Тема Задачи №18 из ЕГЭ прошлых лет

№18 из ЕГЭ 2023

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#65519Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

∘ -2------- √ ----- x + 6x+ 8 = a− 3x

имеет корни (хотя бы один), ровно один из которых отрицательный.

Источники: ЕГЭ 2023, резервная волна

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение:

({ 2 x + 6x+ 8 ≥0 (x2+ 6x+ 8 =a − 3x ( {x ∈(−∞; −4]∪ [− 2;+ ∞) (x2+ 9x+ 8− a = 0

Таким образом, необходимо, чтобы ровно один корень уравнения $x2+ 9x+ 8 − a = 0$ принадлежал множеству

U = (−∞;− 4]∪[−2;0)

Дискриминант этого уравнения равен $D = 4a+ 49.$ Рассмотрим параболу

2 y = x + 9x+ 8− a

Тогда абсцисса вершины этой параболы

x0 = − 9∈ U 2

Следовательно, случай $D = 0$ подходит, так как в этом случае $x = x0$ и есть единственный корень уравнения $y =0.$ Значит, $a = − 494$ — первая часть ответа.

Пусть $D > 0,$ то есть $a > − 494 .$ Тогда парабола пересекает ось абсцисс в двух точках

x1 < −4,5 x2 > − 4,5

$xx−124,5$

Так как $x1 < − 4,5,$ то $x1 ∈ U$ при любом значении параметра $a.$ Следовательно, необходимо, чтобы выполнялось $x2 ∕∈U.$

Тогда подходит любая из двух картинок.

Первая картинка $(− 4< x2 < −2):$

$xx−−−12442,5$

Вторая картинка $(0 ≤x2):$

$xx−0124,5$

Первая картинка задается условием

( {y(−4)< 0 (y(−2)> 0 ⇔ − 12< a< − 6

Вторая картинка задается условием

y(0)≤ 0 ⇔ a ≥ 8

Найденные значения удовлетворяют условию

49 D > 0 ⇔ a > −-4

Тогда исходное уравнение имеет корни (хотя бы один), ровно один из которых отрицательный, при

{ } a∈ − 49 ∪(−12;−6)∪ [8;+∞ ) 4

Ответ:

${ } a ∈ − 49 ∪ (− 12;−6)∪ [8;+ ∞) 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получено множество значений $a,$ отличающееся от искомого только включением/исключением точек $a =− 12,$ $a =− 6,$ $a =8$ или $a= − 49- 4$	3

С помощью верного рассуждения получены верные промежутки $(− 12;−6)$ и $(8;+∞),$ возможно, с выключением граничных точек	2
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения

Задача обоснованно сведена к исследованию расположения корней квадратного уравнения $x2+ 9x+ (8− a)= 0$ относительно точек при $x= −2,$ $x= −4$ и $x= 0$	1
ИЛИ
верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения и получен или промежуток $(−12;−6),$ или промежуток $(8;+∞ ),$ возможно, с выключением граничных точек

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#65520Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

∘ -2------- √ ----- x − 6x+ 8 = a− 3x

имеет корни (хотя бы один), ровно один из которых отрицательный.

Источники: ЕГЭ 2023, резервная волна

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

{ 2 { 2 x2 − 6x +8 = a− 3x ⇔ x − 3x+ 8 − a = 0 x − 6x +8 ≥ 0 x ∈(−∞; 2]∪[4;+∞ )

Исходное уравнение имеет корни, причем ровно один отрицательный, если полученное квадратное уравнение имеет ровно один отрицательный корень. Найдем дискриминант этого уравнения:

D = 4a− 23

Если $D = 0,$ то квадратное уравнение имеет единственный корень $x = x0 = 1,5.$ Он неотрицательный, следовательно, случай $D = 0$ нам не подходит.

Пусть $D > 0 ⇔ a > 243.$ Рассмотрим квадратичную функцию $y = x2− 3x + 8− a.$ Её графиком является парабола, ветви которой направлены вверх и которая пересекает ось абсцисс в двух точках: $x1 <1,5$ и $x2 >1,5.$

Заметим, что $x1 ∈(−∞; 2]∪[4;+ ∞),$ то есть при любом $23 a> 4$ является корнем исходного уравнения, причем только $x1$ может быть отрицательным (так как $x > 1,5 > 0 2$ ). Следовательно, необходимо, чтобы $x < 0, 1$ причем при выполнении этого требования нам неважно, каким будет $x2 :$ исходное уравнение уже точно будет иметь как минимум один корень и этот корень будет отрицательным.

Следовательно, нам подходит следующая картинка:

$xx1012,5$

Эта картинка задается условием

y(0)< 0 ⇔ a > 8

Найденные значения параметра удовлетворяют условию $23 a > 4-,$ следовательно, ответ

a∈ (8;+∞ )

Ответ:

$a ∈(8;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#65521Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система

{ 2 2 2 2 x + x+ |x − x − 2|= y + y+ |y − y− 2| x+ y = a

имеет более двух решений.

Источники: ЕГЭ 2023, резервная волна, Москва

Показать ответ и решение

Так как $x2 − x − 2 = (x +1)(x− 2),$ то нули подмодульных выражений: $x =− 1$ и $x = 2$ для первого и $y =− 1$ и $y =2$ для второго. Эти четыре прямые разбивают плоскость $xOy$ на 9 областей, в которых каждый из двух модулей раскрывается с определенным знаком. Рассмотрим эти области, обозначив каждую как « $∗∗$ », где $∗$ — один из знаков $+$ или $−$ , причем первый знак отвечает за первый модуль, а второй знак отвечает за второй модуль.

$xy11++++++−−−++++−−++−$

Рассмотрим первое уравнение в каждой из областей.

$++$ :: $x2+ x+ x2− x− 2= y2+ y+ y2− y− 2 ⇔ y =±x;$
$+−$ :: $2 2 2 2 2 x + x+ x − x− 2= y + y− y + y+ 2 ⇔ y =x − 2;$
$− +$ :: $2 2 2 2 2 x + x− x + x+ 2= y + y+ y − y− 2 ⇔ x =y − 2;$
$− −$ :: $2 2 2 2 x + x− x + x+ 2= y + y− y + y+ 2 ⇔ y =x.$

Тогда получаем следующий график первого уравнения:

$xy11((12))$

(1) и (2) — граничные положения прямой $y = −x+ a,$ задаваемой вторым уравнением исходной системы. Все $a,$ соответствующие положениям этой прямой между (1) и (2), включая (2), нам подходят. Положению (1) соответствует $a = −2$ (так как прямая $y =− x+ a$ проходит через точку $(−1;−1)$ ), положению (2) соответствует $a= 0.$ Следовательно, ответ

a ∈(−2;0]

Ответ:

$a ∈(−2;0]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#65522Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система

{ 2 2 2 2 x + |x +2x|= y + |y +2y| x+ y =a

имеет более двух решений.

Источники: ЕГЭ 2023, резервная волна, Москва

Показать ответ и решение

Так как $x2 +2x = x(x +2),$ то нули подмодульных выражений: $x= − 2$ и $x = 0$ для первого и $y =− 2$ и $y =0$ для второго. Эти четыре прямые разбивают плоскость $xOy$ на 9 областей, в которых каждый из двух модулей раскрывается с определенным знаком. Рассмотрим эти области, обозначив каждую как « $∗∗$ », где $∗$ — один из знаков $+$ или $−$ , причем первый знак отвечает за первый модуль, а второй знак отвечает за второй модуль.

$xy11++++++−−−++++−−++−$

Рассмотрим первое уравнение в каждой из областей.

$++$ :: $x2+ x2+ 2x = y2+ y2+ 2y ⇔ (x − y)(x+ y+ 1)= 0 ⇔ y = x, y = −x − 1;$
$+−$ :: $2 2 2 2 x + x + 2x = y − y − 2y ⇔ y = −x(x+ 1);$
$− +$ :: $2 2 2 2 x − x − 2x = y + y + 2y ⇔ x= −y(y+ 1);$
$− −$ :: $2 2 2 2 x − x − 2x = y − y − 2y ⇔ y = x.$

Тогда получаем следующий график первого уравнения:

$xy11((12))$

(1) и (2) — граничные положения прямой $y = −x + a,$ задаваемой вторым уравнением исходной системы. Все $a,$ соответствующие положениям этой прямой между (1) и (2), включая (1), нам подходят. Положению (1) соответствует $a= − 1,$ положению (2) соответствует $a =0.$ Следовательно, ответ

a ∈[−1;0)

Ответ:

$a ∈[−1;0)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#65523Максимум баллов за задание: 4

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых уравнение

∘ -2------- √----- x + 6x + 8= x +a

имеет корни (хотя бы один), ровно один из которых отрицательный.

Источники: ЕГЭ 2023, резервная волна

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно системе

{ 2 x2+ 5x +8 − a = 0 x + 6x +8 ≥0

Множество решений неравенства назовем областью $U.$ Это $x ∈(−∞; −4]∪[−2;+∞ ).$ Решением исходного уравнения будут те корни уравнения системы, которые лежат в $U.$

Найдем дискриминант уравнения системы: $D = 4a− 7.$ Абсцисса вершины параболы $y = x2+ 5x+ 8− a$ — это $x0 = − 52.$ Если $D = 0,$ то $x= x0$ — единственный корень этого уравнения. Заметим, что $x0 ∕∈ U,$ следовательно, этот случай нам не подходит.

Рассмотрим случай $D > 0.$ Тогда парабола $2 y = x + 5x+ 8− a$ пересекает ось абсцисс в двух точках $x1 < −2,5$ и $x2 > − 2,5,$ а ее ветви направлены вверх.

$xx−122,5$

Так как $x1 < − 2,5,$ то если $x1 ∕∈ U,$ то есть $x1 >− 4,$ то необходимо, чтобы $x2 ∈U$ и $x2 < 0,$ то есть $x2 ∈[−2;0).$ Это задается следующей картинкой:

$xx−−−012242,5$

Такая картинка задается следующей системой:

( ||| D >0 { y(− 4) >0 || y(− 2) ≤0 ⇔ a∈ [2;4) |( y(0)> 0

Если же $x1 ∈U,$ то $x1$ и есть тот отрицательный корень, которым должен быть у уравнения единственным. Следовательно, необходимо, чтобы $x2 ≥ 0.$ Это задается следующей картинкой:

$xx−−01224,5$

Такая картинка задается следующей системой:

( |{D > 0 y(−4)≤ 0 ⇔ a ∈ [8;+∞ ) |(y(0)≤ 0

Следовательно, ответ

a∈ [2;4)∪ [8;+∞ )

Ответ:

$a ∈[2;4)∪ [8;+ ∞)$