Тема 21. Текстовые задачи

21.01 Задачи №21 из банка ФИПИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела текстовые задачи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#55425

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 180 км. На следующий день он отправился обратно в A, увеличив скорость на 5 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость велосипедиста на пути из A в B равна $x$ км/ч. Тогда скорость на пути из B в A равна $x + 5$ км/ч. Составим таблицу:

|--------|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------|--------------|--------|--------| | Туда | x | 180 | 180 | |--------|--------------|---x----|--------| |О братно | x +5 | -180- | 180 | --------------------------x-+5------------|

По условию время, затраченное на обратный путь, вместе с трёхчасовой остановкой такое же, как и время, затраченное на путь из A в B. Составим уравнение:

-180--+3 = 180 x+ 5 x -180-− 180+ 3= 0 x + 5 x 180x−-180(x+-5)+-3x(x-+-5) x(x+ 5) = 0 ( |{ 180x − 180(x+ 5)+ 3x(x +5)= 0 |( x⁄= 0 x⁄= −5

Решим первое уравнение системы:

180x− 180(x+ 5)+ 3x(x + 5)= 0 180x − 180x− 180⋅5+ 3x2+ 15x= 0 3x2+ 15x− 180⋅5= 0 2 x + 5x− 300= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

2 2 D =5 + 4⋅300 =1225= 35

Тогда

⌊ −5 +35 [ |x = ---2--- x =15 ⌈ −5-− 35 ⇔ x =− 20 x = 2

Корень $x = −20$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость велосипедиста на пути из A в B равна 15 км/ч, следовательно, его скорость на пути из B в A равна $15 +5 = 20$ км/ч.

Ответ: 20 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#57253

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 224 км. На следующий день он отправился обратно в A, увеличив скорость на 2 км/ч. По пути он сделал остановку на 2 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость велосипедиста на пути из A в B равна $x$ км/ч. Тогда скорость на пути из B в A равна $x + 9$ км/ч. Составим таблицу:

|--------|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------|--------------|--------|--------| | Туда | x | 224 | 224 | |--------|--------------|---x----|--------| |О братно | x +2 | -224- | 224 | --------------------------x-+2------------|

-224--+2 = 224 x+ 2 x -224-− 224+ 2= 0 x + 2 x 224x−-224(x+-2)+-2x(x-+-2) x(x+ 2) = 0 ( |{ 60x − 60(x+ 10)+ 3x(x + 10)= 0 |( x⁄= 0 x⁄= −2

Решим первое уравнение системы:

224x− 224(x+ 2)+ 2x(x + 2)= 0 224x− 224x − 224 ⋅2 +2x2 +4x = 0 2x2+ 4x − 224 ⋅2= 0 2 x + 2x− 224= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

2 2 D = 2 + 4⋅224= 900= 30

Тогда

⌊ −2 +30 [ |x = ---2--- x =14 ⌈ −2-− 30 ⇔ x =− 16 x = 2

Корень $x = −16$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость велосипедиста на пути из A в B равна 14 км/ч.

Ответ: 14 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#92508

Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+ 10$ км/ч. Составим таблицу:

|-------|Скорость, км/ч|В-рем-я,-ч|-Путь, км| |-------|-------------|--------|---------| |Первый | x+ 10 | --60- | 60 | |-------|-------------|-x-+-10-|---------| |Второй | x | 60 | 60 | --------------------------x---------------

По условию задачи первый велосипедист прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Тогда можем составить уравнение:

-60--+ 3 = 60 x+ 10 x --60- − 60+ 3= 0 x + 10 x 60x−-60(x-+10)+-3x(x+-10) x(x+ 10) = 0 ( |{ 60x − 60(x+ 10)+ 3x(x + 10)= 0 |( x⁄= 0 x⁄= −10

Решим первое уравнение системы:

60x− 60(x +10)+ 3x(x+ 10)= 0 60x − 60x − 600+ 3x2+ 30x= 0 3x2+ 30x− 600= 0 2 x + 10x− 200 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

2 2 D =10 + 4⋅200= 900= 30

Тогда

⌊ − 10+ 30 [ |x= ----2--- x= 10 ⌈ −-10−-30 ⇔ x= −20 x= 2

Корень $x = −20$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна 10 км/ч.

Ответ: 10 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#92509

Два велосипедиста одновременно отправляются в 209-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 8 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 8 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+ 8$ км/ч. Составим таблицу:

|-------|Скорость, км/ч|В-рем-я,-ч|-Путь, км| |-------|-------------|--------|---------| |Первый | x+ 8 | -209-- | 209 | |-------|-------------|--x+-8--|---------| |Второй | x | 209- | 209 | --------------------------x---------------

По условию задачи первый велосипедист прибыл к финишу на 8 часа раньше второго. Тогда можем составить уравнение:

-209--+8 = 209 x+ 8 x -209-− 209+ 8= 0 x + 8 x 209x−-209(x+-8)+-8x(x-+-8) x(x+ 8) = 0 ( |{ 209x − 209(x+ 8)+ 8x(x +8)= 0 |( x⁄= 0 x⁄= −8

Решим первое уравнение системы:

209x− 209(x+ 8)+ 8x(x + 8)= 0 209x− 209x− 1672 +8x2+ 64x= 0 8x2+ 64x− 1672 = 0 2 x + 8x− 209= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

2 2 D = 8 + 4⋅209= 900= 30

Тогда

⌊ −8 +30 [ |x = ---2--- x =11 ⌈ −8-− 30 ⇔ x =− 19 x = 2

Корень $x = −19$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна 11 км/ч.

Ответ: 11 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#92510

Два автомобиля одновременно отправляются в 540-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 30 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого автомобиля равна $x + 30$ км/ч. Составим таблицу:

|-------|Скорость, км/ч|В-рем-я,-ч|-Путь, км| |-------|-------------|--------|---------| |Первый | x+ 30 | --540- | 540 | |-------|-------------|-x-+-30-|---------| |Второй | x | 540- | 540 | --------------------------x---------------

По условию задачи первый автомобиль прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Составим уравнение:

--540- + 3= 540 x + 30 x -540-− 540 + 3= 0 x+ 30 x 540x−-540(x-+30)+-3x(x-+-30)- x(x+ 30) = 0 ( |{ 540x − 540(x+ 30)+ 3x(x +30)= 0 |( x⁄= 0 x⁄= − 30

Решим первое уравнение системы:

540x− 540(x +30)+ 3x(x + 30) =0 540x− 540x − 540 ⋅30 +3x2 +90x =0 3x2+ 90x − 540 ⋅30 = 0 2 x +30x− 5400= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

2 2 D = 30 +4 ⋅5400 =22500= 150

Тогда

⌊ −30 +150 [ |x = ----2--- x =60 ⌈ −30-− 150 ⇔ x =− 90 x = 2

Корень $x = −90$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость второго автомобиля равна 60 км/ч, а скорость первого автомобиля равна $60+ 30= 90$ км/ч.

Ответ: 90 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#92511

Два автомобиля одновременно отправляются в 600-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого автомобиля равна $x + 20$ км/ч. Составим таблицу:

|-------|Скорость, км/ч|В-рем-я,-ч|-Путь, км| |-------|-------------|--------|---------| |Первый | x+ 20 | --600- | 600 | |-------|-------------|-x-+-20-|---------| |Второй | x | 600- | 600 | --------------------------x---------------

По условию задачи первый автомобиль прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Составим уравнение:

--600- + 1= 600 x + 20 x -600-− 600 + 1= 0 x+ 20 x 600x-− 600(x+-20)+x(x+-20) x(x+ 20) = 0 ( |{600x− 600(x + 20)+ x(x+ 20)= 0 |(x ⁄= 0 x ⁄= −20

Решим первое уравнение системы:

600x − 600(x+ 20)+x(x+ 20)= 0 600x − 600x− 600⋅20+ x2+ 20x= 0 x2+ 20x− 600⋅20= 0 2 x + 20x− 12000 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

2 2 D = 20 + 4⋅12000= 48400 = 220

Тогда

⌊ −20+ 220 [ |x = ---2---- x= 100 ⌈ −20−-220 ⇔ x= −120 x = 2

Корень $x = −120$ не подходит по смыслу задачи, так как $x >0.$ Поэтому скорость второго автомобиля равна 100 км/ч, а скорость первого автомобиля равна $100+ 20= 120$ км/ч.

Ответ: 120 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#55429

Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 26 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 217 км, скорость первого велосипедиста равна 21 км/ч, скорость второго — 30 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть первый велосипедист до места встречи ехал $t$ часов. Тогда второй велосипедист ехал до места встречи $t+ 26 60$ часа. Составим таблицу:

|--------|-------------|--------|-----------| |--------|Скорость, км/ч|Время, ч|--Путь, км-| |П ервы й | 21 | t | 21t | |--------|-------------|--------|-----------| | | | 26 | ( 26) | --Второй--------30--------t+-60---30--t+-60--|

Так как два велосипедиста встретились, то суммарно они проехали путь, равный расстоянию между городами, то есть 217 км. Составим уравнение:

( ) 26 21t+ 30 t+ 60 = 217 26 21t+ 30t+ 30 ⋅60 = 217 21t+ 30t+13 =217 51t= 204 t= 4

Следовательно, второй велосипедист ехал до места встречи $26 266 4+ 60 = 60-$ часа. Значит, за это время он проехал расстояние, равное $266⋅30 =133 60$ км.

Ответ: 133 км

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#92513

Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 36 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 82 км, скорость первого велосипедиста равна 28 км/ч, скорость второго — 10 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть первый велосипедист до места встречи ехал $t$ часов. Тогда второй велосипедист ехал до места встречи $t+ 36 60$ часа. Составим таблицу:

|--------|-------------|--------|-----------| |--------|Скорость, км/ч|Время, ч|--Путь, км-| |П ервы й | 28 | t | 28t | |--------|-------------|--------|-----------| | | | 36 | ( 36) | --Второй--------10--------t+-60---10--t+-60--|

Так как два велосипедиста встретились, то суммарно они проехали путь, равный расстоянию между городами, то есть 82 км. Составим уравнение:

( ) 36 28t+ 10 t+ 60 = 82 36 28t+10t+ 10⋅60 = 82 28t+ 10t+ 6 =82 38t= 76 t= 2

Следовательно, второй велосипедист ехал до места встречи $36 13 2+ 60 = 5-$ часа. Значит, за это время он проехал расстояние, равное $10⋅ 13 = 26 5$ км.

Ответ: 26 км

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#55430

Из A в B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью меньше скорости первого автомобиля на 11 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 66 км/ч, в результате чего прибыл в B одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 40 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть весь путь равен $2S$ км, а скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда второй вторую половину пути, то есть $S$ км ехал со скоростью 66 км/ч, а первую половину пути — со скоростью $x− 11$ км/ч.

|----------------------|--------------|--------|--------| |----------------------|С-корость, км/ч|Время, ч|Путь, км| | | | 2S- | | |--------Первый--------|------x-------|---x----|---2S---| | | | S | | |Второй (первая половина) x − 11 | x−-11 | S | |----------------------|--------------|--------|--------| |Второй (вторая половина) 66 | S- | S | ------------------------------------------66--------------

По условию автомобили прибыли в B одновременно, то есть они ехали одинаковое количество времени. Составим уравнение:

2S-= S-+ --S-- x 66 x − 11

Разделим обе части равенства на $S ⁄= 0$ и умножим на 66:

2⋅66= 1 + -66-- x x− 11 1+ --66-- − 132-= 0 x− 11 x x(x− 11)+66x − 132(x− 11) --------x(x−-11)--------= 0 ( |{ x(x − 11)+ 66x− 132(x − 11)= 0 | x⁄= 0 ( x⁄= 11

Решим первое уравнение системы:

x(x− 11)+66x − 132(x− 11)= 0 x2− 11x+ 66x− 132x +132 ⋅11 = 0 2 x − 77x+ 1452= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

2 2 D = 77 − 4⋅1452 = 121 = 11

Тогда

⌊ |x = 77+-11 [x= 44 ⌈ 772− 11 ⇔ x= 33 x = --2---

Корень $x = 33$ не подходит по смыслу, так как $x> 40.$ Поэтому скорость первого автомобиля равна 44 км/ч.

Ответ: 44 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#92514

Из A в B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 78 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью больше скорости первого на 7 км/ч, в результате чего прибыл в B одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть весь путь равен $2S$ км, а скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда второй первую половину пути, то есть $S$ км ехал со скоростью 78 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью $x+ 7$ км/ч.

|----------------------|--------------|--------|--------| |----------------------|С-корость, км/ч|Время, ч|Путь, км| | | | 2S- | | |--------Первый--------|------x-------|---x----|---2S---| | | | S | | |Второй (первая половина) 78 | 78- | S | |----------------------|--------------|--------|--------| |Второй (вторая половина) x+ 7 | --S-- | S | ----------------------------------------x-+-7------------

2S-= -S + -S--- x 78 x+ 7

Разделим обе части равенства на $S ⁄= 0$ и умножим на 78:

2-⋅78 = 1+ -78-- x x+ 7 1+ --78--− 156= 0 x + 7 x x(x + 7)+78x − 156(x+ 7) -------x(x+-7)--------= 0 ( |{ x(x +7)+ 78x− 156(x + 7) =0 | x⁄= 0 ( x⁄= −7

Решим первое уравнение системы:

x(x + 7)+78x − 156(x+ 7)= 0 x2+ 7x+ 78x− 156x − 156 ⋅7 = 0 2 x − 71x− 1092= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

2 2 D = 71 + 4⋅1092= 9409= 97

Тогда

⌊ | x= 71+-97 [x= 84 ⌈ 71−297 ⇔ x= − 13 x= ---2--

Корень $x = −13$ не подходит по смыслу, так как $x> 0.$ Поэтому скорость первого автомобиля равна 84 км/ч.

Ответ: 84 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#37887

Первые 350 км автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие 105 км — со скоростью 35 км/ч, а последние 160 км — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Средняя скорость — отношение длины пройденного пути к промежутку времени, за который был пройден этот путь. Составим таблицу:

|Часть пути|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |----------|--------------|--------|--------| | Первая | 70 | 350 | 350 | |----------|--------------|--70----|--------| | Вторая | 35 | 105 | 105 | |----------|--------------|--35----|--------| | | | 160 | | ---Третья---------80---------80--------S-----

На первые 350 км автомобиль потратил $35700= 5$ часов, на следующие 105 км потратил $105 35 = 3$ часа, а на последние 160 км потратил $160 80 = 2$ часа.

Всего автомобиль потратил на дорогу

5+ 3+ 2= 10 часов,

при этом длина всего его пути равна

350+ 105 + 160 = 615 км.

Тогда средняя скорость равна:

vср = 615= 61,5 км/ч. 10

Ответ: 61,5 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#55439

Первые 160 км автомобиль ехал со скоростью 80 км/ч, следующие 100 км — со скоростью 50 км/ч, а последние 360 км — со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

|Часть пути|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |----------|--------------|--------|--------| | Первая | 80 | 160 | 160 | |----------|--------------|--80----|--------| | Вторая | 50 | 100 | 100 | |----------|--------------|--50----|--------| | | | 360 | | ---Третья---------90---------90--------S-----

На первые 160 км автомобиль потратил $16800= 2$ часов, на следующие 100 км потратил $100 50 = 2$ часа, а на последние 360 км потратил $360 90 = 4$ часа.

Всего автомобиль потратил на дорогу

2 +2 +4 = 8 часов,

при этом длина всего его пути равна

160+ 100 + 360 = 620 км.

Тогда средняя скорость равна:

vср = 620= 77,5 км/ч. 8

Ответ: 77,5 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#37291

Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 36 км/ч, а вторую — со скоростью 99 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть весь путь равен $2S$ км. Составим таблицу:

|Половина пути|Скорость, км/ч|В-ремя,-ч|П-уть, км| |-------------|-------------|--------|---------| | Первая | 36 | S- | S | |-------------|-------------|---36---|---------| | Вторая | 9 | S- | S | --------------------------------99--------------

Средняя скорость — отношение длины пройденного пути к промежутку времени, за который был пройден этот путь. Весь путь равен $2S$ км, а время, за которое он пройден, равно:

t= -S + S-. 36 99

Значит, средняя скорость равна

2S- --2S--- ---2--- vср = t = -S S-= 1- 1- = 36 + 99 36 + 99 2 2⋅36⋅99 = 99-+36-= -99+-36 = 36⋅99 2⋅4⋅9⋅3⋅33 2⋅4⋅33 = ---27⋅5----= ---5---= 52,8

Ответ: 52,8 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#55436

Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 55 км/ч, а вторую — со скоростью 70 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть весь путь равен $2S$ км. Составим таблицу:

|Половина пути|Скорость, км/ч|В-ремя,-ч|П-уть, км| |-------------|-------------|--------|---------| | Первая | 55 | S- | S | |-------------|-------------|---55---|---------| | Вторая | 70 | S- | S | --------------------------------70--------------

t= -S + S-. 55 70

Значит, средняя скорость равна

2S- --2S--- ---2--- vср = t = -S S-= 1- 1- = 55 + 70 55 + 70 2 2⋅55⋅70 = 70-+55-= -55+-70 = 55⋅70 2⋅11⋅5⋅14⋅5 2⋅11⋅14 = ----25-⋅5----= ---5--- =61,6

Ответ: 61,6 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#55427

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 285 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 34 км/ч, стоянка длится 19 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 36 часов после отплытия из него.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость течения реки равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | 34+ x | -285- | 285 | |--------------|--------------|-34+-x--|--------| |П ротив течения | 34− x | -285- | 285 | --------------------------------34−-x-----------|

По условию с учетом стоянки длительностью в 19 часов время, за которое теплоход возвращается в пункт отправления после отплытия из него, равняется 36 часам. Составим уравнение:

-285-+ --285- + 19= 36 34+ x 34 − x --285- + -285-− 17= 0 34 +x 34− x 285(34−-x)+285(34+-x)− 17(34+-x)(34−-x) (34+ x)(34− x) =0 ( |{285(34 − x)+ 285(34 +x)− 17(34+ x)(34− x)= 0 |(x ⁄=− 34 x ⁄=34

Решим первое уравнение системы:

285(34− x)+285(34+ x)− 17(34+ x()(34− x))= 0 285⋅34− 285x +285 ⋅34 +285x− 17 342− x2 = 0 285⋅34⋅2− 17⋅342+ 17x2 = 0

Разделим обе части уравнения на 17:

285⋅2⋅2− 342+ x2 = 0 2 x = 1156 − 1140 x2 = 16 [x= 4 x= −4

Корень $x = −4$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость течения реки равна 4 км/ч.

Ответ: 4 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#92515

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 132 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 21 час, а в пункт отправления теплоход возвращается через 32 часа после отплытия из него.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 5 | -132- | 132 | |--------------|--------------|-x-+5---|--------| |П ротив течения | x − 5 | -132- | 132 | --------------------------------x-− 5-----------|

По условию с учетом стоянки длительностью в 21 час время, за которое теплоход возвращается в пункт отправления после отплытия из него, равняется 32 часам. Составим уравнение:

-132-+ -132-+ 21= 32 x+ 5 x − 5 --132- + 132-− 11= 0 132+ 5 x− 5 132(x-−-5)-+132(x+-5)− 11(x−-5)(x-+5) (x− 5)(x +5) = 0 ( |{ 132(x − 5)+ 132(x + 5)− 11(x− 5)(x+ 5)= 0 |( x⁄= 5 x⁄= − 5

Решим первое уравнение системы:

132(x − 5) +132(x+ 5)− 11(x− 5)((x +5))=0 132x− 132⋅5+ 132x+ 132 ⋅5− 11 x2 − 25 = 0 132⋅2x − 11x2+ 11⋅25= 0

Разделим обе части уравнения на 11:

12⋅2x− x2+ 25= 0 2 x − 24x− 25= 0 (x−[25)(x +1) x= 25 x= −1

Корень $x = −1$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость теплохода в неподвижной воде равна 25 км/ч.

Ответ: 25 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#37873

Моторная лодка прошла против течения реки 132 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 5 | -132- | 132 | |--------------|--------------|-x-+5---|--------| |П ротив течения | x − 5 | -132- | 132 | --------------------------------x-− 5-----------|

По условию лодка затратила на путь по течению на 5 часа меньше, чем против течения. Составим уравнение:

-132--− 132-= 5. x− 5 x+ 5

132-− -132-− 5= 0 x− 5 x +5 132(x+-5)−-132(x−-5)−-5(x-−-5)(x+-5)- (x− 5)(x +5) = 0 ( |{132(x+ 5)− 132(x− 5)− 5(x − 5)(x+ 5)= 0 |(x ⁄= 5 x ⁄= −5

Решим первое уравнение системы:

132(x+ 5)− 132(x− 5)− 5(x − 5)(x+ 5)= 0 132x +132⋅5 − 132x+ 132⋅5− 5(x2− 52)= 0 132⋅5+ 132⋅5− 5x2+ 125 = 0 2 5x =132⋅10 +125 x2 = 132⋅2+ 25 x2 = 289 [ x = 17 x = −17

Корень $x = −17$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость моторной лодки равна 17 км/ч.

Ответ: 17 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#55426

Моторная лодка прошла против течения реки 72 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 3 | -72-- | 72 | |--------------|--------------|-x-+3---|--------| |П ротив течения | x − 3 | -72-- | 72 | --------------------------------x-− 3-----------|

По условию лодка затратила на путь по течению на 2 часа меньше, чем против течения. Составим уравнение:

-72--− -72-= 2. x− 3 x+ 3

Разделим обе части уравнения на 2:

-36--− -36--=1 x − 3 x+ 3 -36-− -36--− 1= 0 x− 3 x +3 36(x +3)− 36(x− 3)− (x − 3)(x+ 3) ---------(x−-3)(x-+3)----------= 0 ( |{ 36(x+ 3)− 36(x − 3)− (x− 3)(x +3) =0 | x⁄= 3 ( x⁄= −3

Решим первое уравнение системы:

36(x +3)− 36(x− 3)− (x − 3)(x+ 3)= 0 36x+ 36⋅3− 36x+ 36⋅3− (x2− 32) = 0 2 2 36⋅3+ 36⋅3− x + 3 = 0 x2 = 36⋅6+ 9 x2 = 225 [ x = 15 x = −15

Корень $x = −15$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость моторной лодки равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#40196

Баржа прошла по течению реки 56 км и, повернув обратно, прошла ещё 54 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть собственная скорость баржи равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 5 | -56-- | 56 | |--------------|--------------|-x-+5---|--------| |П ротив течения | x − 5 | -54-- | 54 | --------------------------------x-− 5-----------|

По условию баржа затратила на весь путь 5 часов. Составим уравнение:

-56--+ -54--=5 x +5 x− 5 -56-+ -54--− 5= 0 x+ 5 x − 5 56(x−-5)+-54(x-+5)−-5(x−-5)(x+-5) (x+ 5)(x − 5) = 0 ( |{56(x− 5)+54(x+ 5)− 5(x − 5)(x+ 5)= 0 |x ⁄= −5 (x ⁄= 5

Решим первое уравнение системы:

56(x− 5)+ 54(x +5)− 5(x−( 5)(x+ 5))= 0 56x − 280 +54x+ 270− 5 x2− 25 = 0 110x− 10− 5x2+ 125 =0 2 5x − 110x − 115 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

2 2 D = 110 + 4⋅5⋅115= 12100+ 2300 = 14400 =120

Тогда

⌊ 110+ 120 [ |x = --2⋅5--- x = 23 ⌈ 110−-120- ⇔ x = −1 x = 2⋅5

Корень $x = −1$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость баржи равна 23 км/ч.

Ответ: 23 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#55440

Баржа прошла по течению реки 80 км и, повернув обратно, прошла ещё 60 км, затратив на весь путь 10 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть собственная скорость баржи равняется $x$ км/ч. Составим таблицу:

|--Часть пути--|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км| |--------------|--------------|--------|--------| | По течению | x + 5 | -80-- | 80 | |--------------|--------------|-x-+5---|--------| |П ротив течения | x − 5 | -60-- | 60 | --------------------------------x-− 5-----------|

По условию баржа затратила на весь путь 10 часов. Составим уравнение:

-80-+ -60--= 10. x+ 5 x − 5

Поделим обе части уравнения на 10:

--8--+ -6---=1 x +5 x− 5 -8--+ --6--− 1= 0 x+ 5 x − 5 8(x − 5)+ 6(x+ 5)− (x − 5)(x+ 5) --------(x+-5)(x-− 5)--------= 0 ( |{8(x− 5)+ 6(x+ 5)− (x− 5)(x + 5) = 0 |x ⁄= −5 (x ⁄= 5

Решим первое уравнение системы:

8(x − 5)+ 6(x+ 5)− (x − 5)(x+ 5)= 0 8x− 40+ 6x+ 30− (x2− 25) = 0 2 14x− 10− x + 25= 0 x2− 14x− 15= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

D = 142+ 4⋅1⋅15 =196+ 60= 256= 162

Тогда

⌊ |x = 14+-16- [x = 15 ⌈ 142− 16 ⇔ x = −1 x = --2---

Корень $x = −1$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость баржи равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущий раздел

Следующий раздел