Тема 21. Текстовые задачи

21.02 Задачи №21 из сборника И.В. Ященко

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела текстовые задачи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#43938

Два автомобиля одновременно отправляются в 420-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 24 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 1

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого автомобиля равна $x + 24$ км/ч. Составим таблицу:

|-------|Скорость, км/ч|В-рем-я,-ч|-Путь, км| |-------|-------------|--------|---------| |Первый | x+ 24 | --420- | 420 | |-------|-------------|-x-+-24-|---------| |Второй | x | 420- | 420 | --------------------------x---------------

По условию задачи первый автомобиль прибыл к финишу на 2 часа раньше второго. Составим уравнение:

--420- + 2= 420 x + 24 x -420-− 420 + 2= 0 x+ 24 x 420x−-420(x-+24)+-2x(x-+-24)- x(x+ 24) = 0 ( |{ 420x − 420(x+ 24)+ 2x(x +24)= 0 |( x⁄= 0 x⁄= − 24

Решим первое уравнение системы:

420x− 420(x +24)+ 2x(x + 24) =0 420x− 420x − 420 ⋅24 +2x2 +48x =0 2x2+ 48x − 420 ⋅24 = 0 2 x +24x− 5040= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

2 2 D = 24 +4 ⋅5040 =20736= 144

Тогда

⌊ −24 +144 [ |x = ----2--- x =60 ⌈ −24-− 144 ⇔ x =− 84 x = 2

Корень $x = −84$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость второго автомобиля равна 60 км/ч, а скорость первого автомобиля равна $60+ 24= 84$ км/ч.

Ответ: 84 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#92275

Моторная лодка прошла против течения реки 192 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 3

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 4 | -192- | 192 | |--------------|--------------|-x-+4---|--------| |П ротив течения | x − 4 | -192- | 192 | --------------------------------x-− 4-----------|

По условию лодка затратила на путь по течению на 4 часа меньше, чем против течения. Составим уравнение:

-192--− 192-= 4. x− 4 x+ 4

Разделим обе части уравнения на 4:

-48--− -48--=1 x − 4 x+ 4 -48-− -48--− 1= 0 x− 4 x +4 48(x +4)− 48(x− 4)− (x − 4)(x+ 4) ---------(x−-4)(x-+4)----------= 0 ( |{ 48(x+ 4)− 48(x − 4)− (x− 4)(x +4) =0 | x⁄= 4 ( x⁄= −4

Решим первое уравнение системы:

48(x +4)− 48(x− 4)− (x − 4)(x+ 4)= 0 48x+ 48⋅4− 48x+ 48⋅4− (x2− 42) = 0 2 2 48⋅4+ 48⋅4− x + 4 = 0 x2 = 48⋅8 +16 x2 = 400 [ x = 20 x = −20

Корень $x = −20$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость моторной лодки равна 20 км/ч.

Ответ:

20 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#92276

Моторная лодка прошла против течения реки 210 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 4

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 3 | -210- | 210 | |--------------|--------------|-x-+3---|--------| |П ротив течения | x − 3 | -210- | 210 | --------------------------------x-− 3-----------|

По условию лодка затратила на путь по течению на 4 часа меньше, чем против течения. Составим уравнение:

-210--− 210-= 4. x− 3 x+ 3

Разделим обе части уравнения на 2:

-105-− -105--=2 x − 3 x+ 3 105-− -105-− 2= 0 x− 3 x +3 105(x+ 3)− 105(x− 3)− 2(x − 3)(x+ 3) ----------(x−-3)(x-+3)-----------= 0 ( |{105(x+ 3)− 105(x− 3)− 2(x − 3)(x+ 3)= 0 |x ⁄= 3 (x ⁄= −3

Решим первое уравнение системы:

105(x+ 3)− 105(x− 3)− 2(x − 3)(x+ 3)= 0 105x +105⋅3 − 105x+ 105⋅3− 2(x2− 32)= 0 2 105⋅3+ 105⋅3− 2x + 18= 0 2x2 = 105⋅6 +18 x2 = 105⋅3 +9 x2 = 324 [ x = 18 x = −18

Корень $x = −18$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость моторной лодки равна 18 км/ч.

Ответ:

18 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#92277

Первая труба пропускает на 3 литра воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 260 литров она заполняет на 6 минут быстрее, чем первая труба?

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 5

Показать ответ и решение

Пусть первая труба пропускает $x$ литров воды в минуту. Тогда вторая труба пропускает $x+ 3$ литров воды в минуту. Составим таблицу:

|Т-рубы--|Скорость,-л/м-ин|-Время, мин|Объём, л| |-------|--------------|-----------|--------| |П ервая | x | 260 | 260 | |-------|--------------|-----x-----|--------| |Вторая | x+ 3 | -260- | 100 | ---------------------------x-+3--------------

Поскольку вторая труба на 6 минут быстрее заполняет резервуар объемом 260 литров, можем составить уравнение:

260− -260-= 6 x x +3 260 − 260-− 6= 0 x x+ 3 260(x-+3)−-260x−-6x(x-+-3) x(x+ 3) = 0 ( |{ 260(x+ 3)− 260x− 6x(x +3)= 0 |( x⁄= 0 x⁄= −3

Решим первое уравнение системы:

260(x +3)− 260x− 6x((x + 3))= 0 260x+ 780− 260x − 6 x2 +3x =0 780− 6(x2+ 3x) = 0

Разделим полученное уравнение на 6:

130− x2− 3x= 0 2 x + 3x− 130= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

2 2 D = 3 + 4⋅130= 9+ 520= 529= 23

Тогда

⌊ −3 +23 |x = ---2--- [x =10 ⌈ −3 − 23 ⇔ x =− 13 x = ---2---

Поскольку по смыслу задачи $x >0,$ $x= 10.$ Тогда вторая труба за минуту пропускает $10+ 3= 13$ литров воды.

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#92278

Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 200 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба?

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 6

Показать ответ и решение

Пусть первая труба пропускает $x$ литров воды в минуту. Тогда вторая труба пропускает $x+ 5$ литров воды в минуту. Составим таблицу:

|Т-рубы--|Скорость,-л/м-ин|-Время, мин|Объём, л| |-------|--------------|-----------|--------| |П ервая | x | 200 | 200 | |-------|--------------|-----x-----|--------| |Вторая | x+ 5 | -200- | 100 | ---------------------------x-+5--------------

Поскольку вторая труба на 2 минут быстрее заполняет резервуар объемом 200 литров, можем составить уравнение:

200− -200-= 2 x x +5 200 − 200-− 2= 0 x x+ 5 200(x-+5)−-200x−-2x(x-+-5) x(x+ 5) = 0 ( |{ 200(x+ 5)− 200x− 2x(x +5)= 0 |( x⁄= 0 x⁄= −5

Решим первое уравнение системы:

200(x +5)− 200x− 2x((x + 5)=) 0 200x +1000− 200x− 2 x2+ 5x = 0 1000− 2(x2+ 5x)= 0

Разделим полученное уравнение на 2:

500− x2− 5x= 0 2 x + 5x− 500= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

2 2 D =5 +4 ⋅500 =25 +2000= 2025= 45

Тогда

⌊ −5 +45 |x = ---2--- [x =20 ⌈ −5 − 45 ⇔ x =− 25 x = ---2---

Поскольку по смыслу задачи $x >0,$ $x= 20.$ Тогда первая труба за минуту пропускает $20$ литров воды.

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#92279

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 57 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 3 км/ч навстречу поезду, за 33 секунды. Найдите длину поезда в метрах.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 9

Показать ответ и решение

Пусть длина поезда равна $x$ км.

Поскольку пешеход идет навстречу поезду, скорость сближения конца поезда и пешехода равна сумме их скоростей, то есть $57+ 3= 60$ км/ч.

Тогда пешеход и конец поезда со скоростью 60 км/ч сближаются на расстояние, равное длине поезда, за 33 секунды.

Переведём 33 секунды в часы. 33 секунд — это $33 11 60 = 20$ минуты, то есть $-1120- -11- 60 = 1200$ часа.

Тогда

x= 60⋅-11-= 11-= 0,55 км 1200 20

Ответ:

550

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#92280

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 63 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям по платформе со скоростью 3 км/ч, за 39 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 10

Показать ответ и решение

Пусть длина поезда равна $x$ км.

Поскольку пешеход идет в одном направлении с поездом, скорость сближения конца поезда и пешехода равна разности их скоростей, то есть $63− 3= 60$ км/ч.

Тогда со скоростью сближения 60 км/ч пешеход и конец поезда сближаются на расстояние, равное длине поезда, за 39 секунд.

Переведём 39 секунд в часы. 39 секунд — это $39 13 60 = 20-= 0,65$ минуты, то есть $0,65= -65- = -13- 60 6000 1200$ часа.

Тогда

x = 60 ⋅-13-= 13⋅6 = 13= 0,65 км 1200 120 20

Значит, длина поезда равна 0,65 км, то есть 650 м.

Ответ:

650

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#37883

Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 12 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа после этого догнал первого.

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 11

Показать ответ и решение

Пусть скорость третьего велосипедиста равна $x км/ч,$ а время, за которое он догнал второго велосипедиста равно $t ч.$ Из условия знаем, что к моменты, когда третий догнал второго, второй ехал на час дольше и оба велосипедиста проехали одинаковое расстояние, то есть:

10-⋅(t+-1)- x ⋅t= 10⋅(t+ 1) ⇔ x = t

Через 2 часа после этого третий догнал первого, это значит, что оба велосипедиста проехали одинаковое расстояние, при этом третий находился в движении $(t+2) часа,$ а первый — $(t+ 2+ 2) часа.$ Получаем второе уравнение:

x⋅(t+ 2)= 12 ⋅(t+ 2+ 2) ⇔ ⇔ 10⋅(t+-1)⋅(t+2)-= 12 ⋅(t+ 4) ( t ) 10 ⋅t2+ 3t+ 2 = 12⋅(t+ 4)⋅t 10t2+ 30t+ 20= 12t2+ 48t 2 2t2+ 18t− 20= 0 t + 9t− 10 =0 D = 92+ 4⋅10 =121= 112

Тогда $−9+11 −9−11 t= -2---=1 или t= --2--= −10,$ время не может быть отрицательным, значит, $t= 1 час.$

Найдем $x:$

x = 10⋅(t+-1)= 10-⋅(1-+1)-=20 км/ч. t 1

Ответ: 20

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#42341

Свежие фрукты содержат 79% воды, а высушенные — 16%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 13

Показать ответ и решение

Составим таблицу:

|Тип-фруктов-|Вода, %|Сухое вещ-ество, % |--С-веж-ие---|--79---|-------21-------| |Вы-суш-енные-|--16---|-------84-------| ---------------------------------------

В процессе высушивания масса сухого вещества фруктов не изменяется.

После высушивания фруктов масса сухого вещества стала составлять 84% от массы сухих фруктов, то есть

72⋅-84 = 72⋅84. 100 100

Изначально масса сухого вещества составляла 21% от всей массы $x$ свежих фруктов. Тогда она была равна

21 72⋅84 x⋅100 = -100-- x= 72⋅84 ⋅ 100 100 21 x= 72-⋅21-⋅4 21 x= 72⋅4 x = 288

Таким образом, масса свежих фруктов должна быть равна 288 кг.

Ответ: 288 кг

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#55421

Свежие фрукты содержат 72% воды, а высушенные — 26 %. Сколько сухих фруктов получится из 222 кг свежих фруктов?

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 14

Показать ответ и решение

Составим таблицу:

|Тип-фруктов-|Вода, %|Сухое вещ-ество, % |--С-веж-ие---|--72---|-------28-------| |Вы-суш-енные-|--26---|-------74-------| ---------------------------------------

В процессе высушивания масса сухого вещества фруктов не изменяется.

Изначально масса сухого вещества составляла 28% от всей массы свежих фруктов, то есть

222⋅-28 = 222⋅28. 100 100

После высушивания фруктов масса сухого вещества стала составлять 74% от всей массы $x$ сухих фруктов. Тогда она была равна

74 222⋅28 x ⋅100 =--100-- x = 222⋅28⋅ 100 100 74 x= 3-⋅74-⋅28 74 x= 3⋅28 x= 84

Таким образом, масса сухих фруктов равна 84 кг.

Ответ: 84 кг

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#42460

Баржа прошла по течению реки 64 км и, повернув обратно, прошла ещё 48 км, затратив на весь путь 8 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 15

Показать ответ и решение

Пусть собственная скорость баржи равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 5 | -64-- | 64 | |--------------|--------------|-x-+5---|--------| |П ротив течения | x − 5 | -48-- | 48 | --------------------------------x-− 5-----------|

По условию баржа затратила на весь путь 8 часов. Составим уравнение:

-64--+ -48-= 8. x+ 5 x− 5

Поделим обе части уравнения на 8:

--8--+ -6---=1 x +5 x− 5 -8--+ --6--− 1= 0 x+ 5 x − 5 8(x − 5)+ 6(x+ 5)− (x − 5)(x+ 5) --------(x+-5)(x-− 5)--------= 0 ( |{8(x− 5)+ 6(x+ 5)− (x− 5)(x + 5) = 0 |x ⁄= −5 (x ⁄= 5

Решим первое уравнение системы:

8(x − 5)+ 6(x+ 5)− (x − 5)(x+ 5)= 0 8x− 40+ 6x+ 30− (x2− 25) = 0 2 14x− 10− x + 25= 0 x2− 14x− 15= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

D = 142+ 4⋅1⋅15 =196+ 60= 256= 162

Тогда

⌊ |x = 14+-16- [x = 15 ⌈ 142− 16 ⇔ x = −1 x = --2---

Корень $x = −1$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость баржи равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#92281

Баржа прошла по течению реки 48 км и, повернув обратно, прошла ещё 42 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 16

Показать ответ и решение

Пусть собственная скорость баржи равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 5 | -48-- | 48 | |--------------|--------------|-x-+5---|--------| |П ротив течения | x − 5 | -42-- | 42 | --------------------------------x-− 5-----------|

По условию баржа затратила на весь путь 5 часов. Составим уравнение:

-48--+ -42--=5 x +5 x− 5 -48-+ -42--− 5= 0 x+ 5 x − 5 48(x−-5)+-42(x-+5)−-5(x−-5)(x+-5) (x+ 5)(x − 5) = 0 ( |{48(x− 5)+42(x+ 5)− 5(x − 5)(x+ 5)= 0 |x ⁄= −5 (x ⁄= 5

Решим первое уравнение системы:

48(x− 5)+ 42(x +5)− 5(x−( 5)(x+ 5))= 0 48x − 240 +42x+ 210− 5 x2− 25 = 0 90x − 30− 5x2+ 125= 0 2 5x − 90x − 95 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

2 2 D = 90 +4 ⋅5⋅95= 8100 +1900= 10000= 100

Тогда

⌊ 90+ 100 [ | x= --2⋅5-- x= 19 ⌈ 90−-100 ⇔ x= − 1 x= 2⋅5

Корень $x = −1$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость баржи равна 19 км/ч.

Ответ:

19 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#42503

В сосуд, содержащий 7 литров 26-процентного водного раствора вещества, добавили 6 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 17

Показать ответ и решение

Пусть концентрация получившегося раствора равна $x%.$ Составим таблицу:

|---------|----------------|---------------|----------------| |Растворы-|Объём-раствора, л|Концентрация,-%-|Объём-вещества, л| | | | | 26 | | Раствор | 7 | 26 | 100 ⋅7 | |---------|----------------|---------------|----------------| | Вода | 6 | 0 | 0 | |---------|----------------|---------------|----------------| | Смесь | 7 +6 = 13 | x | -x-⋅13 | -------------------------------------------------100---------

Так как масса чистого вещества не меняется, то

26-⋅7+ 0= -x- ⋅13. 100 100

Домножим обе части получившегося уравнения на 100:

26 ⋅7+ 0= x⋅13 2⋅13⋅7 =x ⋅13 x= 2 ⋅7 x= 14

Следовательно, концентрация получившегося раствора составляет 14%.

Ответ: 14

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#55422

Смешали 7 литров 25-процентного раствора вещества с 8 литрами 10-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 18

Показать ответ и решение

Составим таблицу:


Растворы	Объём раствора, л	Концентрация, %	Объём вещества, л

Первый	7	25	$25- 100 ⋅7$

Второй	8	10	$10-⋅8 100$

Концентрация раствора вычисляется по формуле

Vвещ-ва C = Vр-ра ⋅100%,

где $C$ — концентрация раствора, $Vвещ -ва$ — объём вещества, $Vр-ра$ — объём раствора.

Объём получившегося раствора равен сумме объёмов первого и второго растворов. Найдём концентрацию получившегося раствора:

25⋅7 + 10⋅8 1 ⋅7+ 1-⋅8 7+ 4 C =-100-7-+8100-- ⋅100% = 4---1510--⋅100% = 4155-⋅100% = = 35+2106-⋅100% = 51⋅100% = 17% 15 20⋅15

Ответ: 17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#42121

Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 34 км/ч, а вторую — со скоростью 51 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 19

Показать ответ и решение

Пусть весь путь равен $2S$ км. Составим таблицу:

|Половина пути|Скорость, км/ч|В-ремя,-ч|П-уть, км| |-------------|-------------|--------|---------| | Первая | 34 | S- | S | |-------------|-------------|---34---|---------| | Вторая | 51 | S- | S | --------------------------------51--------------

Средняя скорость — отношение длины пройденного пути к промежутку времени, за который был пройден этот путь. Весь путь равен $2S$ км, а время, за которое он пройден, равно:

t= -S + S-. 34 51

Значит, средняя скорость равна

2S- --2S--- ---2--- vср = t = -S S-= 1- 1- = 34 + 51 34 + 51 2 2⋅34⋅51 = 51-+34-= -34+-51 = 34⋅51 2⋅2⋅17⋅17⋅3 12⋅17 = ----17-⋅5----= --5-- =40,8

Ответ: 40,8 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#92282

Первые 105 км автомобиль ехал со скоростью 35 км/ч, следующие 120 км — со скоростью 60 км/ч, а последние 500 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 20

Показать ответ и решение

Средняя скорость — отношение длины пройденного пути к промежутку времени, за который был пройден этот путь. Составим таблицу:

|Часть пути|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |----------|--------------|--------|--------| | Первая | 35 | 105 | 105 | |----------|--------------|--35----|--------| | Вторая | 60 | 120 | 120 | |----------|--------------|--60----|--------| | | | 500 | | ---Третья--------100---------100-------S-----

На первые 105 км автомобиль потратил $10355= 3$ часов, на следующие 120 км потратил $120 60 = 2$ часа, а на последние 500 км потратил $500 100 = 5$ часа.

Всего автомобиль потратил на дорогу

3+ 2+ 5= 10 часов,

при этом длина всего его пути равна

105+ 120 + 500 = 725 км.

Тогда средняя скорость равна:

vср = 725= 72,5 км/ч. 10

Ответ:

72,5 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#92283

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 216 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 23 часа после отплытия из него.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 21

Показать ответ и решение

Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 5 | -216- | 216 | |--------------|--------------|-x-+5---|--------| |П ротив течения | x − 5 | -216- | 216 | --------------------------------x-− 5-----------|

По условию с учетом стоянки длительностью в 5 часов время, за которое теплоход возвращается в пункт отправления после отплытия из него, равняется 23 часам. Составим уравнение:

-216-+ -216--+5 = 23 x +5 x− 5 -216-+ -216--− 18 =0 x +5 x− 5 216(x-−-5)-+216(x+-5)− 18(x−-5)(x-+5) (x− 5)(x +5) = 0 ( |{ 216(x − 5)+ 216(x + 5)− 18(x− 5)(x+ 5)= 0 |( x⁄= 5 x⁄= − 5

Решим первое уравнение системы:

216(x − 5) +216(x+ 5)− 18(x− 5)((x +5))=0 216x− 216⋅5+ 216x+ 216 ⋅5− 18 x2 − 25 = 0 216⋅2x − 18x2+ 18⋅25= 0

Разделим обе части уравнения на 18:

12⋅2x− x2+ 25= 0 2 x − 24x− 25= 0 (x−[25)(x +1) x= 25 x= −1

Корень $x = −1$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость теплохода в неподвижной воде равна 25 км/ч.

Ответ:

25 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#25042

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 80 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 23 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 35 часов после отплытия из него.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 22

Показать ответ и решение

Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 5 | -80-- | 80 | |--------------|--------------|-x-+5---|--------| |П ротив течения | x − 5 | -80-- | 80 | --------------------------------x-− 5-----------|

По условию с учетом стоянки длительностью в 23 часа время, за которое теплоход возвращается в пункт отправления после отплытия из него, равняется 35 часам. Составим уравнение:

-80-+ --80--+ 23= 35 x+ 5 x − 5 -80--+ -80--− 12= 0 80+ 5 x − 5 80(x-−-5)-+80(x+-5)−-12(x−-5)(x-+-5)- (x− 5)(x +5) = 0 ( |{ 80(x − 5)+ 80(x+ 5)− 12(x− 5)(x +5)= 0 |( x⁄= 5 x⁄= −5

Решим первое уравнение системы:

80(x − 5) +80(x+ 5)− 12(x− 5()(x + 5)) = 0 80x− 80⋅5+ 80x+ 80⋅5− 12 x2− 25 = 0 80⋅2x− 12x2+ 12 ⋅25 = 0

Разделим обе части уравнения на 4:

20⋅2x− 3x2+ 75= 0 2 3x − 40x − 75 = 0 (x−⌊ 15)(3x+ 5) x = 15 ⌈x = − 5 3

Корень $5 x = −3$ не подходит по смыслу задачи, так как $x> 0.$ Поэтому скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#42809

Из A в B одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 30 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, большей скорости первого на 9 км/ч, в результате чего прибыл в B одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста.

Показать ответ и решение

Пусть весь путь равен $2S$ км, а скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда второй первую половину пути, то есть $S$ км ехал со скоростью 30 км/ч, а вторую половину пути со скоростью $x+ 9$ км/ч.

|----------------------|--------------|--------|--------| |----------------------|С-корость, км/ч|Время, ч|Путь, км| | | | 2S- | | |--------Первый--------|------x-------|---x----|---2S---| | | | S | | |Второй (первая половина) 30 | 30- | S | |----------------------|--------------|--------|--------| |Второй (вторая половина) x+ 9 | --S-- | S | ----------------------------------------x-+-9------------

По условию автомобили прибыли в B одновременно, то есть они ехали одинаковое количество времени. Составим уравнение:

2S-= -S + -S--- x 30 x+ 9

Разделим обе части равенства на $S ⁄= 0$ и умножим на 30:

2-⋅30 = 1+ -30-- x x+ 9 1+ -30--− 60-= 0 x+ 9 x x(x+ 9)+ 30x− 60(x +9) -------x(x+-9)------- =0 ( |{ x(x+ 9)+ 30x − 60(x+ 9)= 0 | x ⁄=0 ( x ⁄=− 9

Решим первое уравнение системы:

x(x+ 9)+ 30x− 60(x +9)= 0 x2+ 9x+ 30x − 60x − 60 ⋅9= 0 2 x − 21x− 540 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

2 2 D = 21 + 4⋅540= 2601 = 51

Тогда

⌊ | x= 21+-51 [x= 36 ⌈ 21−251 ⇔ x= − 15 x= ---2--

Корень $x = −15$ не подходит по смыслу, так как $x> 0.$ Поэтому скорость первого автомобиля равна 36 км/ч.

Ответ: 36 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#25045

Из $A$ в $B$ одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 55 км/ч, а вторую половину пути со скоростью, большей скорости первого на 6 км/ч, в результате чего прибыл в $B$ одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 24

Показать ответ и решение

Пусть весь путь равен $2S$ км, а скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда второй первую половину пути, то есть $S$ км ехал со скоростью 55 км/ч, а вторую половину пути со скоростью $x+ 6$ км/ч.

|----------------------|--------------|--------|--------| |----------------------|С-корость, км/ч|Время, ч|Путь, км| | | | 2S- | | |--------Первый--------|------x-------|---x----|---2S---| | | | S | | |Второй (первая половина) 55 | 55- | S | |----------------------|--------------|--------|--------| |Второй (вторая половина) x+ 6 | --S-- | S | ----------------------------------------x-+-6------------

2S-= -S + -S--- x 55 x+ 6

Разделим обе части равенства на $S ⁄= 0$ и умножим на 55:

2-⋅55 = 1+ -55-- x x+ 6 1+ --55--− 110= 0 x + 6 x x(x + 6)+55x − 110(x+ 6) -------x(x+-6)--------= 0 ( |{ x(x +6)+ 55x− 110(x + 6) =0 | x⁄= 0 ( x⁄= −6

Решим первое уравнение системы:

x(x + 6)+55x − 110(x+ 6)= 0 x2+ 6x+ 55x− 110x − 110 ⋅6 = 0 2 x − 49x− 660 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

2 2 D = 49 + 4⋅660= 5041 = 71

Тогда

⌊ | x= 49+-71 [x= 60 ⌈ 49−271 ⇔ x= − 11 x= ---2--

Корень $x = −11$ не подходит по смыслу, так как $x> 0.$ Поэтому скорость первого автомобиля равна 60 км/ч.

Ответ: 60

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущий раздел

Следующий раздел