Тема Задачи №15 из ЕГЭ прошлых лет

№15 из ЕГЭ 2015

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#519Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

2 2 2 log5(25− x)− 3log5(25− x )+ 2≥ 0

Источники: ЕГЭ 2015

Показать ответ и решение

ОДЗ:

2 25− x > 0 ⇔ x∈ (−5;5).

Сделаем замену $y = log (25− x2) 5$ , тогда

y2− 3y + 2≥ 0.

Решим это неравенство методом интервалов:

$PIC$

откуда $y ∈(− ∞;1]∪[2;+∞ )$ .
$log5(25− x2)∈ (−∞;1]∪ [2;+∞ )$ , что можно представить в виде
$log5(25− x2)≤ 1$ или $log5(25− x2)≥ 2$ .

Решим первое из этих неравенств:

log (25− x2) ≤1. 5

Это неравенство на ОДЗ равносильно:

25 − x2 ≤5 ⇔ x2 ≥ 20 ⇔ x∈ (−∞;− 2√5]∪ [2√5;+∞ ).

Решим второе из этих неравенств:

2 log5(25− x) ≥2.

Это неравенство на ОДЗ равносильно:

2 2 25− x ≥ 25 ⇔ x ≤ 0 ⇔ x = 0.

Объединенное решение двух неравенств: $- - x ∈ (− ∞;− 2√ 5]∪{0}∪ [2√ 5;+ ∞)$ .
Пересечем ответ с ОДЗ:

√ - √ - x ∈(− 5;− 2 5]∪{0}∪ [2 5;5).

Ответ:

$x ∈(−5;−2√5-]∪{0}∪ [2√5;5)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#520Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log2(64 − x2) − 5log (64 − x2) + 6 ≥ 0 4 4

Источники: ЕГЭ 2015

Показать ответ и решение

ОДЗ:

64 − x2 > 0 ⇔ x ∈ (− 8;8)

Сделаем замену $2 y = log4(64 − x )$ , тогда

2 y − 5y + 6 ≥ 0

Решим это неравенство методом интервалов:

$PIC$

откуда $y ∈ (− ∞; 2] ∪ [3;+ ∞ )$
$log (64 − x2 ) ∈ (− ∞; 2] ∪ [3;+ ∞ ) 4$ , что можно представить в виде
$2 log4(64 − x ) ≤ 2$ или $2 log4(64 − x ) ≥ 3$

Решим первое из этих неравенств:

log4(64 − x2) ≤ 2

Это неравенство на ОДЗ равносильно:

√ -- √ -- 64 − x2 ≤ 16 ⇔ x2 ≥ 48 ⇔ x ∈ (− ∞; − 4 3] ∪ [4 3;+ ∞ )

Решим второе из этих неравенств:

log4(64 − x2) ≥ 3

Это неравенство на ОДЗ равносильно:

2 2 64 − x ≥ 64 ⇔ x ≤ 0 ⇔ x = 0

Объединенное решение двух неравенств: $√ -- √ -- x ∈ (− ∞; − 4 3] ∪ {0} ∪ [4 3;+∞ )$
Пересечем полученное множество с ОДЗ:

√ -- √ -- x ∈ (− 8;− 4 3] ∪ {0} ∪ [4 3;8)

Ответ:

$√ -- √ -- x ∈ (− 8;− 4 3] ∪ {0} ∪ [4 3;8)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#896Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

2( 2) ( 2) log24 +3x − x +7log0,5 4+ 3x− x + 10 > 0.

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

2 4+ 3x− x > 0 ⇒ x ∈(−1;4)

По свойству логарифма имеем:

2( 2) ( 2) log2 4 +3x − x − 7log24 +3x − x + 10 >0

Сделаем замену

( 2) y = log2 4+ 3x− x

Тогда неравенство запишется в виде

y2− 7y+ 10 > 0

Решим это неравенство методом интервалов:

$PIC$

Отсюда получим

y ∈ (− ∞;2)∪ (5;+∞ )

Сделаем обратную замену:

⌊log (4 +3x − x2)< 2 ⌈ 2( ) log2 4 +3x − x2 > 5

Решим первое из этих неравенств:

( ) log2 4+ 3x− x2 < 2 2 4+ 3x− x < 4 x2− 3x > 0 x ∈ (− ∞;0)∪ (3;+∞ )

Решим второе из этих неравенств:

( ) log2 4+ 3x− x2 > 5 2 4+ 3x− x > 32 x2− 3x+ 28< 0 x∈ ∅

Объединеним решения двух неравенств выше:

x ∈ (− ∞;0)∪ (3;+∞ )

Пересечем объединенное решение с ОДЗ:

x ∈(−1;0)∪(3;4)

Ответ:

$(−1;0)∪(3;4)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».