрим гомотетию с центром в точке переводящая точку в точку она переведет прямую в следовательно, точку в аналогично в а значит прямую в прямую что влечет их параллельность, тем самым они пересекаются в бесконечно удаленной прямой, что доказывает коллинеарность точек после преобразования, а значит, и коллинеарность до преобразования.

Замечание. Решение “по теореме Дезарга ч.т.д.” не засчитывается!

Проективным преобразованием переведем в квадрат. Точки и перейдут в бесконечно удаленные. Заметим, что треугольники и равны и гомотетичны, а значит прямые и пересекаются в бесконено удаленной прямой, тем самым коллинеарны с точками и после преобразования, а значит коллениарны и до него.

Замечание. Аналогично можно показать, что прямые конкуррентны.

Проективным преобразованием переведем четырехугольник в квадрат. Рассмотрим симметрию относительно точки Четверка точек переходит в четверку точек следовательно, прямая переходит в — в тем самым, точка пересечения прямых и переходит в точку пересечения и а значит точки и симметричны относительно что доказывает их коллинеарность, а значит коллинеарность до преобразования.

Проективным преобразованием переведем четырехугольник в квадрат. Прямая при этом перейдет в бесконечно удаленную, а значит каждая из точек , , , является бесконечно удаленной, а значит прямые и являются параллельными, т.к. пересекаются в бесконечно удаленной точке .

Рассмотрим симметрию относительно точки центра квадрата, тогда прямая перейдет в прямую , которая пройдет через точку , симметричную точки относительно . Аналогично, через точку пройдут прямые , , , что доказывает их конкуррентность после преобразования, а значит и конкуррентность до преобразования.

Рассмотрим задачу после проективного преобразования, которое переводит прямую в бесконечно удаленную. Прямые фиксированы и параллельны. Стороны и так же параллельны, а значит — параллелограмм, следовательно, точка пересечения его диагоналей лежит на прямой, параллельной и равноудаленной от них, а значит не зависит от выбора точек Точки пересечения диагоналей лежат на одной прямой после проективного преобразования, следовательно лежали на одной прямой и до этого.

Пусть — правильный -угольник, — прямая, содержащая его сторону, противоположную вершине , — точка пересечения прямой с бесконечно удаленной прямой. Разобьем точки на пары Покажем, что это разбиение обладает требуемым свойством. Для этого нужно рассмотреть прямые п ).

) Прямая содержит все точки Поскольку среди них есть точка, отличная от п

) Прямая параллельна одной из прямых поскольку число нечетно. Следовательно, прямая проходит через точку

) Если то прямая, проходящая через вершину параллельно прямой содержит некоторую вершину Поэтому прямая проходит через точку

Применив к набору точек проективное преобразование, можно добиться, чтобы все эти точки не были бесконечно удаленными.

Проективным преобразованием переведем точку пересечения прямых, соединяющих противоположные точки касания, в центр вписанной окружности. При этом преобразовании противоположные стороны четырехугольника перейдут в параллельные, следовательно, четырехугольник перейдет в параллелограмм. Поскольку существует вписанная в него окружность, то он является ромбом, для которого условия задачи очевидно, ведь в силу симметрии относительно центра вписанной окружности, диагонали проходят через центр окружности.

Рассмотрим отдельно два случая.

Точка лежит вне Сделаем проективное преобразование, при котором окружность перейдет в окружность, а точка — в бесконечно удаленную точку, т. е. образы всех прямых, проходящих через будут друг другу параллельны. Тогда образом искомого ГМТ является прямая — их общий перпендикуляр, проходящий через центр окружности. (Для доказательства нужно воспользоваться симметрией относительно прямой ) Следовательно, само искомое ГМТ есть прямая, проходящая через точки касания с касательными, проведенными через точку

Точка лежит внутри Сделаем проективное преобразование, при котором окружность перейдет в окружность, а точка — в ее центр. Тогда в обеих задачах образом искомого ГМТ является бесконечно удаленная прямая. Следовательно, само искомое ГМТ есть прямая.

Замечание. Полученная прямая в обоих случаях совпадает с полярой точки относительно

Проведём проективное преобразование, сохраняющее окружность и переводящее точку в её центр. В результате станет прямоугольником, а прямая — его осью симметрии. Если одна из точек лежит на этой оси, то точки и симметричны относительно неё, а значит, и вторая точка лежит на

Рассмотрим проективное преобразование, которое оставит на месте, а прямую переведет в бесконечно удаленную. При этом точка так же перейдет в бесконечно удаленную. Следовательно, прямые для всех верно, что Покажем, что тогда Действительно, следовательно, Аналогично, Таким образом следовательно так же является бесконечно удаленной точкой.

Пусть — образы точек при проективном преобразовании, которое вневписанную окружность треугольника переводит в окружность, а хорду в диаметр. Тогда — бесконечно удаленная точка прямых, перпендикулярных диаметру и нам нужно доказать, что прямая содержит эту точку, т. е. тоже перпендикулярна Так как то Но и как касательные, проведенные из одной точки, следовательно, т. е.

(a) Проективным преобразованием переведем точку в центр окружности, тогда точки и симметричны относительно центра окружности при всех Таким, образом при симметрии относительно прямая в в следовательно, точка переходит в точку что влечет коллинеарность точек

(b) Пусть — данный четырехугольник, биссектрисы его углов. Так как в четырехугольник можно вписать окружность, биссектрисы пересекаются в центре этой окружности — точке Далее, точки являются серединами двух дополнительных дуг описанной окружности, следовательно, — диаметр этой окружности. Аналогично — также диаметр, и, значит, точка — центр описанной окружности. Из пункта следует, что прямая проходит через точку пересечения диагоналей четырехугольника.

Рассмотрим проективное преобразование, которое переводит окружность в окружность, а точку в бесконечно удаленную. После преобразования т.е. а значит является серединным перпендикуляром к следовательно, Пусть прямая пересекает в точке тогда четырехугольник является прямоугольников, тем самым тогда и четырехугольник является трапецией. Наконец, точка лежит на серединном перпендикуляре к следовательно, что влечет требуемое.

Пусть — прямая, параллельная проходящая через Поскольку точка пересечения прямых и лежит на прямой Рассмотрим проективное преобразование, переводящее вписанную окружность в окружность, а прямую в бесконечно удаленную, в частности, точка переходит в бесконечно удаленную точку, тем самым, образы прямых и параллельны и переходит в середину поскольку двойное отношение не изменится при проективном преобразовании. Точка так же переходит в бесконечно удаленную, а значит прямые и так же параллельны, следовательно, является ромбом, описанным около вписанной в окружности, — ее диаметром.

Пусть — центр вписанной окружности, — точка касания окружности и прямой — середина Прямая является средней линией трапеции следовательно аналогично следовательно, лежат на одной прямой, а в силу симметрии относительно верно, что . Наконец, под действием симметрии относительно точки и переходят в друг друга, а значит прямые и переходят в друг друга, окружность переходит в себя, а значит касается так же касается окружности.