Тема ИТМО (открытка)

Последовательности и прогрессии на ИТМО

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела итмо (открытка)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91147

Последовательность ${a } n$ задана рекуррентным соотношением

an = an−1 +an−2− an−3+3

и начальными условиями $a0 = 1,a2 =5.$ Чему может быть равно $a6?$

Источники: ИТМО-2024, 11.2 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что первое хочется сделать, увидев рекуррентную формулу? Попробовать подставить что-то вместо n. Например, взять n-1 и посмотреть, что получится. В задаче же у нас спрашивают про чётный член. Тогда в теории надо как-то избавиться от членов вида n-1 и n-3 в формуле. Посмотрев на формулы для n и n-1, что можно попробовать сделать?

Подсказка 2

Давайте сложим две формулы, тогда останутся только члены с номерами n, n-2 и n-4. Теперь, записав полученное выражение как разность членов n, n-2 и n-2, n-4, можем найти формулу для разности 2k и 2(k-1) члена, через суммирование таких выражений. Как же теперь можно найти формулу для 2k-ого члена?

Подсказка 3

Верно, сложим аналогично выражения для всех k от 1 до 3. Тогда слагаемые буду сокращаться и мы сможем выразить 6-ый член. Победа!

Показать ответ и решение

Перепишем рекуррентную формулу:

an− an−2 =an−1− an−3+3

Записав её для $n − 1$ вместо $n,$ получим

an−1 − an−3 = an−2− an−4 +3,

откуда

an− an−2 =an−2− an−4+6

Поскольку $a2− a0 =4,$ то

a2i− a2(i− 1) = 4+ 6(i− 1)

Значит,

a = 1+∑3 (4+ 6(i− 1)) =1+ 3⋅4+ 3⋅3(3− 1)= 31 6 i=1

Ответ: 31

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#85174

Сумма первых шести членов арифметической прогрессии ${a } n$ равна сумме следующих четырех членов. Найдите $a16- a1 .$

Показать ответ и решение

Пусть $d$ — разность прогрессии. Тогда $a = a + (n − 1)d, n 1$ в частности $a =a + 15d 16 1$ . Тогда сумма первых шести членов прогрессии равна

6a1+ (1+2 +3+ 4+ 5)d= 6a1+ 15d,

а сумма следующих четырёх равна

4a1+(6+ 7+ 8+9)d= 4a1 +30d.

По условию эти суммы равны:

6a1+ 15d= 4a1+ 30d

2a1 = 15d

Подставим в искомое выражение

a16-= a1-+15d= 1+ 15d= 1+ 2a1= 3 a1 a1 a1 a1

Замечание.

При сокращении мы воспользовались тем, что $a1 ⁄=0,$ хотя в условии олимпиады ИТМО-2020 этого (или равносильного этому условия о том, чтобы прогрессия была не постоянной) дано не было. Судя по всему, предполагалось, что искомое отношение определено и задумываться о таком не надо было.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#97897

Последовательность $x n$ задана условиями $x = 5 1 3$ и $x = 4− -3. n+1 xn$ Найдите $x . 100$

Показать ответ и решение

Перебрав несколько первых членов последовательности, можно заметить, что числитель предыдущего является знаменателем следующего.

Определим последовательность $yn$ следующим образом: $y0 = 3,y1 = 5,yn =xnyn−1$ , то есть

yn xn = yn−1-

Подставив это представление $xn$ в рекуррентную формулу, мы получим

yn+1-= 4− 3yn−1- yn yn

y = 4y − 3y n+1 n n−1

Члены последовательности $yn$ имеют вид $3,5,11,29,83,...$ Можно заметить, что разность двух соседних членов каждый раз увеличивается в три раза, что характерно для геометрической прогрессии со знаменателем 3. Значит, имеет смысл искать $yn$ как $3na+ b.$ Можно проверить, что такая любая такая последовательность удовлетворяет рекуррентной формуле. Подставляя начальные значения и решая систему уравнений, находим $a =1$ и $b= 2$ , откуда

xn =-3n+-2- 3n−1+ 2

Ответ:

$3100+2 399+ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#97885

Бесконечная числовая последовательность ${a } n$ задана формулой $a =[√6n-+ 1] , n 8$ где запись $[x]$ означает целую часть числа $x.$ Сколько раз в этой последовательности встречается число $72?$