Тема №21. Текстовые задачи

01 Задачи №21 из банка ФИПИ

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела №21. текстовые задачи
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#93124

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 4 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 11 км/ч меньше скорости второго.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость первого бегуна равна x  км/ч, тогда скорость второго бегуна равна x +11  км/ч.

Через 1 час после старта первый бегун пробежал x⋅1 =x  км, а по условию до конца круга ему осталось 4 км. Значит, длина круга равна x+ 4  км.

По условию второй бегун пробежал первый круг 20 минут назад, следовательно, круг он пробегает за 40 минут. Заметим, что 40 минут — это 2
3  часа. Тогда можем составить уравнение:

(x+ 11)⋅ 2 = x+ 4.
        3

Умножим обе части уравнения на 3:

(x+ 11)⋅2= (x + 4)⋅3
  2x+ 22= 3x +12
       x= 10

Значит, скорость первого бегуна равна 10 км/ч.

Ответ: 10 км/ч
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#55425

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 180 км. На следующий день он отправился обратно в A, увеличив скорость на 5 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость велосипедиста на пути из A в B равна x  км/ч. Тогда скорость на пути из B в A равна x + 5  км/ч. Составим таблицу:

|--------|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км|
|--------|--------------|--------|--------|
|  Туда  |      x       |  180   |  180   |
|--------|--------------|---x----|--------|
|О братно |    x +5      | -180-  |  180   |
--------------------------x-+5------------|

По условию время, затраченное на обратный путь, вместе с трёхчасовой остановкой такое же, как и время, затраченное на путь из A в B. Составим уравнение:

         -180--+3 = 180
         x+ 5       x
       -180-− 180+ 3= 0
       x + 5   x
  180x−-180(x+-5)+-3x(x-+-5)
          x(x+ 5)         = 0
(
|{ 180x − 180(x+ 5)+ 3x(x +5)= 0
|( x⁄= 0
  x⁄= −5

Решим первое уравнение системы:

  180x− 180(x+ 5)+ 3x(x + 5)= 0
180x − 180x− 180⋅5+ 3x2+ 15x= 0
      3x2+ 15x− 180⋅5= 0
         2
        x + 5x− 300= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

    2                 2
D =5 + 4⋅300 =1225= 35

Тогда

⌊    −5 +35       [
|x = ---2---       x =15
⌈    −5-− 35  ⇔    x =− 20
 x =    2

Корень x = −20  не подходит по смыслу задачи, так как x > 0.  Поэтому скорость велосипедиста на пути из A в B равна 15 км/ч, следовательно, его скорость на пути из B в A равна 15 +5 = 20  км/ч.

Ответ: 20 км/ч
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#57253

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 224 км. На следующий день он отправился обратно в A, увеличив скорость на 2 км/ч. По пути он сделал остановку на 2 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость велосипедиста на пути из A в B равна x  км/ч. Тогда скорость на пути из B в A равна x + 9  км/ч. Составим таблицу:

|--------|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км|
|--------|--------------|--------|--------|
|  Туда  |      x       |  224   |  224   |
|--------|--------------|---x----|--------|
|О братно |    x +2      | -224-  |  224   |
--------------------------x-+2------------|

По условию время, затраченное на обратный путь, вместе с трёхчасовой остановкой такое же, как и время, затраченное на путь из A в B. Составим уравнение:

         -224--+2 = 224
         x+ 2       x
       -224-− 224+ 2= 0
       x + 2   x
  224x−-224(x+-2)+-2x(x-+-2)
          x(x+ 2)         = 0
(
|{ 60x − 60(x+ 10)+ 3x(x + 10)= 0
|( x⁄= 0
  x⁄= −2

Решим первое уравнение системы:

 224x− 224(x+ 2)+ 2x(x + 2)= 0
224x− 224x − 224 ⋅2 +2x2 +4x = 0
      2x2+ 4x − 224 ⋅2= 0
        2
       x + 2x− 224= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

     2                2
D = 2 + 4⋅224= 900= 30

Тогда

⌊    −2 +30       [
|x = ---2---       x =14
⌈    −2-− 30  ⇔    x =− 16
 x =    2

Корень x = −16  не подходит по смыслу задачи, так как x > 0.  Поэтому скорость велосипедиста на пути из A в B равна 14 км/ч.

Ответ: 14 км/ч
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#92753

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 60 км. На следующий день он отправился обратно в A, увеличив скорость на 10 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость велосипедиста на пути из A в B равна x  км/ч. Тогда скорость на пути из B в A равна x + 9  км/ч. Составим таблицу:

|--------|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км|
|--------|--------------|--------|--------|
|  Туда  |      x       |  60    |   60    |
|--------|--------------|---x----|--------|
|О братно |    x+ 10     | -60--  |   60    |
--------------------------x+-10-----------|

По условию время, затраченное на обратный путь, вместе с трёхчасовой остановкой такое же, как и время, затраченное на путь из A в B. Составим уравнение:

         -60--+ 3 = 60
         x+ 10      x
       --60- − 60+ 3= 0
       x + 10   x
  60x−-60(x-+10)+-3x(x+-10)
          x(x+ 10)        = 0
(
|{ 60x − 60(x+ 10)+ 3x(x + 10)= 0
|( x⁄= 0
  x⁄= −10

Решим первое уравнение системы:

 60x− 60(x +10)+ 3x(x+ 10)= 0
60x − 60x− 60⋅10+ 3x2+ 30x= 0
     3x2+ 30x− 60⋅10= 0
        2
       x + 10x− 200 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

     2                2
D =10 + 4⋅200= 900= 30

Тогда

⌊   − 10+ 30       [
|x= ----2---        x= 10
⌈   −-10−-30   ⇔    x= −20
 x=     2

Корень x = −20  не подходит по смыслу задачи, так как x > 0.  Поэтому скорость велосипедиста на пути из A в B равна 10 км/ч, следовательно, его скорость на пути из B в A равна 10 +10 =20  км/ч.

Ответ: 20 км/ч
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#92773

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 224 км. На следующий день он отправился обратно в A, увеличив скорость на 2 км/ч. По пути он сделал остановку на 2 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость велосипедиста на пути из A в B равна x  км/ч. Тогда скорость на пути из B в A равна x + 2  км/ч. Составим таблицу:

|--------|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км|
|--------|--------------|--------|--------|
|  Туда  |      x       |  224   |  224   |
|--------|--------------|---x----|--------|
|О братно |    x +2      | -224-  |  224   |
--------------------------x-+2------------|

По условию время, затраченное на обратный путь, вместе с трёхчасовой остановкой такое же, как и время, затраченное на путь из A в B. Составим уравнение:

         -224--+2 = 224
         x+ 2       x
       -224-− 224+ 2= 0
       x + 2   x
  224x−-224(x+-2)+-2x(x-+-2)
          x(x+ 2)         = 0
(
|{ 60x − 60(x+ 10)+ 3x(x + 10)= 0
|( x⁄= 0
  x⁄= −2

Решим первое уравнение системы:

 224x− 224(x+ 2)+ 2x(x + 2)= 0
224x− 224x − 224 ⋅2 +2x2 +4x = 0
      2x2+ 4x − 224 ⋅2= 0
        2
       x + 2x− 224= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

     2                2
D = 2 + 4⋅224= 900= 30

Тогда

⌊    −2 +30       [
|x = ---2---       x =14
⌈    −2-− 30  ⇔    x =− 16
 x =    2

Корень x = −16  не подходит по смыслу задачи, так как x > 0.  Поэтому скорость велосипедиста на пути из A в B равна 14 км/ч, следовательно, его скорость на пути из B в A равна 14 +2 = 16  км/ч.

Ответ: 16 км/ч
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#92777

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 112 км. На следующий день он отправился обратно в A, увеличив скорость на 9 км/ч. По пути он сделал остановку на 4 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость велосипедиста на пути из A в B равна x  км/ч. Тогда скорость на пути из B в A равна x + 9  км/ч. Составим таблицу:

|--------|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км|
|--------|--------------|--------|--------|
|  Туда  |      x       |  112   |  112   |
|--------|--------------|---x----|--------|
|О братно |    x +9      | -112-  |  112   |
--------------------------x-+9------------|

По условию время, затраченное на обратный путь, вместе с трёхчасовой остановкой такое же, как и время, затраченное на путь из A в B. Составим уравнение:

         -112--+4 = 112
         x+ 9       x
       -112-− 112+ 4= 0
       x + 9   x
  112x−-112(x+-9)+-4x(x-+-9)
          x(x+ 9)         = 0
(
|{ 112x − 112(x+ 9)+ 4x(x +9)= 0
|( x⁄= 0
  x⁄= −9

Решим первое уравнение системы:

  112x− 112(x+ 9)+ 4x(x + 9)= 0
112x − 112x− 112⋅9+ 4x2+ 36x= 0
      4x2+ 36x− 112⋅9= 0
         2
        x + 9x− 252= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

    2                 2
D =9 + 4⋅252 =1089= 33

Тогда

⌊    −9 +33       [
|x = ---2---       x =12
⌈    −9-− 33  ⇔    x =− 21
 x =    2

Корень x = −21  не подходит по смыслу задачи, так как x > 0.  Поэтому скорость велосипедиста на пути из A в B равна 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#92782

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 209 км. На следующий день он отправился обратно в A, увеличив скорость на 8 км/ч. По пути он сделал остановку на 8 часов, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость велосипедиста на пути из A в B равна x  км/ч. Тогда скорость на пути из B в A равна x + 8  км/ч. Составим таблицу:

|--------|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км|
|--------|--------------|--------|--------|
|  Туда  |      x       |  209   |  209   |
|--------|--------------|---x----|--------|
|О братно |    x +8      | -209-  |  209   |
--------------------------x-+8------------|

По условию время, затраченное на обратный путь, вместе с трёхчасовой остановкой такое же, как и время, затраченное на путь из A в B. Составим уравнение:

        -209--+8 = 209
        x+ 8       x
      -209-− 209+ 8= 0
      x + 8   x
 209−-209(x+-8)+8x(x+-8)
         x(x+ 8)        = 0
(
|{209− 209(x +8)+ 8x(x+ 8)= 0
|(x ⁄= 0
 x ⁄= −8

Решим первое уравнение системы:

 209− 209(x+ 8)+8x(x+ 8)= 0
209 − 209− 209⋅8+ 8x2+ 64x= 0
     8x2+ 64x− 209⋅8= 0
        2
       x + 8x− 209= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

     2                2
D = 8 + 4⋅209= 900= 30

Тогда

⌊    −8 +30       [
|x = ---2---       x =11
⌈    −8-− 30  ⇔    x =− 19
 x =    2

Корень x = −19  не подходит по смыслу задачи, так как x > 0.  Поэтому скорость велосипедиста на пути из A в B равна 11 км/ч.

Ответ: 11 км/ч
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#92785

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 60 км. На следующий день он отправился обратно в A, увеличив скорость на 10 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость велосипедиста на пути из A в B равна x  км/ч. Тогда скорость на пути из B в A равна x + 10  км/ч. Составим таблицу:

|--------|Скорость, км/ч|Время, ч|Путь, км|
|--------|--------------|--------|--------|
|  Туда  |      x       |  60    |   60    |
|--------|--------------|---x----|--------|
|О братно |    x+ 10     | -60--  |   60    |
--------------------------x+-10-----------|

По условию время, затраченное на обратный путь, вместе с трёхчасовой остановкой такое же, как и время, затраченное на путь из A в B. Составим уравнение:

         -60--+ 3 = 60
         x+ 10      x
       --60- − 60+ 3= 0
       x + 10   x
  60x−-60(x-+10)+-3x(x+-10)
          x(x+ 10)        = 0
(
|{ 60x − 60(x+ 10)+ 3x(x + 10)= 0
|( x⁄= 0
  x⁄= −10

Решим первое уравнение системы:

 60x− 60(x +10)+ 3x(x+ 10)= 0
60x − 60x− 60⋅10+ 3x2+ 30x= 0
     3x2+ 30x− 60⋅10= 0
        2
       x + 10x− 200 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

     2                2
D =10 + 4⋅200= 900= 30

Тогда

⌊   − 10+ 30       [
|x= ----2---        x= 10
⌈   −-10−-30   ⇔    x= −20
 x=     2

Корень x = −20  не подходит по смыслу задачи, так как x > 0.  Поэтому скорость велосипедиста на пути из A в B равна 10 км/ч.

Ответ: 10 км/ч
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#92788

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 180 км. На следующий день он отправился обратно в A, увеличив скорость на 5 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго велосипедиста равна x  км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна x+ 5  км/ч. Составим таблицу:

|-------|Скорость, км/ч|В-рем-я,-ч|-Путь, км|
|-------|-------------|--------|---------|
|Первый |    x+ 5     |  -180-- |   180   |
|-------|-------------|--x+-5--|---------|
|Второй |      x      |   180-  |   180   |
--------------------------x---------------

По условию задачи первый велосипедист прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Тогда можем составить уравнение:

         -180--+3 = 180
         x+ 5       x
       -180-− 180+ 3= 0
       x + 5   x
  180x−-180(x+-5)+-3x(x-+-5)
          x(x+ 5)         = 0
(
|{180x− 180(x + 5)+3x(x+ 5))= 0
|(x ⁄= 0
 x ⁄= −5

Решим первое уравнение системы:

180x− 180(x+ 5)+ 3x(x + 5)= 0
180x − 180x− 900+ 3x2+ 15x= 0
     3x2+ 15x− 900= 0
       2
      x + 5x− 300= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

    2                 2
D =5 + 4⋅300 =1225= 35

Тогда

⌊    −5 +35       [
|x = ---2---       x =15
⌈    −5-− 35  ⇔    x =− 20
 x =    2

Корень x = −20  не подходит по смыслу задачи, так как x > 0.  Поэтому скорость велосипедиста на пути из A в B равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#92508

Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго велосипедиста равна x  км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна x+ 10  км/ч. Составим таблицу:

|-------|Скорость, км/ч|В-рем-я,-ч|-Путь, км|
|-------|-------------|--------|---------|
|Первый |    x+ 10    | --60-  |   60    |
|-------|-------------|-x-+-10-|---------|
|Второй |      x      |   60   |   60    |
--------------------------x---------------

По условию задачи первый велосипедист прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Тогда можем составить уравнение:

         -60--+ 3 = 60
         x+ 10      x
       --60- − 60+ 3= 0
       x + 10   x
  60x−-60(x-+10)+-3x(x+-10)
          x(x+ 10)        = 0
(
|{ 60x − 60(x+ 10)+ 3x(x + 10)= 0
|( x⁄= 0
  x⁄= −10

Решим первое уравнение системы:

60x− 60(x +10)+ 3x(x+ 10)= 0
60x − 60x − 600+ 3x2+ 30x= 0
     3x2+ 30x− 600= 0
       2
      x + 10x− 200 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

     2                2
D =10 + 4⋅200= 900= 30

Тогда

⌊   − 10+ 30       [
|x= ----2---        x= 10
⌈   −-10−-30   ⇔    x= −20
 x=     2

Корень x = −20  не подходит по смыслу задачи, так как x > 0.  Поэтому скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна 10 км/ч.

Ответ: 10 км/ч
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#92509

Два велосипедиста одновременно отправляются в 209-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 8 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 8 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго велосипедиста равна x  км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна x+ 8  км/ч. Составим таблицу:

|-------|Скорость, км/ч|В-рем-я,-ч|-Путь, км|
|-------|-------------|--------|---------|
|Первый |    x+ 8     |  -209-- |   209   |
|-------|-------------|--x+-8--|---------|
|Второй |      x      |   209-  |   209   |
--------------------------x---------------

По условию задачи первый велосипедист прибыл к финишу на 8 часа раньше второго. Тогда можем составить уравнение:

         -209--+8 = 209
         x+ 8       x
       -209-− 209+ 8= 0
       x + 8   x
  209x−-209(x+-8)+-8x(x-+-8)
          x(x+ 8)         = 0
(
|{ 209x − 209(x+ 8)+ 8x(x +8)= 0
|( x⁄= 0
  x⁄= −8

Решим первое уравнение системы:

 209x− 209(x+ 8)+ 8x(x + 8)= 0
209x− 209x− 1672 +8x2+ 64x= 0
      8x2+ 64x− 1672 = 0
        2
       x + 8x− 209= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

     2                2
D = 8 + 4⋅209= 900= 30

Тогда

⌊    −8 +30       [
|x = ---2---       x =11
⌈    −8-− 30  ⇔    x =− 19
 x =    2

Корень x = −19  не подходит по смыслу задачи, так как x > 0.  Поэтому скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна 11 км/ч.

Ответ: 11 км/ч
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#92795

Два велосипедиста одновременно отправляются в 180-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 5 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго велосипедиста равна x  км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна x+ 5  км/ч. Составим таблицу:

|-------|Скорость, км/ч|В-рем-я,-ч|-Путь, км|
|-------|-------------|--------|---------|
|Первый |    x+ 5     |  -180-- |   180   |
|-------|-------------|--x+-5--|---------|
|Второй |      x      |   180-  |   180   |
--------------------------x---------------

По условию задачи первый велосипедист прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Тогда можем составить уравнение:

         -180--+3 = 180
         x+ 5       x
       -180-− 180+ 3= 0
       x + 5   x
  180x−-180(x+-5)+-3x(x-+-5)
          x(x+ 5)         = 0
(
|{ 180x − 180(x+ 5)+ 3x(x +5)= 0
|( x⁄= 0
  x⁄= −5

Решим первое уравнение системы:

180x− 180(x+ 5)+ 3x(x + 5)= 0
180x − 180x− 900+ 3x2+ 15x= 0
     3x2+ 15x− 900= 0
       2
      x + 5x− 300= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

    2                 2
D =5 + 4⋅300 =1225= 35

Тогда

⌊    −5 +35       [
|x = ---2---       x =15
⌈    −5-− 35  ⇔    x =− 20
 x =    2

Корень x = −20  не подходит по смыслу задачи, так как x > 0.  Поэтому скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#92798

Два велосипедиста одновременно отправляются в 112-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 9 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 4 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго велосипедиста равна x  км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна x+ 9  км/ч. Составим таблицу:

|-------|Скорость, км/ч|В-рем-я,-ч|-Путь, км|
|-------|-------------|--------|---------|
|Первый |    x+ 9     |  -112-- |   112   |
|-------|-------------|--x+-9--|---------|
|Второй |      x      |   112-  |   112   |
--------------------------x---------------

По условию задачи первый велосипедист прибыл к финишу на 4 часа раньше второго. Тогда можем составить уравнение:

         -112--+4 = 112
         x+ 9       x
       -112-− 112+ 4= 0
       x + 9   x
  112x−-112(x+-9)+-4x(x-+-9)
          x(x+ 9)         = 0
(
|{ 112x − 112(x+ 9)+ 4x(x +9)= 0
|( x⁄= 0
  x⁄= −9

Решим первое уравнение системы:

 112x− 112(x+ 9)+ 4x(x + 9)= 0
112x− 112x− 1008 +4x2+ 36x= 0
      4x2+ 36x− 1008 = 0
        2
       x + 9x− 252= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

    2                 2
D =9 + 4⋅252 =1089= 33

Тогда

⌊    −9 +33       [
|x = ---2---       x =12
⌈    −9-− 33  ⇔    x =− 21
 x =    2

Корень x = −21  не подходит по смыслу задачи, так как x > 0.  Поэтому скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#92801

Два велосипедиста одновременно отправляются в 105-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 16 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 4 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго велосипедиста равна x  км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна x+ 16  км/ч. Составим таблицу:

|-------|Скорость, км/ч|В-рем-я,-ч|-Путь, км|
|-------|-------------|--------|---------|
|Первый |    x+ 16    | --105-  |   105   |
|-------|-------------|-x-+-16-|---------|
|Второй |      x      |   105-  |   105   |
--------------------------x---------------

По условию задачи первый велосипедист прибыл к финишу на 4 часа раньше второго. Тогда можем составить уравнение:

         --105- + 4= 105
         x + 16      x
        -105-− 105 + 4= 0
        x+ 16   x
  105x−-105(x-+16)+-4x(x-+-16)-
           x(x+ 16)         = 0
(
|{ 105x − 105(x+ 16)+ 4x(x +16)= 0
|( x⁄= 0
  x⁄= − 16

Решим первое уравнение системы:

105x− 105(x +16)+ 4x(x + 16) =0
105x− 105x− 1680 +4x2+ 64x= 0
      4x2+ 64x− 1680 = 0
        2
       x + 16x− 420 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

      2                2
D = 16 + 4⋅420= 1936 = 44

Тогда

⌊   − 16+ 44       [
|x= ----2---        x= 14
⌈   −-16−-44   ⇔    x= −30
 x=     2

Корень x = −30  не подходит по смыслу задачи, так как x > 0.  Поэтому скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна 14 км/ч.

Ответ: 14 км/ч
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#92813

Два велосипедиста одновременно отправляются в 208-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 3 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго велосипедиста равна x  км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна x+ 3  км/ч. Составим таблицу:

|-------|Скорость, км/ч|В-рем-я,-ч|-Путь, км|
|-------|-------------|--------|---------|
|Первый |    x+ 3     |  -208-- |   208   |
|-------|-------------|--x+-3--|---------|
|Второй |      x      |   208-  |   208   |
--------------------------x---------------

По условию задачи первый велосипедист прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Тогда можем составить уравнение:

         -208--+3 = 208
         x+ 3       x
       -208-− 208+ 3= 0
       x + 3   x
  208x−-208(x+-3)+-3x(x-+-3)
          x(x+ 3)         = 0
(
|{ 208x − 208(x+ 3)+ 3x(x +3)= 0
|( x⁄= 0
  x⁄= −3

Решим первое уравнение системы:

208x− 208(x+ 3)+ 3x(x + 3)= 0
208x− 208x − 624 +3x2+ 9x =0
      3x2+ 9x− 624 = 0
       2
      x + 3x− 208= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

     2                2
D = 3 + 4⋅208= 841= 29

Тогда

⌊    −3 +29       [
|x = ---2---       x =13
⌈    −3-− 29  ⇔    x =− 16
 x =    2

Корень x = −16  не подходит по смыслу задачи, так как x > 0.  Поэтому скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна 13 км/ч.

Ответ: 13 км/ч
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#92817

Два велосипедиста одновременно отправляются в 140-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 6 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго велосипедиста равна x  км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна x+ 6  км/ч. Составим таблицу:

|-------|Скорость, км/ч|В-рем-я,-ч|-Путь, км|
|-------|-------------|--------|---------|
|Первый |    x+ 6     |  -140-- |   140   |
|-------|-------------|--x+-6--|---------|
|Второй |      x      |   140-  |   140   |
--------------------------x---------------

По условию задачи первый велосипедист прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Тогда можем составить уравнение:

         -140--+3 = 140
         x+ 6       x
       -140-− 140+ 3= 0
       x + 6   x
  140x−-140(x+-6)+-3x(x-+-6)
          x(x+ 6)         = 0
(
|{ 140x − 140(x+ 6)+ 3x(x +6)= 0
|( x⁄= 0
  x⁄= −6

Решим первое уравнение системы:

140x− 140(x+ 6)+ 3x(x + 6)= 0
140x − 140x− 840+ 3x2+ 18x= 0
     3x2+ 18x− 840= 0
       2
      x + 6x− 280= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

    2                 2
D =6 + 4⋅280 =1156= 34

Тогда

⌊    −6 +34       [
|x = ---2---       x =14
⌈    −6-− 34  ⇔    x =− 20
 x =    2

Корень x = −20  не подходит по смыслу задачи, так как x > 0.  Поэтому скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна 14 км/ч.

Ответ: 14 км/ч
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#92819

Два велосипедиста одновременно отправляются в 140-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 14 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 5 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго велосипедиста равна x  км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна x+ 14  км/ч. Составим таблицу:

|-------|Скорость, км/ч|В-рем-я,-ч|-Путь, км|
|-------|-------------|--------|---------|
|Первый |    x+ 14    | --140-  |   140   |
|-------|-------------|-x-+-14-|---------|
|Второй |      x      |   140-  |   140   |
--------------------------x---------------

По условию задачи первый велосипедист прибыл к финишу на 5 часа раньше второго. Тогда можем составить уравнение:

         --140- + 5= 140
         x + 14      x
        -140-− 140 + 5= 0
        x+ 14   x
  140x−-140(x-+14)+-5x(x-+-14)-
           x(x+ 14)         = 0
(
|{ 140x − 140(x+ 14)+ 5x(x +14)= 0
|( x⁄= 0
  x⁄= − 14

Решим первое уравнение системы:

140x− 140(x +14)+ 5x(x + 14) =0
140x− 140x− 1960 +5x2+ 70x= 0
      5x2+ 70x− 1960 = 0
        2
       x + 14x− 392 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

      2                2
D = 14 + 4⋅392= 1764 = 42

Тогда

⌊   − 14+ 42       [
|x= ----2---        x= 14
⌈   −-14−-42   ⇔    x= −28
 x=     2

Корень x = −28  не подходит по смыслу задачи, так как x > 0.  Поэтому скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна 14 км/ч.

Ответ: 14 км/ч
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#92823

Два велосипедиста одновременно отправляются в 100-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 15 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 6 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго велосипедиста равна x  км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна x+ 15  км/ч. Составим таблицу:

|-------|Скорость, км/ч|В-рем-я,-ч|-Путь, км|
|-------|-------------|--------|---------|
|Первый |    x+ 15    | --100-  |   100   |
|-------|-------------|-x-+-15-|---------|
|Второй |      x      |   100-  |   100   |
--------------------------x---------------

По условию задачи первый велосипедист прибыл к финишу на 6 часа раньше второго. Тогда можем составить уравнение:

         --100- + 6= 100
         x + 15      x
        -100-− 100 + 6= 0
        x+ 15   x
  100x−-100(x-+15)+-6x(x-+-15)-
           x(x+ 15)         = 0
(
|{ 100x − 100(x+ 15)+ 6x(x +15)= 0
|( x⁄= 0
  x⁄= − 15

Решим первое уравнение системы:

100x− 100(x +15)+ 6x(x + 15) =0
100x− 100x− 1500 +6x2+ 90x= 0
      6x2+ 90x− 1500 = 0
        2
       x + 15x− 250 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

      2                2
D = 15 + 4⋅250= 1225 = 35

Тогда

⌊   − 15+ 35       [
|x= ----2---        x= 10
⌈   −-15−-35   ⇔    x= −25
 x=     2

Корень x = −25  не подходит по смыслу задачи, так как x > 0.  Поэтому скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна 10 км/ч.

Ответ: 10 км/ч
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#92510

Два автомобиля одновременно отправляются в 540-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 30 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго автомобиля равна x  км/ч. Тогда скорость первого автомобиля равна x + 30  км/ч. Составим таблицу:

|-------|Скорость, км/ч|В-рем-я,-ч|-Путь, км|
|-------|-------------|--------|---------|
|Первый |    x+ 30    | --540-  |   540   |
|-------|-------------|-x-+-30-|---------|
|Второй |      x      |   540-  |   540   |
--------------------------x---------------

По условию задачи первый автомобиль прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Составим уравнение:

         --540- + 3= 540
         x + 30      x
        -540-− 540 + 3= 0
        x+ 30   x
  540x−-540(x-+30)+-3x(x-+-30)-
           x(x+ 30)         = 0
(
|{ 540x − 540(x+ 30)+ 3x(x +30)= 0
|( x⁄= 0
  x⁄= − 30

Решим первое уравнение системы:

 540x− 540(x +30)+ 3x(x + 30) =0
540x− 540x − 540 ⋅30 +3x2 +90x =0
      3x2+ 90x − 540 ⋅30 = 0
        2
       x  +30x− 5400= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

     2                    2
D = 30 +4 ⋅5400 =22500= 150

Тогда

⌊    −30 +150       [
|x = ----2---        x =60
⌈    −30-− 150  ⇔    x =− 90
 x =     2

Корень x = −90  не подходит по смыслу задачи, так как x > 0.  Поэтому скорость второго автомобиля равна 60 км/ч, а скорость первого автомобиля равна 60+ 30= 90  км/ч.

Ответ: 90 км/ч
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#92511

Два автомобиля одновременно отправляются в 600-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго автомобиля равна x  км/ч. Тогда скорость первого автомобиля равна x + 20  км/ч. Составим таблицу:

|-------|Скорость, км/ч|В-рем-я,-ч|-Путь, км|
|-------|-------------|--------|---------|
|Первый |    x+ 20    | --600-  |   600   |
|-------|-------------|-x-+-20-|---------|
|Второй |      x      |   600-  |   600   |
--------------------------x---------------

По условию задачи первый автомобиль прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Составим уравнение:

        --600- + 1= 600
        x + 20      x
       -600-− 600 + 1= 0
       x+ 20   x
 600x-− 600(x+-20)+x(x+-20)
          x(x+ 20)        = 0
(
|{600x− 600(x + 20)+ x(x+ 20)= 0
|(x ⁄= 0
 x ⁄= −20

Решим первое уравнение системы:

 600x − 600(x+ 20)+x(x+ 20)= 0
600x − 600x− 600⋅20+ x2+ 20x= 0
      x2+ 20x− 600⋅20= 0
        2
       x + 20x− 12000 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

      2                    2
D = 20 + 4⋅12000= 48400 = 220

Тогда

⌊    −20+ 220       [
|x = ---2----        x= 100
⌈    −20−-220   ⇔    x= −120
 x =    2

Корень x = −120  не подходит по смыслу задачи, так как x >0.  Поэтому скорость второго автомобиля равна 100 км/ч, а скорость первого автомобиля равна 100+ 20= 120  км/ч.

Ответ: 120 км/ч
Критерии оценки

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ

2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!